第五单元 数学广角——鸽巢问题
教学目标：
1.引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动，经历探究鸽巢问题的过程，初步了解
鸽巢问题，会用鸽巢问题解决简单的生活问题。
2.培养学生解决简单实际问题的能力。
3.通过鸽巢问题的灵活运用，展现数学的魅力。
重点难点：
重点：灵活应用鸽巢问题解决实际问题。
难点：理解鸽巢问题。
教学建议：
1.让学生初步经历“数学证明”的过程。可以鼓励引导学生借用学具、实物操作或画草
图的方法进行说理。通过说理的方式理解鸽巢问题解答的过程是一种数学证明的雏形。通过
这样的方式，有助于提高学生的逻辑思维能力，为以后思维严密的数学证明做准备。
2.有意识地培养学生的模型思想。当我们面对一个具体问题时，能否将这个具体问题和
鸽巢问题联系起来，能否找到该问题的具体情境与鸽巢问题的一般化模型之间的内在关系，
找出该问题中什么是“待分的东西”，什么是“鸽巢”，是解决该问题的关键。教学时，要引
导学生先判断某个问题是否属于鸽巢问题的范畴，再思考如何寻找隐藏在其背后的鸽巢问题
的一般模型。这个过程是学生经历将具体问题数学化的过程，从复杂的现实素材中找出最本
质的数学模型，是体现学生思维和能力的重要方面。
3.要适当把握教学要求。鸽巢问题本身或许并不复杂，但其应用广泛且灵活多变。因此，
用鸽巢问题解决实际问题时，经常会遇到一些困难，所以有时找到实际问题与鸽巢问题之间
的联系并不容易,即使找到了，也很难确定用什么作为“鸽巢”。因此，教学时，不必过分要
求学生说理的严密性，只要能结合具体问题，把大致意思说出来就行了，鼓励学生借助实物
操作等直观方式进行猜测、验证。
课时安排：
建议共分 2 课时：
数学广角…………………………………………………………………2 课时
【知识结构】第 1 课时 鸽巢问题（1）
教学内容：
最简单的鸽巢问题（教材第 68 页例 1 和第 69 页例 2）。
教学目标：
1.理解简单的鸽巢问题及鸽巢问题的一般形式，引导学生采用操作的方法进行枚举及假
设法探究“鸽巢问题”。
2.体会数学知识在日常生活中的广泛应用，培养学生的探究意识。
重点难点：
了解简单的鸽巢问题，理解“总有”和“至少”的含义。
教学过程：
一、情景导入
教师：同学们，你们在一些公共场所或旅游景点见过电脑算命吗？“电脑算命”看起来
很深奥，只要你报出自己的出生年月日和性别，一按键，屏幕上就会出现所谓性格、命运的
句子。通过今天的学习，我们掌握了“鸽巢问题”之后，你就不难证明这种“电脑算命”是
非常可笑和荒唐的，是不可相信的鬼把戏了。(板书课题：鸽巢问题)
教师：通过学习，你想解决哪些问题？
根据学生回答，教师把学生提出的问题归结为：“鸽巢问题”是怎样的？这里的“鸽巢”
是指什么？运用“鸽巢问题”能解决哪些问题？怎样运用“鸽巢问题”解决问题？
二、新课讲授
1.教师用投影仪展示例 1 的问题。
同学们手中都有铅笔和文具盒，现在分小组动手操作：把四支铅笔放进三个标有序号的
文具盒中，看看能得出什么样的结论。
组织学生分组操作，并在小组中议一议，用铅笔在文具盒里放一放。
教师指名汇报。学生汇报时会说出：1 号文具盒放 4 支铅笔，2 号、3 号文具盒均放 0 支铅笔。
教师：不妨将这种放法记为（4,0,0）。〔板书：（4,0,0）〕
教师提出：（4，0，0）（0，4，0）（0，0，4,）为一种放法。
教师：除了这种放法，还有其他的方法吗？教师再指名汇报。学生会有（4，0，0）（0，
1，3）（2,2,0）（2,1,1）四种不同的方法。教师板书。
教师：还有不同的放法吗?
