九年级数学下册第三十章二次函数30.5二次函数与一元二次方程的关系同步练习（冀教版）.doc

30.5 二次函数与一元二次方程的关系 一、选择题 1. 下列命题： 若 ，则 ； 若 ，则一元二次方程 有两个不相等 的实数根； 若 ，则一元二次方程 有两个不相等的实数根； 若 ，则二 次函数 的图象与坐标轴的公共点的个数是 2 或 3．其中正确的是 A. 只有 B. 只有 C. 只有 D. 只有 2. 二次函数 的图象如图所示，若一元二次方程 有实数根，则 m 的取值范围是 A. B. C. D. 3. 已知二次函数 的图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表： x 0 1 2 y 0 3 4 3 那么关于它的图象，下列判断正确的是 A. 开口向上 B. 与 x 轴的另一个交点是 C. 与 y 轴交于负半轴 D. 在直线 的左侧部分是下降的 4. 在平面直角坐标系 xOy 中，开口向下的抛物线 的一部分图象如图所示，它与 x 轴交于 ， 与 y 轴交于点 B ，则 a 的取值范围是 A. B. C. D. 5. 二次函数 的图象如图所示，那么一元二次方程 为常数且 的两根之和为 A. 1 B. 2 C. -1 D. -26. 已知二次函数 ，当自变量 x 取 m 时对应的值大于 0，当自变量 x 分别取 、 时对应 的函数值为 、 ，则 、 必须满足 A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 7. 如图，教师在小黑板上出示一道题，小华答：过点 ；小彬答：过点 ；小明答： ；小颖答： 抛物线被 x 轴截得的线段长为 你认为四人的回答中，正确的有 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 8. 已知函数 ，其中 、 为常数，且 ，若方程 的两个根为 、 ，且 ，则 、 、 、 的大小关系为 A. B. C. D. 9. 抛物线 的顶点为 ，与 x 轴的一个交点 A 在点 和 之间，其部分图象如 图，其中错误的结论为 A. 方程 的根为 B. C. D. 10. 已知抛物线 的对称轴为 ，若关于 x 的一元二次方程 在 的范围内 有解，则 c 的取值范围是 A. B. C. D. 二、解答题 11. 抛物线 经过点 、 两点． （1）求抛物线顶点 D 的坐标； （2）抛物线与 x 轴的另一交点为 A，求 的面积． 12. 在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知抛物线 ，经过点 、 ． （1）求此抛物线顶点 C 的坐标； （2）联结 AC 交 y 轴于点 D，联结 BD、BC，过点 C 作 ，垂足为点 H，抛物线对称轴交 x 轴于 G，联 结 HG，求 HG 的长． 13. 已知抛物线 的对称轴是直线 ， （1）求证： ； （2）若关于 x 的方程 ，有一个根为 4，求方程的另一个根．14. 抛物线 与 y 轴交于点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线与坐标轴的交点坐标； （3）①当 x 取什么值时， ？ 当 x 取什么值时，y 的值随 x 的增大而减小？ 15. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 是抛物线 与 x 轴正半轴的交点，点 B 在抛物线上，其横 坐标为 2，直线 AB 与 y 轴交于点 点 M、P 在线段 AC 上 不含端点 ，点 Q 在抛物线上，且 MQ 平行于 x 轴，PQ 平行于 y 轴 设点 P 横坐标为 m． （1）求直线 AB 所对应的函数表达式． （2）用含 m 的代数式表示线段 PQ 的长． （3）以 PQ、QM 为邻边作矩形 PQMN，求矩形 PQMN 的周长为 9 时 m 的值．答案 一、选择题 1.【答案】B 【解析】①b2-4ac=（-a-c）2-4ac=（a-c）2≥0，正确；②若 b＞a+c，则△的大小无法判断，故不能得出方 程有两个不等实根，错误；③b2-4ac=4a2+9c2+12ac-4ac=4（a+c）2+5c2，因为 a≠0，故（a+c）2 与 c2 不会 同时为 0，所以 b2-4ac＞0，正确；④二次函数 y=ax2+bx+c 与 y 轴必有一个交点，而这个交点有可能跟图象 与 x 轴的交点重合，故正确．故选 B． 2.【答案】A 【解析】由图可知：y≥-3，即 ax2+bx≥-3，∵ax2+bx+m=0，∴ax2+bx=-m，∴-m≥-3，∴m≤3．故选 A. 3. 【答案】B 【解析】A、由表格知，抛物线的顶点坐标是（1，4）．故设抛物线解析式为 y=a（x-1）2+4．将（-1，0） 代入，得 a（-1-1）2+4=0，解得 a=-1．∵a=-1＜0，∴抛物线的开口方向向下，故本选项错误；B、抛物线 与 x 轴的一个交点为（-1，0），对称轴是 x=1，则抛物线与 x 轴的另一个交点是（3，0），故本选项正确； C、由表格知，抛物线与 y 轴的交点坐标是（0，3），即与 y 轴交于正半轴，故本选项错误；D、抛物线开口 方向向下，对称轴为 x=1，则在直线 x=1 的左侧部分是上升的，故本选项错误；故选 B． 