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专题 2.1 方程
一、单选题
1．某旅店一共 70 个房间，大房间每间住 8 个人，小房间每间住 6 个人，一共 480 个学生刚好住满，设大
房间有 个，小房间有 个.下列方程正确的是( )
A. B. C. D.
【来源】广东省深圳市 2018 年中考数学试题
【答案】A
【解析】【分析】大房间有 个，小房间有 个，根据等量关系：大小共 70 个房间，共住 480 人，列方程组
即可.
【详解】大房间有 个，小房间有 个，
由题意得： ，
故选 A.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程组是解此类问题的关键.
2．学校八年级师生共 466 人准备参加社会实践活动，现已预备了 49 座和 37 座两种客车共 10 辆，刚好坐
满．设 49 座客车 x 辆，37 座客车 y 辆，根据题意可列出方程组（ ）
A. B. C. D.
【来源】浙江省温州市 2018 年中考数学试卷
【答案】A
点睛:考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的
一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组.
3．方程组 的解是（ ）
A. B. C. D. 2
【来源】天津市 2018 年中考数学试题
【答案】A
【解析】分析：根据加减消元法，可得方程组的解．
详解： ，①-②得
x=6，把 x=6 代入①，得 y=4，原方程组的解为 ．故选 A.
点睛：本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法是解题关键．
4．夏季来临，某超市试销 、 两种型号的风扇，两周内共销售 30 台，销售收入 5300 元， 型风扇每台 200
元， 型风扇每台 150 元，问 、 两种型号的风扇分别销售了多少台？若设 型风扇销售了 台， 型风扇销
售了 台，则根据题意列出方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【来源】山东省泰安市 2018 年中考数学试题
【答案】C
点睛：本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题的关键．
5．已知一元二次方程 x2+kx-3=0 有一个根为 1，则 k 的值为（ ）
A. -2 B. 2 C. -4 D. 4
【来源】江苏省盐城市 2018 年中考数学试题
【答案】B
【解析】分析：根据一元二次方程的解的定义，把把 x=1 代入方程得关于 k 的一次方程 1-3+k=0，然后解一
次方程即可．
详解：把 x=1 代入方程得 1+k-3=0，
解得 k=2．
故选：B．
点睛：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．3
6．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ，若 ,则 的值
是( )
A. 2 B. -1 C. 2 或-1 D. 不存在
【来源】山东省潍坊市 2018 年中考数学试题
【答案】A
【解析】分析：先由二次项系数非零及根的判别式△＞0，得出关于 m 的不等式组，解之得出 m 的取值范围，
再根据根与系数的关系可得出 x1+x2= ，x1x2= ，结合 ，即可求出 m 的值．
点睛：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次
项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于 m 的不等式组；（2）牢记两根之和等于- 、两根之积等于 ．
7．某市从 2017 年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市 2017 年“竹文化”旅游收入约为 2 亿
元．预计 2019“竹文化”旅游收入达到 2.88 亿元，据此估计该市 2018 年、2019 年“竹文化”旅游收入的
年平均增长率约为（ ）
A. 2% B. 4.4% C. 20% D. 44%
【来源】四川省宜宾市 2018 年中考数学试题4
【答案】C
点睛：本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．一元二次方程 x2﹣2x=0 的两根分别为 x1 和 x2，则 x1x2 为（ ）
A. ﹣2 B. 1 C. 2 D. 0
【来源】四川省宜宾市 2018 年中考数学试题
【答案】D
【解析】分析：根据根与系数的关系可得出 x1x2=0，此题得解．
详解：∵一元二次方程 x2﹣2x=0 的两根分别为 x1 和 x2，
∴x1x2=0．
故选 D．
点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于 是解题的关键．
9．关于 的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A. 有两不相等实数根 B. 有两相等实数根
C. 无实数根 D. 不能确定
【来源】湖南省娄底市 2018 年中考数学试题
【答案】A
【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式进行判断即可.
【详解】 ，
△=[-(k+3)]2-4k=k2+6k+9-4k=(k+1)2+8，
∵(k+1)2≥0，
∴(k+1)2+8>0，5
即△>0，
∴方程有两个不相等实数根，故选 A.
