九年级数学下册第24章圆24-6正多边形与圆教案（沪科版）.docx

24.6　正多边形与圆 第 1 课时 正多边形与圆 【教学目标】 1.理解正多边形的概念. 2.能根据定理通过等分圆的方法画正多边形和用量角器和尺规作图的方法等分圆. 【重点难点】 重点：了解圆与正多边形的关系；掌握用量角器等分圆心角来等分圆,从而得到正多边形 和用尺规作圆内接正方形和正六边形的方法. 难点：对正 n 边形中“n”的接受和理解. ┃教学过程设计┃ 教学过程 设计意图 一、创设情境,导入新课 师：让学生从教材上找出正多边形的概念. 生：各边相等、各角也相等的多边形叫做正 多边形. 师：出示下列美丽的图案.(见课件) 让学生思考下列问题： 1.这些都是日常生活中经常见到的利用正多 边形得到的物体,你能从中找出正多边形吗？ 2.你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样 作一个正多边形？ 生：观察、分析、讨论、交流、发表各自见 解. 　结合美丽的图片,欣赏生活中正多边形形 状的物体,让学生感受到数学来源于生活,并 从中感受数学美.　二、师生互动,探究新知 师：将一个圆分成五等份,依次连接各分点得 到一个五边形,这个五边形一定是正五边形 吗？ 如果是,证明你的结论.如果是六、七……等 份呢？ 生：小组合作探索分析、总结结论.将一个圆 分成 n 等份,依次连接各分点得到一个正 n 边 形. [教师根据学生的回答进行引导、补充和总 结.] 师：以五边形为例,引导学生证明. 已知：如图,点 A、B、C、D、E 在⊙O 上,且 ＝ ＝ ＝ ＝ . 求证：五边形 ABCDE 是⊙O 的内接正五边形. 证明：(1)由 ＝ ＝ ＝ ＝ , 得________＝________＝________＝ ________＝________. ∵ ＝ ＝3 ,∴∠1＝∠2. 　 　　让学生通过等分圆后,观察得出结论,体 现一种研究方法——由特殊推广到一般. AB BC CD DE EA AB BC CD DE EA BCE CDA AB同理可得∠2＝∠3＝∠4＝∠5. 又因为顶点 A、B、C、D、E 都在⊙O 上,所以 五边形 ABCDE 是⊙O 的内接正五边形. 生：思考完成填空. 师：将一个圆分成 n 等份,经过各分点作圆的 切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是 这个圆的外切正 n 边形吗？用课件出示下列 证明. 已知：如图,点 A、B、C、D、E 在⊙O 上,且 ＝ ＝ ＝ ＝ ,TP、PQ、QR、RS、ST 分别是以点 A、B、C、D、E 为切点的⊙O 的切 线. 求证：五边形 PQRST 是⊙O 的外接正五边形. 证明：连接 OA、OB、OC,则∠OAB＝∠OBA＝ ∠OBC＝∠OCB. ∵TP、PQ、QR 分别是以点 A、B、C 为切点的⊙O 的切线, ∴∠OAP＝∠OBP＝∠OBQ＝∠OCQ, ∴∠PAB＝∠PBA＝∠QBC＝∠QCB. 又∵ ＝ ,∴AB＝BC, ∴△PAB ≌△QBC. ∴∠P＝∠Q,PQ＝2PA. 同理可得∠Q＝∠R＝∠S＝∠T, QR＝RS＝ST＝TP＝2PA. ∵五边形 PQRST 的各边都与⊙O 相切, ∴五边形 PQRST 是⊙O 的外切正五边形. 生：观察理解证明过程,得出结论.将一个圆 分成 n 等份,经过各分点作圆的切线,以相邻 AB BC CD DE EA AB BC切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切 正 n 边形. 师：根据上述定理,我们可以通过等分圆周的 方法画正多边形,请同学们思考：如何用量角 器等分圆？ 生：小组合作,讨论得出答案. 师：让学生讨论用尺规来等分圆,可以得到哪 些正多边形？ 生：讨论得出正四、八、十六边形；正六； 十二、二十四边形和正三角形. 　　三、运用新知,解决问题 让学生完成练习第 1、2、3 题. 　　及时巩固,练习提高. 　　四、课堂小结,提炼观点 引导学生总结本节课的主要内容. 　　五、布置作业,巩固提升 教材习题 24.6 第 1、2、3 题. 　　巩固认识,提高应用能力. ┃教学小结┃ 【板书设计】 正多边形与圆 1.正多边形的概念：各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形. 2.正多边形与圆的关系：把一个圆分成 n 条相等的弧,就可以作出这个圆的内接或外切正 n 边形. 3.画正多边形.24.6　正多边形与圆 第 2 课时 正多边形的性质 【教学目标】 1.理解正多边形与圆的关系定理. 2.理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质. 3.理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念. 【重点难点】 重点：理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理. 