点睛：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从 而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求 解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时， 可选择设其解析式为交点式来求解． 4. 【答案】B 【解析】根据图象得：a＜0，b＜0，∵抛物线与 x 轴交于 A（1，0），与 y 轴交于点 B （0，3）， ∴ ，∴a+b=-3，∵b＜0，∴-3＜a＜0，故选 B． 5. 【答案】D 【解析】∵抛物线与 x 轴的两交点坐标为（-3，0），（1，0），∴一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两根分别为 x1=-3，x2=1，∴-3+1=- ，即 =2，∴一元二次方程 ax2+bx+c-m=0 的两根之和=- =-2．故选 D． 6. 【答案】B 【解析】令 y＝−x2+x− =0，解得：x= ，∵当自变量 x 取 m 时对应的值大于 0，∴ ＜m＜ ，∵ 点（m+1，0）与（m-1，0）之间的距离为 2，大于二次函数与 x 轴两交点之间的距离，∴m-1 的最大值在左 边交点之左，m+1 的最小值在右边交点之右．∴点（m+1，0）与（m-1，0）均在交点之外，∴y1＜0、y2＜ 0． 故选 B． 7. 【答案】C【解析】∵抛物线过（1，0），对称轴是 x=2，∴ ，解得 a=1，b=-4，∴y=x2-4x+3，当 x=3 时， y=0，小华正确；当 x=4 时，y=3，小彬也正确，小明也正确；∵抛物线被 x 轴截得的线段长为 2，已知过点 （1，0），∴另一点为（-1，0）或（3，0），∴对称轴为 y 轴或 x=2，此时答案不唯一，∴小颖错误．故选 C． 8. 【答案】C 【解析】函数 y=（x-x1）（x-x2）的图象与 x 轴的交点的横坐标分别是 x1、x2；函数 y=（x-x1）（x-x2）-2 的图象是由函数 y=（x-x1）（x-x2）的图象向下平移 2 个单位得到的，则方程（x-x1）（x-x2）-2=0[或方程 （x-x1）（x-x2）=2]的两根 x3、x4 即为函数 y=（x-x1）（x-x2）-2 的图象与 x 轴的交点的横坐标，它们的大 致图象如图所示,根据图象知，x3＜x1＜x2＜x4．故选 C． 9. 【答案】A 【解析】∵x=-1 时，y≠0，∴方程 ax2+bx+c=0 的根为-1 这种说法不正确，∴结论 A 不正确；∵二次函数 y=ax2+bc+c 的图象与 x 轴有两个交点，∴△＞0，即 b2-4ac＞0，∴结论 B 正确；∵x=- ，∴b=2a，∴顶点 的纵坐标是 =2，∴a=c-2，∴结论 C 正确；∵二次函数 y=ax2+bc+c 的图象的对称轴是 x=-1，与 x 轴的 一个交点 A 在点（-3，0）和（-2，0）之间，∴与 x 轴的另一个交点 A 在点（0，0）和（1，0）之间，∴x=1 时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴结论 D 正确；∴不正确的结论为：A．故选 A． 点睛：二次函数的图象与系数的关系：①二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小：当 a＞0 时，抛物线 向上开口；当 a＜0 时，抛物线向下开口；②一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab＞0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab＜0），对称轴在 y 轴右．（简称：左同右 异）③常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点． 抛物线与 y 轴交于（0，c）． 10. 【答案】D 【解析】由抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴为 x=1，∴− =1，− =1， 解得：b=-2，∴x2-bx-c=x2+2x-c，令 y1=x2+2x-c，可求其对称轴为：x=-1，根据题意，当 x=2 时，y1＞0，x2+2x-c＞0，且当 x=-1 时，y1≤0， x2+2x-c≤0，或当 x=-3 时，y＞0，9-6-c＞0，且当 x=-1 时，y1≤0，x2+2x-c≤0，解得：-1≤c＜8，或-1≤c ＜3，综上所述，-1≤c＜8．故选 D．二、解答题 11. 【答案】（1）D（1，4）；（2）6. 【解析】（1）利用待定系数法代入求出 a，c 的值，进而利用配方法求出 D 点坐标即可；（2）首先求出图 象与 x 轴的交点坐标，进而求出△ABC 的面积． 