【点睛】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0
时，方程有两个不相等的实数根；当△=0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程没有实数根．
10．关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【来源】2018 年甘肃省武威市（凉州区）中考数学试题
【答案】C
【点评】考查一元二次方程 根的判别式 ，
当 时，方程有两个不相等的实数根.
当 时，方程有两个相等的实数根.
当 时，方程没有实数根.
11．欧几里得的《原本》记载，形如 的方程的图解法是：画 ，使 ， ，
，再在斜边 上截取 .则该方程的一个正根是（ ）
A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长
【来源】2018 年浙江省舟山市中考数学试题
【答案】B
【解析】【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出 AB 的长，进而求得 AD 的长,即可发
现结论.6
【点评】考查解一元二次方程已经勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.
12．若关于 的一元二次方程 x(x+1)+ax=0 有两个相等的实数根，则实数 a 的值为（ ）
A. B. 1 C. D.
【来源】安徽省 2018 年中考数学试题
【答案】A
【解析】【分析】整理成一般式后，根据方程有两个相等的实数根，可得△=0，得到关于 a 的方程，解方程
即可得.
【详解】x(x+1)+ax=0，
x2+(a+1)x=0，
由方程有两个相等的实数根，可得△=（a+1）2-4×1×0=0，
解得：a1=a2=-1，
故选 A.
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
13．一元二次方程 根的情况是（ ）
A. 无实数根 B. 有一个正根，一个负根
C. 有两个正根，且都小于 3 D. 有两个正根，且有一根大于 3
【来源】山东省泰安市 2018 年中考数学试题
【答案】D
【解析】分析：直接整理原方程，进而解方程得出 x 的值．7
详解：（x+1）（x﹣3）=2x﹣5
整理得：x2﹣2x﹣3=2x﹣5，则 x2﹣4x+2=0，（x﹣2）2=2，解得：x1=2+ ＞3，x2=2﹣ ，故有两个正
根，且有一根大于 3．
故选 D．
点睛：本题主要考查了一元二次方程的解法，正确解方程是解题的关键．
14．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了 60 万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实
际工作时每天的工作效率比原计划提高了 25%，结果提前 30 天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的
面积为 x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【来源】山东省淄博市 2018 年中考数学试题
【答案】C
点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
15．分式方程 的解是（ ）
A. B. C. D.
【来源】四川省成都市 2018 年中考数学试题
【答案】A
【解析】分析：观察可得最简公分母是 x（x-2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程
求解．
详解： ，
去分母，方程两边同时乘以 x（x-2）得：
（x+1）（x-2）+x=x（x-2），8
x2-x-2+x=x2-2x，
x=1，
经检验，x=1 是原分式方程的解，
故选 A．
点睛：考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求
解．（2）解分式方程一定注意要验根．
16．分式方程 的解为（ ）
A. B. C. D. 无解
【来源】山东省德州市 2018 年中考数学试题
【答案】D
点睛：本题考查了分式方程的解，始终注意分母不为 0 这个条件．
17．若数 使关于 x 的不等式组 有且只有四个整数解，且使关于 y 的方程 的解
为非负数，则符合条件的所有整数 的和为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【来源】【全国省级联考】2018 年重庆市中考数学试卷（A 卷）
【答案】C
【解析】【分析】先求出不等式的解集，根据只有四个整数解确定出 a 的取值范围，解分式方程后根据解为
非负数，可得关于 a 的不等式组，解不等式组求得 a 的取值范围，即可最终确定出 a 的范围，将范围内的
整数相加即可得.
【详解】解不等式 ，得 ，
由于不等式组只有四个整数解，即 只有 4 个整数解，
∴ ，
∴ ； 9
解分式方程 ，得 ，
【点睛】本题考查含有参数的不等式和含有参数的分式方程的应用，熟练掌握不等式组的解法、分式方程
的解法以及解分式方程需要注意的事项是解题的关键.
