九年级数学下册第二十九章直线与圆的位置关系29.5正多边形与圆同步练习（冀教版）.doc

29.5 正多边形与圆 选择题 1. 如图，由等边三角形、正方形、圆组成的轴对称图案中，等边三角形与三个正方形的面积和的比值为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知，正六边形的半径是 4，则这个正六边形的边长是 A. 24 B. 6 C. 4 D. 3. 如图，⊙O 的半径为 3，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，则劣弧 AC 的长为 A. B. C. D. 4. 如图，正六边形 ABCDEF 中，阴影部分面积为 ，则此正六边形的边长为 A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm 5. 如图，要拧开一个边长 的六角形螺帽，扳手张开的开口 b 至少要 A. 6mm B. C. 12mm D. 6. 下列关于圆的叙述正确的有 圆内接四边形的对角互补； 相等的圆周角所对的弧相等； 正多边形内切圆的半径与正多边形的半径 相等； 同圆中的平行弦所夹的弧相等． A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 7. 如图，以半径为 2 的正六边形 ABCDEF 的中心 O 为原点建立平面直角坐标系，顶点 A，D 在 x 轴上，则点 C 的坐标为 A. B. C. D. 8. 如图，半径为 1 的⊙O 与正六边形 ABCDEF 相切于点 A、D，则弧 AD 的长为 A. B. C. D. 9. 如图，正方形 ABCD 内接于半径为 2 的⊙O，则图中阴影部分的面积为 A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是 A. 圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等 B. 在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点 C. 一元二次方程 一定有实数根 D. 将 绕 A 点按顺时针方向旋转 得 ，则 与 不全等 11.小明同学按照如下步骤进行折叠： 请你根据小明同学的折叠方法，回答以下问题： 如果设正三角形 ABC 的边长为 a，那么 ______ 用 含 a 的式子表示 ； 根据折叠性质可以知道 的形状为______ 三角形； 请同学们利用 、 的结论，证明六边形 KHGFED 是一个六边形． 12. 如图，点 A 是半径为 3 的⊙O 上的点， 尺规作图：作⊙O 的内接正六边形 ABCDEF； 求 中弧 AC 的长．13. 如图，AG 是正八边形 ABCDEFGH 的一条对角线． (1)在剩余的顶点 B、C、D、E、F、H 中，连接两个顶点，使连接的线段与 AG 平行，并说明理由； (2)两边延长 AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点 P、Q、M、N，若 AB=2，求四边形 PQMN 的面积． 14. (1)如图，EF 是⊙O 的直径，请仅用尺规作出该圆的内接正方形 ABCD，要求所作正方形的一组对边 AD、 BC 垂直于 EF 见示意图；不写作法，但须保留作图痕迹 ； (2)连接 EA、EB，求出 、 的度数． 答案 1. 【答案】A 【解析】依题意知，过直角三角形顶点过圆心做直线垂直于底边。图中等边三角形的高 h= （设 r 为圆的 半径），设底边边长为 2x，根据勾股定理可得，（2x）2-x2=（ ）2，解得 2x= r。∴等边三角形面积 S1= · · = 。又∵正方形的对角线等于圆的半径，所以 3 个正方形的面积 S2=3×2× r· r= 2。∴ = 考点：等边三角形，圆和正方形这类对称图形的特殊性 点评：难度较低。考查学生对几何图形的认识与灵活运算能力。运用勾股定理，等边三角形每个角 60°得出辅助线作用下的小直角为 30°特殊直角三角形，30°角对应的直角边等于斜边的一半。正方形对 角线把正方形平分成两个全等直角三角形等。 2.【答案】C 【解析】如图所示，连接 OB、OC；∵此六边形是正六边形，∴∠BOC= =60°，∵OB=OC=4，∴△BOC 是等 边三角形，∴OB=OC=BC=4．故选 C． 3. 【答案】C 【解析】如图所示,∵ABCDEF 为正六边形，∴∠AOB=360°× =60°，∴∠AOC=120°，∴ 的长为 =2π．故选 C．4. 【答案】B 【解析】由正六边形可分成六个全等的等边三角形，则阴影部分的面积与中间的正三角形的面积相等，即 阴影部分的面积为正六边形的面积的一半.设边长为 R，所以有 ，所以 R=4cm. 故选 B. 5. 【答案】D 【解析】设正多边形的中心是 O，其一边是 AB，∴∠AOB=∠BOC=60°，∴OA=OB=AB=OC=BC，∴四边形 ABCO 是菱形，∵AB=12mm，∠AOB=60°，∴cos∠BAC= ，∴AM=12× =6 ，∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，∴AM=MC= AC，∴AC=2AM=12 mm．故选 D． 6. 【答案】B 【解析】①圆内接四边形的对角互补；正确；②相等的圆周角所对的弧相等；错误；③正多边形内切圆的 半径与正多边形的半径相等；错误；④同圆中的平行弦所夹的弧相等；正确；正确的有 2 个，故选 B． 