31.3 用频率估计概率
一、选择题
1. 绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：
则绿豆发芽的概率估计值是 （ ）
A. 0.96 B. 0.95 C. 0.94 D. 0.90
2. 某人在做掷硬币实验时，投掷 m 次，正面朝上有 n 次（即正面朝上的频率是 p= ）．则下列说法中正确
的是（ ）
A. P 一定等于 , B. P 一定不等于 ,
C. 多投一次，P 更接近 , D. 投掷次数逐渐增加，P 稳定在 附近
3. 小明在一只装有红色和白色球各一只的口袋中摸出一只球，然后放回搅匀再摸出一只球，反复多次实验
后，发现某种“状况”出现的机会约为 50%，则这种状况可能是（ ）
A. 两次摸到红色球 B. 两次摸到白色球
C. 两次摸到不同颜色的球 D. 先摸到红色球，后摸到白色球
4. 一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其
中放入 8 个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球 400 次，其
中 88 次摸到黑球，估计盒中大约有白球（ ）
A. 28 个 B. 30 个 C. 36 个 D. 42 个
5. 为验证“掷一个质地均匀的骰子，向上的点数为偶数的概率是 0.5”，下列模拟实验中，不科学的是（ ）
A. 袋中装有 1 个红球一个绿球，它们除颜色外都相同，计算随机摸出红球的概率
B. 用计算器随机地取不大于 10 的正整数，计算取得奇数的概率
C. 随机掷一枚质地均匀的硬币，计算正面朝上的概率
D. 如图，将一个可以自由旋转的转盘分成甲、乙、丙 3 个相同的扇形，转动转盘任其自由停止，计算指针
指向甲的概率6.从口袋中随机摸出一球，再放回口袋中，不断重复上述过程，共摸了 150 次，其中有 50 次摸到黑球，已
知口袋中有黑球 10 个和若干个白球，由此估计口袋中大约有多少个白球（ ）
A. 10 个 B. 20 个 C. 30 个 D. 无法确定
7.小鸡孵化场孵化出 1000 只小鸡，在 60 只上做记号，再放入鸡群中让其充分跑散，再任意抓出 50 只，其
中做有记号的大约是（ ）
A. 40 只 B. 25 只 C. 15 只 D. 3 只
8. 一个不透明的盒子里有 n 个除颜色外其它完全相同的小球，其中有 6 个黄球．每次摸球前先将盒子里的
球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后在放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在 30%，
那么可以推算出 n 大约是（ ）
A. 6 B. 10 C. 18 D. 20
9. 一个盒子里装有若干个红球和白球，每个球除颜色以外都相同．5 位同学进行摸球游戏，每位同学摸 10
次（摸出 1 球后放回，摇匀后再继续摸），其中摸到红球数依次为 8，5，9，7，6，则估计盒中红球和白球
的个数是（ ）
A. 红球比白球多 B. 白球比红球多 C. 红球，白球一样多 D. 无法估计
10. 关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ）
A. 频率等于概率；
B. 当实验次数很大时，频率稳定在概率附近；
C. 当实验次数很大时，概率稳定在频率附近；
D. 实验得到的频率与概率不可能相等
11.在学习掷硬币的概率时，老师说：“掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是 ”，小明做了下列三个
模拟实验来验证．
①取一枚新硬币，在桌面上进行抛掷，计算正面朝上的次数与总次数的比值；
②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份，并依次标上奇数和偶数，转动转盘，计算指针落在奇数区
域的次数与总次数的比值；
③将一个圆形纸板放在水平的桌面上，纸板正中间放一个圆锥（如图），从圆锥的正上方往下撒米粒，计算
其中一半纸板上的米粒数与纸板上总米粒数的比值． 上面的实验中，不科学的有（ ）A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
12. 抛掷两枚均匀的硬币，当抛掷多次以后，出现两个反面的成功率大约稳定在（ ）
A. 25% B. 50% C. 75% D. 100%
13. 下列说法正确的是（ ）
①试验条件不会影响某事件出现的频率；②在相同的条件下试验次数越多，就越有可能得到较精确的估计
值，但各人所得的值不一定相同；③如果一枚骰子的质量分布均匀，那么抛掷后每个点数出现的机会均等；
④抛掷两枚质量分布均匀的相同的硬币，出现“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”的机会相同．
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①③
14. 小明练习射击，共射击 60 次，其中有 38 次击中靶子，由此可估计，小明射击一次击中靶子的概率是
（ ）
A. 38% B. 60% C. 约 63% D. 无法确定
15. 在一个不透明的盒子中，红色、白色、黑色的球共有 40 个，除颜色外其他完全相同，老师在课堂上组