二、填空题
18 ． 若 关 于 x 、 y 的 二 元 一 次 方 程 组 的 解 是 ， 则 关 于 a 、 b 的 二 元 一 次 方 程 组
的解是_______．
【来源】山东省滨州市 2018 年中考数学试题
【答案】
【解析】分析：利用关于 x、y 的二元一次方程组 的解是 可得 m、n 的数值，代入关于 a、
b 的方程组即可求解，利用整体的思想找到两个方程组的联系再求解的方法更好．
详解：∵关于 x、y 的二元一次方程组 的解是 ，
∴将解 代入方程组
可得 m=﹣1，n=2
∴关于 a、b 的二元一次方程组 整理为：
解得：
点睛：本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体现明显．
19．中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五，羊二，值金十两.10
牛二，羊五，值金八两。问牛羊各值金几何？”译文：今有牛 5 头，羊 2 头，共值金 10 两，牛 2 头，羊 5
头，共值金 8 两. 问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金 两、 两，依题意，可列出方程为
___________________ .
【来源】江西省 2018 年中等学校招生考试数学试题
【答案】
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程组是关键.
20．对于实数 a，b，定义运算“◆”：a◆b= ，例如 4◆3，因为 4＞3．所以 4◆3=
=5．若 x，y 满足方程组 ，则 x◆y=_____________.
【来源】山东省德州市 2018 年中考数学试题
【答案】60
【解析】分析：根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案．
详解：由题意可知： ，
解得： ．
∵x＜y，∴原式=5×12=60．
故答案为：60．
点睛：本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法以及正确理解新
定义运算法则，本题属于基础题型．
21．为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮.其中，甲种粗粮每袋装
有 3 千克 粗粮，1 千克 粗粮，1 千克 粗粮；乙种粗粮每袋装有 1 千克 粗粮，2 千克 粗粮，2 千克 粗粮.
甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中 三种粗粮的成本价之和.已知 粗粮每千克成本价为 6 元，
甲种粗粮每袋售价为 58.5 元，利润率为 30%，乙种粗粮的利润率为 20%.若这两种袋装粗粮的销售利润率达
到 24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是____________________.11
（ ）
【来源】【全国省级联考】2018 年重庆市中考数学试卷（A 卷）
【答案】
【详解】用表格列出甲、乙两种粗粮的成分：
品种
类别
甲 乙
3 1
1 2
1 2
由题意可得甲的成本价为： =45（元），
甲中 A 的成本为：3×6=18（元），
则甲中 B、C 的成本之和为：45-18=27（元），
根据乙的组成则可得乙的成本价为：6+27×2=60（元），
设甲销售 袋，乙销售 袋使总利润率为 24%，则有
（45a+60b）×24%=(58.5-45)a+(72-60)b，
整理得：2.7a=2.4b，
所以，a：b=8：9，
故答案为： .
【点评】本题考查了方程的应用，难度较大，根据题意求出甲、乙两种包装的成本价是解题的关键.
22．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子
来量竿，却比竿子短一托.如果 1 托为 5 尺，那么索长为__________尺，竿子长为__________尺．
【来源】2018 年浙江省绍兴市中考数学试卷解析
【答案】 20 1512
【点评】考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系.
23 ． 一 个 三 角 形 的 两 边 长 分 别 为 3 和 6 ， 第 三 边 长 是 方 程 x2-10x+21=0 的 根 ， 则 三 角 形 的 周 长 为
______________.
【来源】湖北省黄冈市 2018 年中考数学试题
【答案】16
【解析】分析：首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．
详解：解方程 x2-10x+21=0 得 x1=3、x2=7，
∵3＜第三边的边长＜9，
∴第三边的边长为 7．
∴这个三角形的周长是 3+6+7=16．
故答案为：16．
点睛：本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已
知的两边的差，而小于两边的和．
24．一元二次方程 的两根为 , ,则 的值为____________ .
【来源】江西省 2018 年中等学校招生考试数学试题
【答案】2
【点睛】本题考查了一元二次方程根的意义，一元二次方程根与系数的关系等，熟练掌握相关内容是解题13
的关键.