难点：对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,并且这两个圆是同心圆”的理解. ┃教学过程设计┃ 　　教学过程 设计意图 　　一、提出问题,导入新课 师：上节课我们学习了正多边形的定义,并且 知道只要 n 等分(n≥3)圆周就可以得到圆的 内接正 n 边形和圆的外切正 n 边形.反过来, 是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切 圆呢？ 　　提出问题,激发学习兴趣. 二、师生互动,探究新知 师：组织学生自己完成以下活动. 1.作已知三角形的外接圆,圆心是已知三角 形的什么线的交点？半径是什么？ 2.作已知三角形的内切圆,圆心是已知三角 形的什么线的交点？半径是什么？ 生：作图思考回答. 师：当三角形为正三角形时,它的外接圆和内 切圆有什么关系？生：思考回答. 师：(1)正方形有外接圆吗？若有,外接圆的 圆心在哪？(正方形对角线的交点.) (2)根据正方形的哪个性质证明对角线的交 点是它的外接圆圆心？ (3)正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是 谁？ 生：小组讨论回答. 师：拓展、推理(用多媒体出示右图). 过正五边形 ABCDE 的顶点 A、B、C 作⊙O,连 接 OA、OB、OC、OD、OE. ∵OB＝OC,∴∠1＝∠2. 又∵∠ABC＝∠BCD,∴∠3＝∠4. ∵AB＝DC,∴△OAB≌△ODC. ∴OA＝OD,即点 D 在⊙O 上. 同理,点 E 在⊙O 上. 所以正五边形 ABCDE 有一个外接圆⊙O. 因为正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦, 所以弦心距相等.因此,以点 O 为圆心,以弦心 距(OH)为半径的圆与正五边形的各边都相切. 可见正五边形 ABCDE 还有一个以 O 为圆心的 内切圆. 师：引导学生归纳. 正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线 上. 　　采用开展活动,小组讨论的方法,培养学 生互助,协作的精神,通过引导学生自主合作, 探究验证,培养学生分析问题和解决问题的 意识和能力. 　　它的任意三个顶点确定一个圆,即确定了圆 心和半径. 其他两个顶点到圆心的距离都等于半径. 正五边形的各顶点共圆. 正五边形有外接圆. 圆心到各边的距离相等. 正五边形有内切圆,它的圆心是外接圆的圆 心,半径是圆心到任意一边的距离. 照此法证明,正六边形、正七边形、…、正 n 边形都有一个外接圆和内切圆. 定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个 内切圆,并且这两个圆是同心圆. 正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正 多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形 的半径,内切圆的半径叫做正多边形的边心 距.正多边形各边所对的外接圆的圆心角都 相等.正多边形每一边所对的外接圆的圆心 角叫做正多边形的中心角.正 n 边形的每个中 心角都等于 360° n . 师：正多边形都是轴对称图形吗？都是中心 对称图形吗？ 生：小组讨论得出正多边形都是轴对称图形, 一个正 n 边形共有 n 条对称轴,每条对称轴都 通过正 n 边形的中心.边数是偶数的正多边形 还是中心对称图形,它的中心就是对称中心. 师：讲解例题. 例　求边长为 a 的正六边形的周长和面积.解：如图,过正六边形中心 O 作 OG⊥BC,垂足 是 G,连接 OB,OC. 由于多边形 ABCDEF 是正六边形, ∴∠BOC＝60°,△BOC 是等边三角形. ∴C 正六边形＝6BC＝6a. 在△BOC 中,OG＝ 3 2 BC＝ 3 2 a, ∴S 正六边形＝6· 1 2.BC·OG＝6· 1 2a· 3 2 a＝ 3 3 2 a2 因而,边长为 a 的正六边形的周长和面积分别 是 6a 和 3 3 2 a2. 　　三、运用新知,解决问题 师：让学生独立完成教材练习第 1、2、3 题. 生：独立完成. 　　及时巩固,练习提高. 　　四、课堂小结,提炼观点 在教师的引导下总结本节课的主要内容： 1.正多边形的中心、半径、边心距、中心角 等概念. 2.正多边形与圆的关系定理. 3.证明点共圆的方法.　　五、布置作业,巩固提升 教材习题 24.6 第 4～8 题. 　　巩固认识,提高应用水平. ┃教学小结┃ 【板书设计】 正多边形的性质 1.正多边形的性质：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,并且这两个圆是同心 圆. 2.相关概念： (1)正多边形的中心、半径； (2)正多边形的边心距、中心角.