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专题 4.3 四边形
一、单选题
1．用尺规在一个平行四边形内作菱形 ，下列作法中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【来源】2018 年浙江省舟山市中考数学试题
【答案】C
【点评】考查菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键.
2．如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ， ， ，则菱形 的周长为（ ）
A. 52 B. 48 C. 40 D. 20
【来源】湖北省孝感市 2018 年中考数学试题
【答案】A
【解析】分析：由勾股定理即可求得 AB 的长，继而求得菱形 ABCD 的周长．
详解：∵菱形 ABCD 中，BD=24，AC=10，
∴OB=12，OA=5，
在 Rt△ABO 中，AB= =13，2
∴菱形 ABCD 的周长=4AB=52，
故选：A．
点睛：此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质
3．如图，将矩形 沿对角线 折叠，使 落在 处， 交 于 ，则下列结论不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【来源】四川省凉山州 2018 年中考数学试题
【答案】C
【解析】分析：主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案．
详解：A、BC=BC′，AD=BC，∴AD=BC′，所以正确．
B、∠CBD=∠EDB，∠CBD=∠EBD，∴∠EBD=∠EDB 正确．
D、∵sin∠ABE= ，
∴∠EBD=∠EDB
∴BE=DE
∴sin∠ABE= ．
故选：C．
点睛：本题主要用排除法，证明 A，B，D 都正确，所以不正确的就是 C，排除法也是数学中一种常用的解题
方法．
4．如图，在正方形 中， ， 分别为 ， 的中点， 为对角线 上的一个动点，则下列线段的长等
于 最小值的是（ ）
A. B. C. D. 3
【来源】天津市 2018 年中考数学试题
【答案】D
【解析】分析：点 E 关于 BD 的对称点 E′在线段 CD 上，得 E′为 CD 中点，连接 AE′，它与 BD 的交点即为
点 P，PA+PE 的最小值就是线段 AE′的长度；通过证明直角三角形 ADE′≌直角三角形 ABF 即可得解．
详解：过点 E 作关于 BD 的对称点 E′，连接 AE′，交 BD 于点 P．
∴PA+PE 的最小值 AE′；
∵E 为 AD 的中点，
∴E′为 CD 的中点，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABF=∠AD E′=90°,
∴DE′=BF，
∴ΔABF≌ΔAD E′，
∴AE′=AF.
故选 D.
点睛：本题考查了轴对称--最短路线问题、正方形的性质．此题主要是利用“两点之间线段最短”和“任
意两边之和大于第三边”．因此只要作出点 A（或点 E）关于直线 BD 的对称点 A′（或 E′），再连接 EA′
（或 AE′）即可．
5．在▱ABCD 中，若∠BAD 与∠CDA 的角平分线交于点 E，则△AED 的形状是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定
【来源】四川省宜宾市 2018 年中考数学试题
【答案】B
【解析】分析：充分利用角平分线的性质证明∠E=90°即可判断．
详解：如图，4
点睛：本题考查的是直角三角形的判定，熟记有一个角是 90°的三角形是直角三角形是解题的关键.
6．如图，点 是正方形 的边 上一点，把 绕点 顺时针旋转 到 的位置，若四边形
的面积为 25， ，则 的长为（ ）
A. 5 B. C. 7 D.
【来源】2018 年甘肃省武威市（凉州区）中考数学试题
【答案】D
【解析】【分析】利用旋转的性质得出正方形边长，再利用勾股定理得出答案．
【解答】∵把△ADE 顺时针旋转△ABF 的位置，
∴四边形 AECF 的面积等于正方形 ABCD 的面积等于 25，
∴AD=DC=5，
∵DE=2，
∴Rt△ADE 中,
故选 D.5
【点评】考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理等，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
7．用尺规在一个平行四边形内作菱形 ,下列作法中错误的是（ ）
A. （A） B. （B） C. （C） D. （D）
【来源】浙江省嘉兴市 2018 年中考数学试题
【答案】C
【解析】分析：由作图，可以证明 A、B、D 中四边形 ABCD 是菱形，C 中 ABCD 是平行四边形，即可得到结
论．
详解：A．∵AC 是线段 BD 的垂直平分线，∴BO=OD，∴∠AOD=∠COB=90°．
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴△AOD≌△COB，∴AO=OC，∴四边形 ABCD 是菱形．故 A 正确；
B．由作图可知：AD=AB=BC．
∵AD∥BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形．
∵AD=AB，∴四边形 ABCD 是菱形．故 B 正确；
C．由作图可知 AB、CD 是角平分线，可以得到 ABCD 是平行四边形，不能得到 ABCD 是菱形．故 C 错误；
D．如图，∵AE=AF，AG=AG，EG=FG，∴△AEG≌△AFG，∴∠EAG=∠FAG．
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠FAG=∠ACB，∴AB=BC，同理∠DCA=∠BCA，∴∠BAC=∠DCA，∴AB∥DC．
∵AD∥BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形．
∵AB=BC，∴四边形 ABCD 是菱形．故 D 正确．
故选 C．
点睛：本题考查了菱形的判定与平行四边形的性质．解题的关键是弄懂每个图形是如何作图的．
8．□ABCD 中，E、F 是对角线 BD 上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形 AECF 一定为平行四边形的
是（ ）6
A. BE=DF B. AE=CF C. AF//CE D. ∠BAE=∠DCF
【来源】安徽省 2018 年中考数学试题
【答案】B
【解析】【分析】根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得.