25．若 是方程 的一个根，则 的值为__________．
【来源】江苏省扬州市 2018 年中考数学试题
【答案】2018
【解析】分析：根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
详解：由题意可知：2m2-3m-1=0，
∴2m2-3m=1
∴原式=3（2m2-3m）+2015=2018
故答案为：2018
点睛：本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题
型．
26．关于 的方程 有两个不相等的实数根，那么 的取值范围是__________．
【来源】江苏省扬州市 2018 年中考数学试题
【答案】 且
【解析】分析：根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△=4-12m＞0 且 m≠0，求出 m 的取值
范围即可．
详解：∵一元二次方程 mx2-2x+3=0 有两个不相等的实数根，
∴△＞0 且 m≠0，
∴4-12m＞0 且 m≠0，
∴m＜ 且 m≠0，
故答案为：m＜ 且 m≠0．
点睛：本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方
程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元
二次方程的定义．
27 ． 设 、 是 一 元 二 次 方 程 的 两 个 根 ， 且 ， 则 __________ ，
__________．
【来源】江苏省南京市 2018 年中考数学试卷
【答案】 ， 14
点睛：本题考查了根与系数的关系：若 、 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时， =- ，
= .
28．若 是一元二次方程 的两个实数根，则 =__________．
【来源】山东省德州市 2018 年中考数学试题
【答案】-3
【解析】分析：根据根与系数的关系即可求出答案．
详解：由根与系数的关系可知：x1+x2=﹣1，x1x2=﹣2，
∴x1+x2+x1x2=﹣3
故答案为：﹣3．
点睛：本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
29．为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村计划在荒坡上种树 960 棵，由于青年志愿者支援，实际每
天种树的棵数是原计划的 2 倍，结果提前 4 天完成任务，则原计划每天种树的棵数是________.
【来源】江苏省宿迁市 2018 年中考数学试卷
【答案】12015
【点睛】本题考查了列分式方程解应用题，弄清题意，找出等量关系是解题的关键.
30．当 ____________时,解分式方程 会出现增根．
【来源】山东省潍坊市 2018 年中考数学试题
【答案】2
【解析】分析：分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为 0 的未知数的
值．
详解：分式方程可化为：x-5=-m，
由分母可知，分式方程的增根是 3，
当 x=3 时，3-5=-m，解得 m=2，
故答案为：2．
点睛：本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为 0 确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
31．甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测 20 个，甲检测 300 个比乙检测 200 个所用的时间少
，若设甲每小时检测 个，则根据题意，可列出方程：__________．
【来源】2018 年浙江省舟山市中考数学试题
【答案】
【解析】【分析】若设甲每小时检测 个，检测时间为 ，乙每小时检测 个，检测时间为 ，根
据甲检测 300 个比乙检测 200 个所用的时间少 ，列出方程即可.
【解答】若设甲每小时检测 个，检测时间为 ，乙每小时检测 个，检测时间为 ，根据题意有：
.
故答案为：
【点评】考查分式方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系.
三、解答题
32．《孙子算经》中有过样一道题，原文如下：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城
中家几何？” 大意为：今有 100 头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每 3 家共取一头，恰好取
完，问城中有多少户人家？请解答上述问题.16
【来源】安徽省 2018 年中考数学试题
【答案】城中有 75 户人家.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出等量关系列方程进行求解是关键.
33．解方程组：
【来源】江苏省宿迁市 2018 年中考数学试卷
【答案】原方程组的解为
【解析】【分析】利用代入法进行求解即可得.
【详解】 ，
由①得：x=-2y ③
将③代入②得：3（-2y）+4y=6，
解得：y=-3，
将 y=-3 代入③得：x=6，
∴原方程组的解为 .
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键.