解：（1）由题意，得 ， 解得 ， 则 y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， 则 D（1，4）； （2）由题意，得-x2+2x+3=0， 解得 x1=-1，x2=3； 则 A（-1，0）， 又∵B（3，0）、C（0，3）， ∴S△ABC＝ ×4×3＝6. 12. 【答案】（1）C（2，-3）；（2） . 【解析】（1）已知抛物线过 A，B 两点，可将 A，B 的坐标代入抛物线的解析式中用待定系数法即可求出抛 物线的解析式．然后可根据抛物线的解析式得出顶点 C 的坐标．（2）分别求直线 AC 的解析式和 BD 的解析 式，直线 AC：y=-x-1，直线 BD：y= x-1，可得 D 和 P 的坐标，证明△BPG∽△CPH 和△HPG∽△CPB，列比例 式可得 HG 的长.解：（1）把 A（-1，0）、B（5，0）代入抛物线解析式， 得 ，解得 ， ∴抛物线的解析式为：y＝ x2− x− ＝ (x−2)2−3， ∴顶点 C（2，-3） （2）设 BD 与 CG 相交于点 P， 设直线 AC 的解析式为：y=kx+b 把 A（-1，0）和 C（2，-3）代入得： ， 解得： 则直线 AC：y=-x-1， ∴D（0，-1）， 同理可得直线 BD：y= x-1，∴P(2，− ) ∵∠CHP=∠PGB=90°，∠GPB=∠CPH ∴△BPG∽△CPH，∴ ， ∴△HPG∽△CPB，∴ ， ∴ ， ∴HG＝ . 13. 【答案】（1）见解析；（2）方程的另一个根为 x=-2.【解析】（1）根据抛物线的对称轴为 x=- =1 可得；（2）根据抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个 交点可得答案． 解：（1）∵抛物线的对称轴为直线 x=1， ∴- =1， ∴2a+b=0； （2）∵关于 x 的方程 ax2+bx-8=0，有一个根为 4， ∴抛物线与 x 轴的一个交点为（4，0）， ∵抛物线的对称轴为 x=1， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点为（-2，0）， ∴方程的另一个根为 x=-2． 14.【答案】（1） ；（2）x 轴： 、 ；Y 轴： （3）见解析. 【解析】（1）将点（0，3）代入抛物线的解析式中，即可求得 m 的值；（2）可以令 y=0，可得出一个关于 x 的一元二次方程，方程的解就是抛物线与 x 轴交点的横坐标；（3）根据（2）中抛物线与 x 轴的交点以及 抛物线的开口方向即可求得 x 的取值范围． 解：（1）将点（0，3）代入抛物线 y=-x2+（m-1）x+m，m=3， ∴抛物线的解析式 y=-x2+2x+3； （2）令 y=0，-x2+2x+3=0， 解得 x1=3，x2=-1； x 轴：A（3，0）、B（-1，0）； y 轴：C（0，3） （3）抛物线开口向下，对称轴 x=1； 所以）①当-1＜x＜3 时，y＞0； ②当 x≥1 时，y 的值随 x 的增大而减小． 15. 【答案】（1）直线 AB 的解析式为 ；（2）见解析；（3）m 的值为 或 ． 【解析】（1）先利用二次函数解析式求出 A 点和 B 点坐标，然后利用待定系数法求直线 AB 的解析式；（2） 设 P（m，-m+8），则 Q（m，- m2+4m），讨论：当 0＜m≤2 时，PQ= m2-5m+8；当 2＜m＜8 时，PQ=- m2+5m-8； （3）先表示出 M（ m2-4m+8，- m2+4m），讨论：当 0＜m≤2，QM= m2-5m+8，利用矩形周长列方程得到（ m2-5m+8+ m2-5m+8）=9，然后解方程求出满足条件 m 的值；当 2＜m＜8，QM=- m2+5m-8，利用矩形周长列方程得到 2 （- m2+5m-8- m2+5m-8）=9，然后解方程求出满足条件 m 的值．解：（1）当 y=0 时，- x2+4x=0，解得 x1=0，x2=8，则 A（8，0）； 当 x=2 时，y=- x2+4x=6，则 B（2，6）， 设直线 AB 所对应的函数表达式为 y=kx+b， 将 A（8，0），B（2，6）代入可得 ，解得 ， 所以直线 AB 的解析式为 y=-x+8； （2）设 P（m，-m+8），则 Q（m，- m2+4m）， 当 0＜m≤2 时，PQ=-m+8-（- m2+4m）= m2-5m+8； 当 2＜m＜8 时，PQ=- m2+4m-（-m+8）=- m2+5m-8； （3）∵MQ∥x 轴， ∴M 点的纵坐标为- m2+4m， ∴M 点的横坐标为 m2-4m+8，即 M（ m2-4m+8，- m2+4m）， 当 0＜m≤2，QM= m2-4m+8-m= m2-5m+8， ∵2（PQ+QM）=9， ∴2（ m2-5m+8+ m2-5m+8）=9， 整理得 2m2-20m+23=0，解得 m1= ，m2= （舍去）； 当 2＜m＜8，QM=m-（ m2-4m+8）=- m2+5m-8， ∵2（PQ+QM）=9， ∴2（- m2+5m-8- m2+5m-8）=9， 整理得 2m2-20m+41=0，解得 m1= ，m2= （舍去）； 综上所述，m 的值为 或 ．