织同学通过多次试验后发现其中摸到红色、白色的频率基本稳定在 45%和 15%，则盒子中黑色球的个数可能
是（ ）
A. 16 B. 18 C. 20 D. 22
二、填空题
16. 有一箱规格相同的红、黄两种颜色的小塑料球共 1000 个．为了估计这两种颜色的球各有多少个，小明
将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后．发现摸
到红球的频率约为 0.6，据此可以估计红球的个数约为____．
17. 在“抛掷正六面体”的试验中，如果正六面体的六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”
和“6”，如果试验的次数增多，出现数字“1”的频率的变化趋势是____
18. 从某玉米种子中抽取 6 批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为____（精确到 0.1）．
19.晓刚用瓶盖设计了一个游戏：任意掷出一个瓶盖，如果盖面朝上则甲胜，如果盖面朝下则乙胜，你认为
这个游戏____（是否公平）；如果以硬币代替瓶盖，同样做上述游戏，你认为这个游戏____（是否公平）．
20.一个不透明的袋中装有 2 枚白色棋子和 n 枚黑色棋子，它们除颜色不同外，其余均相同．若小明从中随
机摸出一枚棋子，多次实验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在 80%．则 n 很可能是___枚．
三、解答题
21.某商场为了吸引顾客，举行抽奖活动，并规定：顾客每购买 100 元的商品，就可随机抽取一张奖券，抽
得奖券“紫气东来”、“花开富贵”、“吉星高照”，就可以分别获得 100 元、50 元、20 元的购物券，抽得“谢谢惠顾”不赠购物券；如果顾客不愿意抽奖，可以直接获得购物券 10 元．小明购买了 100 元的商品，他看
到商场公布的前 10000 张奖券的抽奖结果如下：
（1）求“紫气东来”奖券出现的频率；
（2）请你帮助小明判断，抽奖和直接获得购物卷，哪种方式更合算？并说明理由．
22. 研究问题：一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球，怎样估算不同颜色球的数量？
操作方法：先从盒中摸出 8 个球，画上记号放回盒中，再进行摸球实验，摸球实验的要求：先搅拌均匀，
每次摸出一个球，放回盒中，再继续．
活动结果：摸球实验活动一共做了 50 次，统计结果如下表：
推测计算：由上述的摸球实验可推算：
（1）盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少？
（2）盒中有红球多少个？
23.端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，五月初五早上，奶奶为小明准备了四只粽子：一只肉馅，一香肠
馅，两只红枣馅，四只粽子除内部馅料不同外其他均一切相同．小明喜欢吃红枣馅的粽子．
（1）请你用树状图为小明预测一下吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率；
（2）在吃粽子之前，小明准备用一个均匀的正四面体骰子（如图所示）进行吃粽子的模拟试验，规定：掷
得点数 1 向上代表肉馅，点数 2 向上代表香肠馅，点数 3，4 向上代表红枣馅，连续抛掷这个骰子两次表示
随机吃两只粽子，从而估计吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率．你认为这样模拟正确吗？试说明理由．24.如图，均匀的正四面体的各面依次标有 1，2，3，4 四个数字．小明做了 60 次投掷试验，结果统计如下：
（1）计算上述试验中“4 朝下”的频率是____；
（2）“根据试验结果，投掷一次正四面体，出现 2 朝下的概率是 ．”的说法正确吗？为什么？
（3）随机投掷正四面体两次，请用列表或画树状图法，求两次朝下的数字之和大于 4 的概率．
25. 一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是年平的．将它从一定高度下掷，
落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”
字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如下表：
（1）请将数据补充完整；
（2）画出“兵”字面朝上的频率分布折线图；
（3）如果实验继续进行下去，根据上表的数据，这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概
率是多少？
答案一、选择题
1. 【答案】B
【解析】 =（0.960+0.940+0.955+0.950+0.948+0.956+0.950）÷7≈0.95，当 n 足够大时，发芽的频率逐
渐稳定于 0.95，故用频率估计概率，绿豆发芽的概率估计值是 0.95．故选 B．
2. 【答案】B
【解析】∵硬币只有正反两面，∴投掷时正面朝上的概率为 ，根据频率的概念可知投掷次数逐渐增加，P
稳定在 附近．故选 D．
3. 【答案】C