34．某村在推进美丽乡村活动中，决定建设幸福广场，计划铺设相同大小规格的红色和蓝色地砖．经过调
査．获取信息如下：
购买数量低于 5000 块 购买数量不低于 5000 块
红色地砖 原价销售 以八折销售
蓝色地砖 原价销售 以九折销售
如果购买红色地砖 4000 块，蓝色地砖 6000 块，需付款 86000 元；如果购买红色地砖 10000 块，蓝色地砖 350017
块，需付款 99000 元．
（1）红色地砖与蓝色地砖的单价各多少元？
（2）经过测算，需要购置地砖 12000 块，其中蓝色地砖的数量不少于红色地砖的一半，并且不超过 6000
块，如何购买付款最少？请说明理由．
【来源】江苏省连云港市 2018 年中考数学试题
【答案】（1）红色地砖每块 8 元，蓝色地砖每块 10 元；（2）购买蓝色地砖 5000 块，红色地砖 7000 块，
费用最少，最少费用为 89800 元．
（2）设购置蓝色地砖 x 块，则购置红色地砖（12000-x）块，所需的总费用为 y 元，
由题意可得：x≥ （12000-x），
解得：x≥4000，
又 x≤6000，
所以蓝砖块数 x 的取值范围：4000≤x≤6000，18
点睛：此题主要考查了一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
35．在端午节来临之际，某商店订购了 A 型和 B 型两种粽子.A 型粽子 28 元/千克，B 型粽子 24 元/千克.若
B 型粽子的数量比 A 型粽子的 2 倍少 20 千克，购进两种粽子共用了 2560 元，求两种型号粽子各多少千克.
【来源】湖北省黄冈市 2018 年中考数学试题
【答案】A 型粽子 40 千克，B 型粽子 60 千克.
【解析】分析】订购了 A 型粽子 x 千克，B 型粽子 y 千克．根据 B 型粽子的数量比 A 型粽子的 2 倍少 20 千
克，购进两种粽子共用了 2560 元列出方程组，求解即可．
详解：设订购了 A 型粽子 x 千克，B 型粽子 y 千克，
根据题意，得 ，
解得 ．
答：订购了 A 型粽子 40 千克，B 型粽子 60 千克．
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合
适的等量关系，列出方程组再求解．
36．为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的
土方施工任务．该工程队有 两种型号的挖掘机,已知 3 台 型和 5 台 型挖掘机同时施工一小时挖土 165
立方米；4 台 型和 7 台 型挖掘机同时施工一小时挖土 225 立方米．每台 型挖掘机一小时的施工费用为 300
元,每台 型挖掘机一小时的施工费用为 180 元．
(1)分别求每台 型, 型挖掘机一小时挖土多少立方米?
(2)若不同数量的 型和 型挖掘机共 12 台同时施工 4 小时,至少完成 1080 立方米的挖土量,且总费用不超
过 12960 元．问施工时有哪几种调配方案,并指出哪种调配方案的施工费用最低,最低费用是多少元?
【来源】山东省潍坊市 2018 年中考数学试题19
【答案】（1）每台 型挖掘机一小时挖土 30 立方米,每台 型挖据机一小时挖土 15 立方米；
（2）共有三种调配方案．方案一: 型挖据机 7 台, 型挖掘机 5 台；方案二: 型挖掘机 8 台, 型挖掘机 4
台；方案三: 型挖掘机 9 台, 型挖掘机 3 台．当 A 型挖掘机 7 台, 型挖掘机 5 台的施工费用最低,最低费
用为 12000 元．
(2)设 型挖掘机有 台,总费用为 元,则 型挖据机有 台．根据题意,得
，
因为 ，解得 ，
又因为 ,解得 ,所以 ．
所以,共有三种调配方案．
方案一:当 时, ,即 型挖据机 7 台, 型挖掘机 5 台；
方案二:当 时, ,即 型挖掘机 8 台, 型挖掘机 4 台；
方案三:当 时, ,即 型挖掘机 9 台, 型挖掘机 3 台．
,由一次函数的性质可知, 随 的减小而减小,
当 时， ，
此时 型挖掘机 7 台, 型挖掘机 5 台的施工费用最低,最低费用为 12000 元．
点睛：本题考查了二元一次方程组和一次函数增减性，解答时先根据题意确定自变量取值范围，再应用一
次函数性质解答问题．
37．《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数问题，也首先记录
了“盈不足”等问题.如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，
不足十六.问人数、鸡价各几何？译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出 9 文钱，就会多 11 文钱；
如果每人出 6 文钱，又会缺 16 文钱.问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？请解答上述问题.
【来源】2018 年甘肃省武威市（凉州区）中考数学试题20
【答案】合伙买鸡者有 9 人，鸡价为 70 文钱．
【解析】【分析】设合伙买鸡者有 x 人，鸡价为 y 文钱．根据如果每人出 9 文钱，就会多 11 文钱；如果每
人出 6 文钱，又会缺 16 文钱.列出方程组，求解即可.