教师：通过刚才的操作，你能发现什么?（不管怎么放,总有一个盒子里至少有 2 支铅
笔。）
教师:“总有”是什么意思?（一定有）
教师:“至少”有 2 支什么意思?（不少于两支,可能是 2 支,也可能是多于 2 支）
教师：就是不能少于 2 支。(通过操作让学生充分体验感受)
教师进一步引导学生探究：把 5 支铅笔放进 4 个文具盒，总有一个文具盒至少要放进几
支铅笔？指名学生说一说，并且说一说为什么？
教师：把 4 支笔放进 3 个文具盒里,和把 5 支笔放进 4 个文具盒里,不管怎么放,总有一
个文具盒里至少有 2 支铅笔。这是我们通过实际操作发现的这个结论。那么,我们能不能找
到一种更为直接的方法,只摆一种情况,也能得到这个结论吗?
学生思考——组内交流——汇报
教师:哪一组同学能把你们的想法汇报一下?
学生会说:我们发现如果每个文具盒里放 1 支铅笔,最多放 3 支,剩下的 1 支不管放进哪
一个文具盒里,总有一个文件、文具盒里至少有 2 支铅笔。
教师:你能结合操作给大家演示一遍吗?(学生操作演示)
教师：同学们自己说说看,同桌之间边演示边说一说好吗?
教师：这种分法,实际就是先怎么分的?
学生：平均分。
教师：为什么要先平均分?(组织学生讨论)
学生汇报：要想发现存在着“总有一个文具盒里一定至少有 2 支铅笔”,先平均分,余下
1 支,余下的这支不管放在哪个文具盒里，一定会出现“总有一个文具盒里一定至少有 2 支
铅笔”。
这样分,只分一次就能确定总有一个文具盒里至少有几支笔了。
教师：同意吗?那么把 5 支笔放进 4 个文具盒里呢?(可以结合操作,说一说)教师：哪位同学能把你的想法汇报一下？
学生：(一边演示一边说)5 支铅笔放在 4 个文具盒里,不管怎么放,总有一个文具盒里至
少有 2 支铅笔。
师：把 6 支笔放进 5 个文具盒里呢？还用摆吗?
生：6 支铅笔放在 5 个文具盒里,不管怎么放,总有一个文具盒里至少有 2 支铅笔。
师：把 7 支笔放进 6 个文具盒里呢？把 8 支笔放进 7 个文具盒里呢？把 9 支笔放进 8 个
盒子里呢?……
教师：你发现什么?
学生：铅笔的支数比盒子数多 1,不管怎么放,总有一个盒子里至少有 2 支铅笔。
教师；你们的发现和他一样吗?(一样)你们太了不起了!同桌互相说一遍。把 100 支铅笔
放进 99 个文具盒里会有什么结论？一起说。
2.教学例 2。
①出示题目:把 7 本书放进 3 个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书？请
同学们小组合作探究。探究时，可以利用每组桌上的 7 本书。
活动要求：
a.每人限独立思考。b.把自己的想法和小组同学交流。c.如果需要动手操作，可以利用
每桌上的 7 本书，要有分工，并要全面考虑问题。(谁分书，谁当抽屉，谁记录等)d.在全班
交流汇报。(师巡视了解各种情况)
学生汇报。
哪个小组愿意说说你们的方法？把你们的发现和大家一起分享，学生可能会有以下方法：
a.动手操作列举法。
学生：通过操作，我们把 7 本书放进 3 个抽屉，总有一个抽屉至少放进 3 本书。
b.数的分解法。
把 7 分解成三个数，有（7,0），（6,1），（5,2），（4,3）四种情况。在任何一种情况下，
总有一个数不小于 3。
教师：通过动手摆放及把数分解两种方法，我们知道把 7 本书放进 3 个抽屉，总有一个
抽屉至少放进几本书?(3 本)
②教师质疑引出假设法。
教师：同学们通过以上两种方法，知道了把 7 本书放进 3 个抽屉，总有一个抽屉至少放
进 3 本书，但随着书的本数越多，数据变大，如：要把 155 本书放进 3 个抽屉呢？用列举法、数的分解法会怎么样？（繁琐）我们能不能找到一种适用各种数据的方法呢？请同学们想想。
板书:7 本 3 个 2 本……余 1 本(总有一个抽屉里至少有 3 本书)
8 本 3 个 2 本……余 2 本(总有一个抽屉里至少有 3 本书)
10 本 3 个 3 本……余 1 本(总有一个抽屉里至少有 4 本书)
师：3 本、3 本、4 本是怎样得到的?
