六年级数学下册第五单元数学广角—鸽巢问题教案设计（共9页新人教版）.docx

第五单元 数学广角——鸽巢问题 单元教学总述 本单元通过几个直观例子，借助实际操作，向学生介绍“鸽巢原理”，使学生在理解 “鸽巢原理”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”。 “鸽巢原理”实际上是一种解决某种特定结构的数学问题或生活问题的模型，理论本身 并不复杂，但却是一类较为抽象的数学问题，教材选择学生常见的、熟悉的事物为学习素材， 降低了学习难度。“鸽巢原理”的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且 常常能得到令人惊异的结果。因此，“鸽巢原理”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛 的应用。用“说理”的方式来理解“鸽巢原理”的过程是一种数学证明的雏形，有助于逐步 提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较严密的数学证明做准备。 1.初步了解“鸽巢原理”的两种形式。 2.理解“鸽巢原理”的含义，掌握用“鸽巢原理”解决问题的方法。 3.能运用逆向思维解决问题。 4.通过“鸽巢原理”的学习，增强学生的逻辑推理能力。 重点：了解“鸽巢原理”的两种形式，能把具体问题转化为“鸽巢问题”，能运用“鸽巢原 理”解决简单的实际问题。 难点：找出解决“鸽巢问题”的窍门，反复推理，掌握用“鸽巢原理”解决问题的方法。 课时教学设计 鸽巢原理教学设计表 学科：数学 年级：六年级 册次：下 学校： 教师： 课题 鸽巢原理（P68 例 1、P69 例 2） 课型 新授课 计划学时 1 教 学 内 容 分析 例 1 借助把 4 支铅笔放进 3 个笔筒 中的操作情境，介绍了“鸽巢原理” 的最基本形式。例 2 介绍了另一种 类型的“鸽巢问题”，即：把多于kn 个的物体任意分放进 n 个抽屉中(k 是正整数，n 是非 0 自然数)，那么 一定有1个抽屉中至少放进了(k＋1) 个物体。 承前启后 平均分问题→鸽巢原 理→应用鸽巢原理解 决问题 教学目标 1.经历“鸽巢原理”的探究过程，通过观察、猜测等方法初步了解“鸽巢原 理”。 2.了解“鸽巢原理”的两种形式，能用“鸽巢原理”解释相关的现象。 3.通过动手操作，提高学生的类推能力。 重难点 重点：经历“鸽巢原理”的探究过 程，初步了解“鸽巢原理”的含义。 难点：掌握运用“鸽巢原理”解决 简单的实际问题的方法。 化解措施 交流讨论，精讲点拨 教 学 设 计 思路 游戏导入，聚焦重点→合作交流，探究新知→深入探究，解决问题→应用新 知，巩固方法→课堂小结，拓展延伸 教学准备 教具准备：PPT 课件 学具准备：4 支铅笔、3 个笔筒 教学过程 教师活动 学生活动 同步检测 一 、 游 戏 导 入 ， 聚 焦 重 点 。 （5 分钟） 1．组织学生玩“抽扑克牌” 游戏。 （1）准备一副扑克牌，取 出大王、小王。选出 5 位 1.游戏互动，猜想验证。 （1）明确游戏规则，各 组选代表参与“抽扑克 牌”游戏。 1.100 名同学平均分 成 5 组，每组有多少 人？ 100÷5=20（人）同学，请他们任意抽取 1 张扑克牌并记在心里，把 牌收好。 (2)教师猜测：在这 5 张扑 克牌里，至少有 2 张是同 一花色的。 (3)验证猜想。 （4）再次游戏。 请一名同学抽出 14 张牌， 发现：这 14 张牌中至少有 一对儿。 （5）课件出示：5 张牌中 至少有 2 张是同一花色的； 14 张牌中至少有一对儿。 组织学生说一说“至少” 的含义。 2．引入新课。 师：老师为什么能作出准 确的判断呢？因为这个游 戏中蕴含着一个数学原理， 这节课我们就一起来研究 这个原理。 （2）与教师一起猜测结 果。 （3）学生代表打开手里 的扑克牌，验证教师的 猜想，初步感知“至少” 的含义。 （4）再次游戏，进一步 理解“至少”的含义。 （5）观看课件出示的两 句话，用自己的语言说 一说“至少”的含义。 （“至少”是指最小的 限度，最少。） 2.明确本节课的学习内 容。 2.30 名同学去旅游， 如果每 4 人住 1 间房， 那 么 一 共 需 要 几 间 房？ 30÷4=7（间）……2 （人） 7+1=8（间） 二 、 合 作 交 流 ， 探 究 新 知 。 （13分钟） 1.教学例 1，探究鸽巢原 理（一）。 （1）课件出示：把 4 支铅 笔放进 3 个笔筒中，可以 怎么放？有几种情况？ （2）引导学生小组合作用 1.（1）观看课件出示的 题目，读题，分析题意。 （2）小组合作，尝试用 不同的方法进行解答。 ①用实物操作。 ②画图法。 3.填空。 (1)4 只鸽子飞回 3 个 鸽笼，至少有(2)只鸽 子飞进同一个鸽笼。 (2)把 6 个球放进 5 个 盒子里，至少有(2)个自己的方法解决问题。 （鼓励学生用放一放、画 一画、说一说等不同的方 法解决） （3）组织学生交流、汇报。 2.教师精讲点拨。 （1）强调：不管怎样放， 总有 1 个笔筒里至少有 2 支铅笔。 （2）点拨：这类问题有两 种思考方法：枚举法和假 设法。（重点指导、示范 用假设法解题的过程） 3. 总结：“鸽巢原理 (一) ”。 把 m 个物体任意分放进 n 个抽屉中(m>n，m 和 n 是 非 0 自然数)，那么一定有 1 个抽屉中至少放进了 2 个 物体。 ③数的分解法。 …… （3）小组选代表进行汇 报：有四种情况，分别 是 4 支，0 支，0 支；3 支，1 支，0 支；2 支，2 支，0 支；2 支，1 支，1 支。 2.认真倾听教师的讲解 和点拨。 （1）明确：不管怎样放， 总有 1 个笔筒里至少有 2 支铅笔。 （2）理解枚举和假设的 思考方法，并对两种方 法进行比较。 3.与教师共同归纳，得 出一般性结论，理解“鸽 巢原理（一）”。 球放进同一个盒子里。 4.说一说。 (1)7 只鸽子飞回到 5 个鸽舍，至少有 2 只 鸽子飞回到同一个鸽 舍里，为什么？ 自己说一说 (2)10 名同学骑 9 辆 自行车去郊游，至少 有 2 名同学骑同一辆 自行车，为什么？ 自己说一说 三 、 深 入 探 究 ， 解 决 问 题 。 (15 分钟) 1.课件出示教材第 69 页 例 2 情境图，引导学生观 察，获取数学信息。 2.引导学生小组合作，用 自己喜欢的方法解决问题。 （枚举法、假设法） 3.引导学生用“尽量平均 分”解题，得出：物体数÷ 鸽巢数＝商……余数，至 1.观察情境图，获取数 学信息。 2.尝试用自己喜欢的方 法解决问题，并交流放 法。 3.利用平均分的关系列 出除法算式，明确方法。 7÷3＝2……1　2＋1＝ 3 5.一个班级有 40 人， 至少有几人的属相是 相同的？ 40 ÷ 12=3 （人）……4（人） 3+1=4（人） 6. 把 10 只兔子放进 4 个兔笼，至少有几 只兔子放进同一个兔少数＝商＋1。 4.尝试解决：把 8 本书放 进 3 个抽屉里，总有 1 个 抽屉里至少放进几本书？ 把 10 本书放进 3 个抽屉里 呢？ 5. 总 结 “ 鸽 巢 原 理 (二) ”。 把多于 kn 个的物体任意 分放进 n 个抽屉中(k 是正 整数，n 是非 0 自然数)， 那么一定有 1 个抽屉中至 少放进了(k＋1)个物体。 4.讨论后用算式表示解 题过程。 8÷3＝2……2　2＋1＝ 3 10 ÷3 ＝3 ……1 　3 ＋1 ＝4 5.交流，感悟“鸽巢原 理 (二) ”，并在小组内 举例验证。 笼？ 10÷4=2（只）……2 （只） 2+1=3（只） 三 、 应 用 新 知 ， 巩 固 方 法 。 (3 分钟) 1.完成教材第 68 页“做一 做”第 1，2 题。 2.完成教材第 69 页“做一 做”第 1，2 题。 独立完成后全班交流， 并说出计算过程。 7. 体育课上，10 个小 朋友进行投篮练习， 他们一共投进 54 个 球。有 1 个小朋友至 少投进（6）个球。 四 、 课 堂 小 结 ， 拓 展 延 伸 。 （4 分钟） 1.这节课我们学习了什么？引导学生回顾总结。 2.鸽巢原理又称抽屉原理，也称为狄利克雷原理。用 它可以解决一些相当复杂甚至无从下手的问题。 3.假设法体现了鸽巢原理的最不利情况。先把待分物 体平均分，如果有剩余，那么抽屉里的物品数量至少 是平均分的结果再加 1。 教师个人补充意见： 板书设计 鸽巢原理 物体数÷鸽巢数＝商……余数 至少数＝商＋1培优作业 一副扑克牌(取出两张王牌)。 (1) 一次至少要拿出多少张，才能保证有 2 张是相同花色的？ 5 张 (2) 一次至少要拿出多少张，才能保证 4 种花色都有？ 52÷4＝13(张)　13×3＋1＝40(张) 名师点睛 教学中，可借助具体的操作情境，引导学生利用生活经验，自主思考、猜测、 验证、推理、交流，使学生在操作、思考中得出一般性的结论，体验并理解 “鸽巢原理”的最基本形式。 微 课 设 计 点 教师可围绕“鸽巢原理”设计微课。 解决问题 教学设计表 学科：数学 年级：六年级 册次：下 学校： 教师： 课题 解决问题（P70 例 3） 课型 新授课 计划学时 1 教 学 内 容 分析 例 3 教学用“鸽巢原理”解决具体 问题，也是运用“鸽巢原理”的逆 向思维解决问题的一个例子。教材 引导学生把实际问题转化为“鸽巢 问题”进行解答。 承前启后 平均分问题→应用鸽 巢原理解决问题→综 合应用 教学目标 1. 经历把实际问题转化为鸽巢问题的过程，了解用“鸽巢原理”解题的一 般步骤。 2. 会运用“鸽巢原理”解决具体的问题。 3. 在了解与运用“鸽巢原理”的过程中，提高学习数学的兴趣和应用意识。 重难点 重点：能运用“鸽巢原理”解决实 际问题。 难点：能根据题意设计“鸽巢”。 化解措施 自主探究，猜测验证教 学 设 计 思路 复习巩固，导入新课→合作交流，探究新知→巩固应用，提升能力→课堂小 结，拓展延伸 教学准备 教具准备：PPT 课件 学生准备：盒子，红、蓝两种颜色的小球若干 教学过程 教师活动 学生活动 同步检测 一 、 复 习 巩 固 ， 导 入 新 课 。 （5 分钟） 1.课件出示复习题。 (1)有 5 块糖，分给 4 个 小朋友，总有 1 个小朋 友至少得到了 2 块糖。 这是为什么？ (2)有 8 本书，放进 3 个 抽屉里，总有 1 个抽屉 里至少放进了 3 本书。 这是为什么？ 2.导入新课：上节课我 们了解了“鸽巢原理”， 那么，在遇到具体问题 的时候，该怎样运用“鸽 巢原理”解决呢？这就 是我们这节课要学习的 内容。 1.读题，分析题意，根据 “鸽巢原理”说一说原因。 2.注意倾听，明确本节课 的学习内容。 1.填空。 (1)把 4 只鸽子放进 3 个笼子里，总有 1 个笼子里至少放进(2) 只鸽子。 (2)把 5 本书放进 4 个 抽屉里，总有 1 个抽 屉里至少放进(2)本 书。 (3)把 13 块蛋糕放进 6 个盒子里，总有 1 个盒子里至少放进(3) 块蛋糕。 二 、 合 作 交 流 ， 探 究 新 知 。 （20分钟） 1.课件出示教材第 70 页 例 3，引导学生找出题目 中的已知条件有哪些， 要解决什么问题。 2.引导学生猜测、验证。 （1）组织学生猜一猜。 （2）组织小组合作，利 用组里的学具实际摸一 1.读题，从中获取信息， 找到题中的已知条件和所 求问题。 2.猜测、验证。 （1）大胆猜想，说一说自 己猜想的结果以及原因。 （2）小组合作进行验证， 将红球和蓝球各 4 个放到 2.选择。 (1)盒子里有大小、质 地完全相同的红球、 黄球、绿球各 10 个， 要想摸出的球一定有 3 个是相同颜色的， 至少要摸出(C)个球。 A．3 摸，验证猜测结果的正 确性。 （3）组织学生交流、汇 报，统一答案。 3.将该题转化为“鸽巢 问题”进行解答。 (1)引导学生思考：本例 题所讲的问题与前面所 讲的“鸽巢问题”有没 有联系？如果有，那么 有什么联系？ (2)组织小组讨论：题目 中分放的物体是什么？ 鸽巢是什么？应有几个 鸽巢？ （3）引导学生用“鸽巢 原理”解题。 师：至少应该把几个球 放进几个鸽巢才能保证 摸出的球一定有 2 个同 色的？ 4.引导学生总结用“鸽 巢原理”解决问题的一 般步骤。（先确定什么 是鸽巢及有几个鸽巢； 再确定分放的物体；最 后得出分放物体的个数） 盒子里，实际摸一摸，验 证自己的猜测是否正确。 （3）全班交流，汇报，形 成统一的答案：至少摸出 3 个球就能保证有 2 个是 同色的。 3.小组讨论，把这道题转 化为“鸽巢问题”。 (1)明确：本例题所讲的 问题是“鸽巢原理”的具 体应用，是鸽巢原理的逆 向应用题。 (2)讨论后汇报：题目中 分放的物体是要摸出的球， 应该把球的 2 种颜色看作 2 个鸽巢，同种颜色就是 同一个鸽巢。 （3）根据“鸽巢原理”(一)， 只要摸出的球的个数比它 们的颜色种数多 1，就能 保证一定有 2 个球是同色 的，所以答案是至少要摸 出 3 个球。 4.总结用“鸽巢原理”解 决问题的一般步骤。 B．4 C．7 D．10 (2)从一副扑克牌(不 包括 2 张王牌) 中至 少抽出(C)张，才能保 证一定有 1 张黑桃。 A．7 B．5 C．40 D．13 3．篮子里有苹果、梨、 橘子若干，现在有 35 个小朋友，如果每个 小朋友都从中任意拿 2 个水果，那么至少 有多少个小朋友拿的 水果是相同的？ 任意拿 2 个水果共有 6 种情况。 35 ÷6 ＝5( 个) …… 5(个)　5＋1＝6(个) 三 、 巩 固 1.完成教材第 70 页“做 1.独立思考或与同桌讨论， 4.要保证从下面的盒应 用 ， 提 升 能 力 。 （10分钟） 一做”第 2 题。 2.完成教材第 71 页第 2 题。 分析题意，探究怎样用“鸽 巢原理”解决问题。 2.汇报解决问题的过程和 结果，全班交流，订正答 案。 子里摸出 2 种不同颜 色的球，至少要摸出 （6）个。 四 、 课 堂 小 结 ， 拓 展 延 伸 。 （5 分钟） 1.这节课我们学习了什么？引导学生回顾总结。 2.将实际问题转化成“鸽巢问题”时，要弄清“鸽巢” 和所分放的物体及它们的个数。 教师个人补充意见： 板书设计 解决问题 基本步骤：1.确定什么是鸽巢及有几个鸽巢。 2．确定分放的物体。 3．运用“鸽巢原理”得出在某个“鸽巢”中至少分放的物体个数。 培优作业 把 25 个玻璃球最多放进几个盒子里，才能保证至少有 1 个盒子里有 5 个玻 璃球？ 把盒子数看成鸽巢数，要使其中 1 个鸽巢里至少有 5 个玻璃球，则玻璃球的 个数至少要比鸽巢数的(5－1)倍多 1 个，而(25－1)÷(5－1)＝6，所以最多 放进 6 个盒子里，才能保证至少有 1 个盒子里有 5 个玻璃球。 提示：(分放的物体总数－1)÷(其中 1 个鸽巢里至少有的物体个数－1)＝ a……b，其中 a 就是所求的鸽巢数。 名师点睛 在学生学习的过程中，如果不加以有效地引导，将会使学生盲目地探究，不 仅浪费时间，还有可能影响学生的学习积极性。所以，在教学中设计一些具 有指导意义的问题，给学生的探究指明方向，加以提示，使探究过程有明确 的目的，使学生获得自学的成就感，从而提高学生学习的自信心和解决问题 的能力。 微 课 设 计 点 教师可围绕“运用鸽巢原理解决问题的步骤”设计微课。