【点评】考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系，列方程.
38．用消元法解方程组 时，两位同学的解法如下：
（1）反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”.
（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答.
【来源】2018 年浙江省舟山市中考数学试题
【答案】（1）解法一中的计算有误；（2）原方程组的解是 .
【解析】【分析】根据加减消元法和代入消元法进行判断即可.
【解答】（1）解法一中的计算有误（标记略）.
（2）用消元法解方程组 时，两位同学的解法如下：
由①-②，得 ，解得 ，
把 代入①，得 ，解得 ，
所以原方程组的解是 .
【点评】考查加减消元法和代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握两种方法是解题的关键.
39．用消元法解方程组 时,两位同学的解法如下:
解法一: 解法二:由②，得 , ③
由①-②,得 . 把①代入③，得 .21
（1）反思:上述两个解题过程中有无计算错误?若有误,请在错误处打“ ”.
（2）请选择一种你喜欢的方法,完成解答.
【来源】浙江省嘉兴市 2018 年中考数学试题
点睛：本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
40．一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了
降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1 元，平均每天可
多售出 2 件.
（1）若降价 3 元，则平均每天销售数量为________件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200 元？
【来源】江苏省盐城市 2018 年中考数学试题
【答案】（1）26；（2）每件商品降价 10 元时，该商店每天销售利润为 1200 元.
【解析】分析：（1）根据销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件，可得若降价 3 元，则平均每天可
多售出 2×3=6 件，即平均每天销售数量为 20+6=26 件；
（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．22
点睛：此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销
售的利润是解题关键．
41．已知关于 的一元二次方程 .
（1）试证明：无论 取何值此方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两根 ， 满足 ，求 的值.
【来源】湖北省孝感市 2018 年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）-2.
【解析】分析：（1）将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（2p+1）
2≥0，由此即可证出：无论 p 取何值此方程总有两个实数根；
（2）根据根与系数的关系可得出 x1+x2=5、x1x2=6-p2-p，结合 x12+x22-x1x2=3p2+1，即可求出 p 值．
详解：（1）证明：原方程可变形为 x2-5x+6-p2-p=0．
∵△=（-5）2-4（6-p2-p）=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=（2p+1）2≥0，
∴无论 p 取何值此方程总有两个实数根；
（2）∵原方程的两根为 x1、x2，
∴x1+x2=5，x1x2=6-p2-p．
又∵x12+x22-x1x2=3p2+1，
∴（x1+x2）2-3x1x2=3p2+1，
∴52-3（6-p2-p）=3p2+1，
∴25-18+3p2+3p=3p2+1，
∴3p=-6，
∴p=-2．
点睛：本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0 时，方程有两个
实数根”；（2）根据根与系数的关系结合 x12+x22-x1x2=3p2+1，求出 p 值．
42．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围.
【来源】四川省成都市 2018 年中考数学试题
【答案】23
点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
43．某地 年为做好“精准扶贫”，投入资金 万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加， 年
在 年的基础上增加投入资金 万元.
（1）从 年到 年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在 年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于 万元用于优先搬迁租房奖励，规定前
户（含第 户）每户每天奖励 元， 户以后每户每天奖励 元，按租房 天计算，求 年该
地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.
【来源】贵州省安顺市 2018 年中考数学试题
【答案】（1）从 年到 年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为 ；（2） 年该地至少有
户享受到优先搬迁租房奖励.
【解析】分析：（1）设年平均增长率为 x，根据：2015 年投入资金给×（1+增长率）2=2017 年投入资金，
列出方程求解可得；
（2）设今年该地有 a 户享受到优先搬迁租房奖励，根据：前 1000 户获得的奖励总数+1000 户以后获得的奖
励总和≥500 万，列不等式求解可得．
详解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为 ，根据题意得
，
解得： 或 （舍），
答：从 年到 年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为 ；
（2）设 年该地有 户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意得，
∵ ，∴ ，
，
解得： .
答： 年该地至少有 户享受到优先搬迁租房奖励.