生：完成除法算式。
7÷3=2（本）……1（本）(商加 1)
8÷3=2（本）……2（本）(商加 1)
10÷3=3（本）……1（本）(商加 1)
师：观察板书你能发现什么?
学生：“总有一个抽屉里至少有 3 本”，只要用“商+1”就可以得到。
师:如果把 5 本书放进 3 个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?
学生:“总有一个抽屉里至少有 3 本”只要用 5÷3=1 本……2 本,用“商+2”就可以了。
学生有可能会说：不同意!先把 5 本书平均分放到 3 个抽屉里,每个抽屉里先放 1 本,还
剩 2 本,这 2 本书再平均分,不管分到哪两个抽屉里,总有一个抽屉里至少有 2 本书,不是 3 本
书。
师:到底是“商+1”还是“商+余数”呢？谁的结论对呢？在小组里进行研究、讨论、交
流、说理活动。
可能有三种说法：a.我们组通过讨论并且实际分了分,结论是总有一个抽屉里至少有 2
本书,不是 3 本书。
b.把 5 本书平均分放到 3 个抽屉里,每个抽屉里先放 1 本,余下的 2 本可以在 2 个抽屉里
再各放 1 本,结论是“总有一个抽屉里至少有 2 本书”。
c.我们组的结论是 5 本书平均分放到 3 个抽屉里,“总有一个抽屉里至少有 2 本书”用
“商加 1”就可以了,不是“商加 2”。
教师:现在大家都明白了吧？那么怎样才能够确定总有一个抽屉里至少有几本书呢?
学生回答：如果书的本数是奇数,用书的本数除以抽屉数,再用所得的商加 1,就会发现
“总有一个抽屉里至少有商加 1 本书”了。
教师讲解：同学们的这一发现,称为“抽屉原理”,“抽屉原理”又称“鸽笼原理”,最
先是由 19 世纪的德国数学家狄里克雷提出来的,所以又称“狄里克雷原理”,也称为“鸽巢
原理”。这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“抽屉原理” 的应用是千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题,并且常常能得到一些令人惊异的结果。
③引导学生归纳鸽巢问题的一般规律。
a.提问：如果把 10 本书放进 3 个抽屉会怎样？13 本呢？
b.学生列式回答。
c.教师板书算式：10÷3=3……1（总有一个抽屉至少放 4 本书）
13÷3=4……1（总有一个抽屉至少放 5 本书）
④观察特点，寻找规律。
提问：观察 3 组算式，你能发现什么规律？
引导学生总结归纳出：把某一数量（奇数）的书放进三个抽屉，只要用这个数除以 3，
总有一个抽屉至少放进书的本数比商多 1。
⑤提问：如果把 8 本书放进 3 个抽屉里会怎样，为什么？
8÷3=2……2
学生汇报。可能出现两种情况：一种认为总有一个抽屉至少放 3 本书；一种认为总有一
个抽屉至少放 4 本书。
学生讨论。讨论后，学生明白：不是商加余数 2，而是商加 1。因为剩下两本，也可能
分别放进两个抽屉里，一个抽屉一本，相当于数的分解（3,3,2）。所以，总有一个抽屉至少
放 3 本书。
⑥总结归纳鸽巢问题的一般规律。
要把 a 个物体放进 n 个抽屉里，如果 a÷n=b……c（c≠0），那么一定有一个抽屉至少
放（b+1）个物体。
三、课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获？
四、课后作业
完成练习册中本课时的练习。第 2 课时 鸽巢问题（2）