【解析】∵摸到红色和白色球的概率均为 ，∴反复多次实验后，发现某种“状况”出现的机会约为 50%，
这种状况可能是两次摸到不同颜色的球．故选 C．
4. 【答案】A
【解析】共摸球 400 次，其中 88 次摸到黑球，那么有 312 次摸到白球；由此可知：摸到黑球与摸到白球的
次数之比为 88：312；已知有 8 个黑球，那么按照比例，白球数量即可求出．由题意得：白球有 ×8≈28
个．故选 A．
5.【答案】D
【解析】 选项 A，袋中装有 1 个红球一个绿球，它们出颜色外都相同，随机摸出红球的概率是 ，选项 A 正
确；选项 B，用计算器随机地取不大于 10 的正整数，取得奇数的概率是 ，选项 B 正确；选项 C，随机掷一
枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是 ，选项 C 正确；选项 D，将一个可以自由旋转的转盘分成甲、乙、
丙 3 个相同的扇形，转动转盘任其自由停止，指针指向甲的概率是 ，选项 D 错误.故选 D．
6. 【答案】B
【解析】摸了 150 次，其中有 50 次摸到黑球，则摸到黑球的频率是 ，设口袋中大约有 x 个白球，则
，解得 x=20．故选 B．
7. 【答案】D
【解析】小鸡孵化场孵化出 1000 只小鸡，在 60 只上做记号，则做记号的小鸡概率为 ，再任意抓出
50 只，其中做有记号的大约是 =3 只．故选 D．8. 【答案】D
【解析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入
手，列出方程求解．由题意可得， ×100%=30%，解得，n=20（个）．故估计 n 大约有 20 个．故选：D．
点评：此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键
是根据黄球的频率得到相应的等量关系．
9. 【答案】A
【解析】根据题意可得 5 位同学摸到红球的频率为 ，由此可得盒子里的红球比
白球多.故选 A.
10. 【答案】B
【解析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计
值，而不是一种必然的结果．A、频率只能估计概率；B、正确；C、概率是定值；D、可以相同，如“抛硬
币实验”，可得到正面向上的频率为 0.5，与概率相同．故选 B．
考点：本题考查的是利用频率估计概率
点评：解答本题的关键是熟练掌握大量反复试验下频率稳定值即概率．
11. 【答案】A
【解析】分析每个试验的概率后，与原来的掷硬币的概率比较即可．①由于一枚质地均匀的硬币，只有正
反两面，故正面朝上的概率是 ；②由于把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份，并依次标上奇数和偶
数，标奇数和偶数的转盘各占一半．指针落在奇数区域的次数与总次数的比值为 ．③由于圆锥是均匀的，
所以落在圆形纸板上的米粒的个数也是均匀的分布的，与纸板面积成正比，可验证其中一半纸板上的米粒
数与纸板上总米粒数的比值为 ．三个试验均科学，故选 D．
考点：模拟实验．
12. 【答案】A
【解析】抛掷两枚均匀的硬币，可能出现的情况为：正正，反反，正反，反正，所以出现两个反面的概率
为 ，即可知抛掷多次以后，出现两个反面的成功率大约稳定在 25%．故选 A．
点睛：本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情
况数与总情况数之比．
13. 【答案】B
【解析】①错误，实验条件会极大影响某事件出现的频率；②正确；③正确；④错误，“两个正面”、“两
个反面”的概率为 ，“一正一反”的机会较大，为 ．故选 B．
8 5 9 7 6 35 7
50 50 10
+ + + + = =考点：1.利用频率估计概率；2.可能性的大小；3.概率的意义．
14. 【答案】C
【解析】∵小明练习射击，共射击 60 次，其中有 38 次击中靶子，∴射中靶子的频率 ≈0.63，故小明
射击一次击中靶子的概率约是 63%．故选 C．
点睛：本题主要考查了利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决
问题．
15. 【答案】A
【解析】根据题意，通过多次试验后发现其中摸到红色、白色的频率基本稳定在 45%和 15%，可知摸到盒子
中黑色球的概率为 1-45%-15%=40%，由此可求得盒子中黑色球的个数为 40×40%=16．故选：A．
点睛：此题主要考查了利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决
问题．由于通过多次试验后发现其中摸到红色、白色的频率基本稳定在 45%和 15%，由此可以确定摸到盒子
中黑色球的概率，然后就可以求出盒子中黑色球的个数．
二、填空题
16. 【答案】600
【解析】由多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率约为 ，知摸到红球的概率约为 所以红球的个
数约为
17.【答案】
【解析】求概率，投一次的概率为 ，在投一次的概率还是 ，多次投的概率接近于
18. 【答案】0.8
【解析】种子粒数 5000 粒时，种子发芽的频率趋近于 0.801，估计种子发芽的概率为 0.801，精确到 0.1，
即为 0.8.