点睛：本题主要考查一元二次方程与一元一次不等式的应用，由题意准确抓住相等关系并据此列出方程或24
不等式是解题的关键．
44．(1)计算： .
(2)解方程： .
【来源】浙江省义乌市 2018 年中考数学试题
【答案】（1）2；（2） ， .
点睛：此题主要考查了实数的运算和一元二次方程的解法，关键是熟练掌握特殊角的三角函数、二次根式
的化简、零次幂、负整数指数幂以及一元二次方程的求根公式．
45．为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备
成本价为 30 万元,经过市场调研发现,每台售价为 40 万元时,年销售量为 600 台;每台售价为 45 万元时,年
销售量为 550 台.假定该设备的年销售量 y(单位:台)和销售单价 (单位:万元)成一次函数关系.
(1)求年销售量 与销售单价 的函数关系式;
(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于 70 万元,如果该公司想获得 10000 万元的年利润.则该设备
的销售单价应是多少万元?
【来源】山东省德州市 2018 年中考数学试题
【答案】（1） ；（2）该公可若想获得 10000 万元的年利润，此设备的销售单价应是 50 万
元.25
（2）设此设备的销售单价为 x 万元/台，则每台设备的利润为（ x﹣30）万元，销售数量为（﹣
10x+1000）台，根据题意得：
（x﹣30）（﹣10x+1000）=10000，
整理，得：x2﹣130x+4000=0，
解得：x1=50，x2=80．
∵此设备的销售单价不得高于 70 万元，∴x=50．
答：该设备的销售单价应是 50 万元/台．
点睛：本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的
坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
46．在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造.
（1） 原计划是今年 1 至 5 月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共 50 千米，其中道路硬化的里程数至少
是道路拓宽的里程数的 4 倍，那么，原计划今年 1 至 5 月，道路硬化和里程数至少是多少千米？
（2）到今年 5 月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划
的最小值.2017 年通过政府投入 780 万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共 45 千米，每千米的道路
硬化和道路拓宽的经费之比为 1 : 2，且里程数之比为 2 : 1，为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入.经
测算：从今年 6 月起至年底，如果政府投入经费在 2017 年的基础上增加 10a%（a>0），并全部用于道路硬化
和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在 2017 年的基础上分别增加 a%，5a%，那么道路硬化
和道路拓宽的里程数将会在今年 1 至 5 月的基础上分别增加 5a%，8a%，求 a 的值.
【来源】【全国省级联考】2018 年重庆市中考数学试卷（A 卷）
【答案】（1）40 千米；（2）10.26
【详解】（1）设道路硬化的里程数是 x 千米，则由题意得：
x≥4(50-x)，
解不等式得：x≥40，
答：道路硬化的里程数至少是 40 千米；
（2）由题意得：
2017 年：道路硬化经费为：13 万/千米，里程为：30km
道路拓宽经费为：26 万/千米，里程为：15km
∴今年 6 月起：
道路硬化经费为：13（1+a%）万/千米，里程数：40（1+5a%）km，
道路拓宽经费为：26（1+5a%）万/千米，里程数：10（1+8a%）km，
又∵政府投入费用为：780（1+10a%）万元，
∴列方程：13(1+a%)×40(1+5a%)+26(1+5a%)×10(1+8a%)=780(1+10a%)，
令 a%=t，方程可整理为：
13(1+t)×40(1+5t)+26(1+5t)×10(1+8t)=780(1+10t)，
520(1+t)(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t)，
化简得： ，
2(1+t)(1+5t)+(1+5t)(1+8t)=3 (1+10t)，
10 -t=0，
t(10t-1)=0，
∴ （舍去）， ，
∴综上所述： a = 10，
答：a 的值为 10.
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，解决本题的关键是将道路硬化，道路拓
宽的里程数及每千米需要的经费求出.27
47．（1）计算： .
（2）解方程： .
【来源】2018 年浙江省绍兴市中考数学试卷解析
【答案】（1）2；（2） ， .