教学内容：
“鸽巢问题”的具体应用（教材第 70 页例 3）。
教学目标：
1.在了解简单的“鸽巢问题”的基础上，使学生会用此原理解决简单的实际问题。
2.培养学生有根据、有条理的进行思考和推理的能力。
3.通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的
魅力。
重点难点：
引导学生把具体问题转化为“鸽巢问题”，找出这里的“鸽巢”有几个，再利用“鸽巢
问题”进行反向推理。
教学过程：
一、情景导入
教师讲《月黑风高穿袜子》的故事。
一天晚上，毛毛房间的电灯突然坏了，伸手不见五指，这时他又要出去，于是他就摸床
底下的袜子，他有蓝、白、灰色的袜子各一双，由于他平时做事随便，袜子乱丢，在黑暗中
不知道哪些袜子颜色是相同的。毛毛想拿最少数目的袜子出去，在外面借街灯配成相同颜色
的一双。你们知道最少拿几只袜子出去吗？
在学生猜测的基础上揭示课题。
教师：这节课我们利用鸽巢问题解决生活中的实际问题。
板书：“鸽巢问题”的具体应用。
二、新课讲授
1.教学例 3。
盒子里有同样大小的红球和蓝球各 4 个，要想摸出的球一定有 2 个同色的，最少要摸出
几个球？
（出示一个装了 4 个红球和 4 个蓝球的不透明盒子，晃动几下）
师：同学们,猜一猜老师在盒子里放了什么?
（请一个同学到盒子里摸一摸，并摸出一个给大家看）
师：如果这位同学再摸一个，可能是什么颜色的？要想这位同学摸出的球，一定有 2 个
同色的，最少要摸出几个球？请学生独立思考后，先在小组内交流自己的想法，验证各自的猜想。
指名按猜测的不同情况逐一验证，说明理由。
摸 2 个球可能出现的情况：1 红 1 蓝；2 红；2 蓝
摸 3 个球可能出现的情况：2 红 1 蓝；2 蓝 1 红；3 红；3 蓝
摸 4 个球可能出现的情况：2 红 2 蓝；1 红 3 蓝；1 蓝 3 红；4 红；4 蓝
摸 5 个球可能出现的情况：4 红 1 蓝；3 蓝 2 红；3 红 2 蓝；4 蓝 1 红；
教师：通过验证，说说你们得出什么结论。
小结：盒子里有同样大小的红球和蓝球各 4 个。想要摸出的球一定有 2 个同色的，最少
要摸 3 个球。
2.引导学生把具体问题转化为“鸽巢问题”。
教师：生活中像这样的例子很多，我们不能总是猜测或动手试验吧，能不能把这道题与
前面所讲的“鸽巢问题”联系起来进行思考呢？
思考：
a.“摸球问题”与“鸽巢问题”有怎样的联系？
b.应该把什么看成“鸽巢”?有几个“鸽巢”?要分放的东西是什么？
c.得出什么结论？
学生讨论，汇报。
教师讲解：因为一共有红、蓝两种颜色的球，可以把两种“颜色”看成两个“鸽巢”，
“同色”就意味着“同一个鸽巢”。这样，把“摸球问题”转化“鸽巢问题”，即“只要分的
物体个数比鸽巢数多 1，就能保证有一个鸽巢至少有两个球”。
从最特殊的情况想起，假设两种颜色的球各拿了 1 个，也就是在两个鸽巢里各拿了一个
球，不管从哪个鸽巢里再拿一个球，都有两个球是同色，假设最少摸 a 个球，即（a）÷2=
（b）……1，当 b=1 时，a 就最小。所以一次至少应拿出 1×2+1=3（个）球，就能保证有两
个球同色。
结论：要保证摸出有两个同色的球，摸出的数量至少要比颜色种数多一。
三、课堂小结
本节课你有什么收获？
四、课后作业
完成练习册中本课时的练习。
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