考点：利用频率估计概率.
19.【答案】 (1). 不公平 (2). 公平
【解析】因为瓶盖不是均匀的，盖面朝上和盖面朝下的机会不是均等的，所以这个游戏不公平．如果以硬
币代替瓶盖，因为硬币是均匀的，正面与反面向上机会相等，所以这个游戏公平．
点睛：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公
平，否则就不公平．
20.【答案】8
【解析】不透明的布袋中的棋子除颜色不同外，其余均相同，共有 n+2 个棋子，其中黑色棋子 n 个，根据
古典型概率公式知：P（黑色棋子）= =80%，解得 n=8．故答案为：8.
考点：利用频率估计概率．三、解答题
21. 【答案】(1) 或 5%；(2) 选择抽奖更合算
【解析】（1）“紫气东来”奖券出现的频率为 500÷ 10000 = 5%。
（2）平均每张奖券获得的购物券金额为
（元）
∵14＞10，∴选择抽奖更合算。
22. 【答案】(1) 红球占 40%，黄球占 60%；(2) 40 个
【解析】（1）由题意可知，进行了 50 次的摸球试验中，出现红球 20 次，黄球 30 次，即可求出盒中红球、
黄球各占总球数的百分比.（2）由题意可知，50 次的摸球实验活动中，出现有记号的球 4 次，可以推出总
球数，然后再根据（1）中红球的百分比，即可求出盒中红球的个数.
解：（1）由题意可知，50 次摸球实验活动中，出现红球 20 次，黄球 30 次，
∴红球所占百分比为 20÷50=40%，黄球所占百分比为 30÷50=60%，
答：红球占 40%，黄球占 60%；
（2）由题意可知，50 次摸球实验活动中，出现有记号的球 4 次，
∴总球数为 ，∴红球数为 100×40%=40，
答：盒中红球有 40 个.
考点：概率.
23. 【答案】(1) ;(2) 不正确
【解析】此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还
是不放回实验，（1）此题属于不放回实验；（2）此题模拟的为放回实验；所以模拟的不正确．
24. 【答案】（1） ; (2)不正确;(3)
【解析】（1）先由频率=频数÷试验次数算出频率；（2）根据表格观察抛掷的次数增多时，频率稳定到哪
个数值，这就是概率．（3）列表列举出所有的可能的结果，然后利用概率公式解答即可．
解：（1）“4 朝下”的频率： ．
（2）这种说法是错误的.在 60 次试验中，“2 朝下”的频率为 ，并不能说明“2 朝下”这一事件发生的概
率为 .只有当试验的总次数很大时，事件发生的频率才会稳定在相应的事件发生的概率附近.
（3）随机投掷正四面体两次，所有可能出现的结果如下：
1
3
1
3总共有 16 种结果，每种结果出现的可能性相同，而两次朝下数字之和大于 4 的结果有 10 种．
∴P(朝下数字之和大于 4)= ．
考点：1．列表法与树状图法；2．利用频率估计概率．
25. 【答案】(1)0.55;(2)见解析;(3)0.55
【解析】（1）根据图中信息，根据“频数除以实验次数，得到频率”，计算填表即可；（2）将频率作为纵
坐标，试验次数作为横坐标，描点连线，可得折线图．（3）根据表格中的信息，用频率估计概率即可得答
案.
解：（1）所填数字为：40×0.45=18，66÷120=0.55；
（2）折线图：
（3）根据表中数据，试验频率为 0.7，0.45，0.63，0.59，0.52，0.55，0.56，0.55 稳定在 0.55 左右，
故估计概率的大小为 0.55．
点睛：本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．作图时应先描点，再连线．用到
的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．频率=所求情况数与总情况数之比．
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