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力以及解一元二次方程，是各地中考题中常见的计算题型．解
决实数的综合运算题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
48．解方程： ﹣ =0
【来源】江苏省连云港市 2018 年中考数学试题
【答案】x=2
【解析】分析：根据等式的性质去分母，可得整式方程，然后解这个整式方程，最后检验可得答案．
详解：方程两边同乘以 x（x-1），去分母得，
3x-2（x-1）=0，
解得 x=-2，
经检验：x=-2 是原分式方程的解．
点睛：本题考查了解分式方程，利用等式的性质将分式方程转化成整式方程是解题关键，要检验方程的
根．
49．某超市预测某饮料有发展前途，用 1600 元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用 6000 元购进这
批饮料，第二批饮料的数量是第一批的 3 倍，但单价比第一批贵 2 元.
(1)第一批饮料进货单价多少元？
(2)若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于 1200 元，那么销售单价至少为多少元？
【来源】广东省深圳市 2018 年中考数学试题28
【答案】（1）第一批饮料进货单价为 8 元.(2) 销售单价至少为 11 元.
【解析】【分析】（1）设第一批饮料进货单价为 元，根据等量关系第二批饮料的数量是第一批的 3 倍，列
方程进行求解即可；
（2）设销售单价为 元，根据两批全部售完后，获利不少于 1200 元，列不等式进行求解即可得.
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系与不等关系是关
键.
50．我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产 300 万部智能手机的订单，为了尽快交货，增开了
一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了 50%，结果比原计划提前 5 个月完成交货，求每月实际生产
智能手机多少万部．
【来源】四川省宜宾市 2018 年中考数学试题
【答案】每月实际生产智能手机 30 万部．
【解析】分析：设原计划每月生产智能手机 x 万部，则实际每月生产智能手机（1+50%）x 万部，根据工作
时间=工作总量÷工作效率结合提前 5 个月完成任务，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出
结论．
详解：设原计划每月生产智能手机 x 万部，则实际每月生产智能手机（1+50%）x 万部，
根据题意得： ，
解得：x=20，
经检验，x=20 是原方程的解，且符合题意，
∴（1+50%）x=30．
答：每月实际生产智能手机 30 万部．29
点睛：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
51．京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉，全长 ，是我国最繁忙的铁路干线之一.如
果从北京到上海的客车速度是货车速度的 2 倍，客车比货车少用 ，那么货车的速度是多少？（精确到
）
【来源】江苏省扬州市 2018 年中考数学试题
【答案】货车的速度是 千米/小时.
点睛：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
52．刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了 元.几天后，遇上这种大米 折出售，她用 元
又买了一些，两次一共购买了 kg.这种大米的原价是多少？
【来源】江苏省南京市 2018 年中考数学试卷
【答案】这种大米的原价为每千克 元.
【解析】分析：设这种大米的原价是 x 元，打 8 折后是 0.8x 元,根据两次一共购买了 kg，列出算式，求
解即可,最后要检验.
详解：
设这种大米的原价为每千克 元，
根据题意，得 .
解这个方程，得 .
经检验， 是所列方程的解.
答：这种大米的原价为每千克 元.
点睛：本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
53．文美书店决定用不多于 20000 元购进甲乙两种图书共 1200 本进行销售.甲、乙两种图书的进价分别为
每本 20 元、14 元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的 1.4 倍，若用 1680 元在文美书店可购买甲
种图书的本数比用 1400 元购买乙种图书的本数少 10 本.30
（1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？
（2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低 3 元，乙种图书售价每本降低 2 元，问书店应如何进
货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完.）
【来源】山东省泰安市 2018 年中考数学试题
【答案】（1）甲种图书售价每本 28 元，乙种图书售价每本 20 元；（2）甲种图书进货 533 本，乙种图书进
货 667 本时利润最大.
详解：（1）设乙种图书售价每本 元，则甲种图书售价为每本 元．由题意得：
，
解得： ．
经检验， 是原方程的解．
所以，甲种图书售价为每本 元，
答：甲种图书售价每本 28 元，乙种图书售价每本 20 元．
（2）设甲种图书进货 本，总利润 元，则
．
又∵ ，
解得： ．
∵ 随 的增大而增大，
∴当 最大时 最大，
点睛：本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意找到题目蕴含的
相等关系或不等关系是解应用题的关键．
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