7.【答案】C 【解析】连接 OC．∵∠COD=60°，OC=OD，∴△COD 是等边三角形，∴OC=OD=2.设 BC 交 y 轴于 G，则∠GOC=30 °.在 Rt△GOC 中，∵∠GOC=30°，OC=2，∴GC=1，OG= ，∴C(1，- ).故选 C. 8. 【答案】C 【解析】连接 OA，OD，∵⊙O 与正六边形 ABCDEF 相切于点 A、D，∴∠OAF=∠ODE=90°，∵∠E=∠F=120°， 216 sin 60 2 2 32 R× × × = × 3 3∴∠AOD=540°-90°-90°-120°-120°=120°，∴ 的长为 ,故选 C． 9. 【答案】D 【解析】连接 AO，DO，∵ABCD 是正方形， ∴∠AOD=90°，AD= ，圆内接正方形的边长为 2 ，所以阴影部分的面积= [4π-（2 ）2]=π-2．故选 D． 10.【答案】A 【解析】如图，∠AOB= =60°，OA=OB，∴△AOB 是等边三角形，∴AB=OA，∴圆内接正六边形的边长与 该圆的半径相等，A 正确；在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示不同一点，B 错误；一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）不一定有实数根，C 错误；根据旋转变换的性质可知，将△ABC 绕 A 点按顺时针方向旋 转 60°得△ADE，则△ABC 与△ADE 全等，D 错误；故选 A． 11. 【答案】 (1) (2) 等边 【解析】（1）根据折叠的性质即可得到结论；（2）根据折叠的性质即可得到结论；（3）由（2）知△CDE 为等边三角形，根据等边三角形的性质得到 CD=CE=DE= CO÷cos30°= a，求得∠ADE=∠BED=120°，同理可 得，AH=AK=KH= a，BG=BF=GF= a，∠CKH=∠BHK=120°，由于 AB=BC=AC=a，于是得到结论． 解：（1）∵正三角形 ABC 的边长为 a， 由折叠的性质可知，点 O 是三角形的重心，∴CO= a； 故答案为： a； （2）△CDE 为等边三角形； 故答案为：等边； （3）由（2）知△CDE 为等边三角形， ∴CD=CE=DE= CO÷cos30°= a， ∠ADE=∠BED=120°， 同理可得，AH=AK=KH= a，BG=BF=GF= a，∠CKH=∠BHK=120°， ∵AB=BC=AC=a， ∴DE=DK=KH=HG=GF=FE= a，∠ADE=∠BED=∠CKH=∠BHK=∠CFG=∠AGF=120°， ∴六边形 KHGFED 是一个正六边形． 12. 【答案】（1）见解析；（2）2π 【解析】（1）由正六边形 ABCDEF 的中心角为 60°，可得△OAB 是等边三角形，继而可得正六边形的边长等 于半径，则可画出⊙O 的内接正六边形 ABCDEF；（2）由（1）可求得∠AOC=120°，继而求得（1）中 的 长． 解：（1）首先连接 OA，然后以 A 为圆心，OA 长为半径画弧，交⊙O 于 B，F，再分别以 B，F 为圆心，OA 长 为半径画弧，交⊙O 于点 E，C，在以 C 为圆心，OA 长为半径画弧，交⊙O 于点 D，则正六边形 ABCDEF 即为 所求； （2）∵正六边形 ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形 ∴∠AOC= ×2=120°， ∵⊙O 的半径为 3， ∴ 的长为： =2π． 13. 【解析】（1）利用已知得出正八边形,它的内角都为 135°,再利用正八边形 ABCDEFGH 关于直线 BF 对称, 得出∠2+∠3=180°,进而得出答案,（2）根据题意得出△PAH≌△QCB≌△MDE,则 PA=QB=QC=MD,即 PQ=QM,故四边形 PQMN 是正方形,进而求出 PQ 的长即可得出答案. 解：（1）连接 BF,则有 BF∥AG,理由如下: ∵ABCDEFGH 是正八边形,∴它的内角都为 135°, 又∵HA=HG,∴∠1=22.5°, 从而∠2=135°﹣∠1=112.5°, 由于正八边形 ABCDEFGH 关于直线 BF 对称, ∴∠3＝ 135°=67.5° 即∠2+∠3=180°,故 BF∥AG, （2）根据题设可知∠PHA=∠PAH=45°, ∴∠P=90°,同理可得∠Q=∠M=90°, ∴四边形 PQMN 是矩形． 又∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45°,AH=BC=DE, ∴△PAH≌△QCB≌△MDE, ∴PA=QB=QC=MD,即 PQ=QM, 故四边形 PQMN 是正方形． 在 Rt△PAB 中, ∵∠PAH=45°,AB=2, ∴ PA=AB sin45°=2 , ∴ PQ=PA+AB+BQ= +2+ =2 +2, 故四边形 PQMN 的面积 = =12+8 . 14.【答案】（1）见解析；（2）67.5° 【解析】（1）作出八等分点，即可得到圆内接正方形；（2）求出相应圆心角的度数，根据圆周角等于圆心 角的一半，即可解答． 解：（1）作①EF 的中垂线， ②直角的平分线 OD， ③8 等分弧，完成正方形．（2）连接 OD，OC， 因为 圆周，所以∠EOD=360°× =45°， 所以∠EAD=45°× =22.5°． 因为 ， 所以∠EBC=3∠EAD=3×22.5°=67.5°．