【详解】A、如图，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形 AECF 是平行四边形，故不符合题意；
B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形 AECF 是平行四边形，故符合题意；
C、如图，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，
∵AF//CE，∴∠FAO=∠ECO，
又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，
∴AF CE，∴四边形 AECF 是平行四边形，故不符合题意；
D、如图，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF，
又∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEO=∠CFO，
∴AE//CF，
∴AE CF，∴四边形 AECF 是平行四边形，故不符合题意，
故选 B.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键.7
9．下列命题正确的是
A. 平行四边形的对角线互相垂直平分 B. 矩形的对角线互相垂直平分
C. 菱形的对角线互相平分且相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分
【来源】【全国省级联考】2018 年重庆市中考数学试卷（A 卷）
【答案】D
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关对角线的性质，熟练掌握是解题的关键.
10．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 为边 CD 的中点，若菱形 ABCD 的周长为 16，∠BAD
＝60°,则△OCE 的面积是（ ）
A. B. 2 C. D. 4
【来源】江苏省宿迁市 2018 年中考数学试卷
【答案】A
【解析】【分析】根据菱形的性质得菱形边长为 4，AC⊥BD，由一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形得
△ABD 是等边三角形；在Rt△AOD 中，根据勾股定理得 AO=2 ，AC=2AO=4 ，根据三角形面积公式得 S△ACD=
OD·AC=4 ，根据中位线定理得 OE∥AD，根据相似三角形的面积比等于相似比继而可求出△OCE 的面积.
【详解】∵菱形 ABCD 的周长为 16，∴菱形 ABCD 的边长为 4，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD 是等边三角形，
又∵O 是菱形对角线 AC、BD 的交点，
∴AC⊥BD，8
在 Rt△AOD 中，
∴AO= ，
∴AC=2AO=4 ，
∴S△ACD= OD·AC= ×2×4 =4 ，
又∵O、E 分别是中点，
∴OE∥AD，
∴△COE∽△CAD，
∴ ，
∴ ，
∴S△COE= S△CAD= ×4 = ，
故选 A.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，结合
图形熟练应用相关性质是解题的关键.
二、填空题
11．若正多边形的内角和是 ，则该正多边形的边数是__________．
【来源】2018 年甘肃省武威市（凉州区）中考数学试题
【答案】8
【解析】【分析】根据多边形内角和公式进行计算即可.
【解答】设正多边形的边数是
根据题意得：
解得：
故答案为：8.
【点评】考查多边形的内角和公式，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键.
12．一个多边形的内角和是其外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是________.
【来源】江苏省宿迁市 2018 年中考数学试卷
【答案】8
【解析】【分析】根据多边形的内角和公式，多边形外角和为 360°，根据题意列出方程，解之即可.9
【详解】设这个多边形边数为 n，
∴（n-2）×180°=360°×3，
∴n=8，
故答案为：8.
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的内角和公式、外角和为 360 度是解题的
关键.
13．在如图所示的平行四边形 ABCD 中，AB=2，AD=3，将△ACD 沿对角线 AC 折叠，点 D 落在△ABC 所在平面
内的点 E 处，且 AE 过 BC 的中点 O，则△ADE 的周长等于__________．
【来源】山东省淄博市 2018 年中考数学试题
【答案】10
【解析】分析：要计算周长首先需要证明 E、C、D 共线，DE 可求，问题得解．
详解：∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴AD∥BC，CD=AB=2
由折叠，∠DAC=∠EAC
∵∠DAC=∠ACB
∴∠ACB=∠EAC
∴OA=OC
∵AE 过 BC 的中点 O
∴AO= BC
∴∠BAC=90°
∴∠ACE=90°
由折叠，∠ACD=90°
∴E、C、D 共线，则 DE=4
∴△ADE 的周长为：3+3+2+2=10
故答案为：1010
点睛：本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质和三点共线的证明．解题时注意不能忽略 E、C、D
三点共线．
14．如图，在菱形 中， ， 分别在边 上，将四边形 沿 翻折，使 的对应线
段 经过顶点 ，当 时， 的值为__________.
【来源】四川省成都市 2018 年中考数学试题
【答案】
详解：延长 NF 与 DC 交于点 H，
∵∠ADF=90°，
∴∠A+∠FDH=90°，
∵∠DFN+∠DFH=180°，∠A+∠B=180°，∠B=∠DFN，
∴∠A=∠DFH，
∴∠FDH+∠DFH=90°，
∴NH⊥DC，
设 DM=4k，DE=3k，EM=5k，
∴AD=9k=DC，DF=6k，
∵tanA=tan∠DFH= ，11
则 sin∠DFH= ，
∴DH= DF= k，
∴CH=9k- k= k，
∵cosC=cosA= ，
∴CN= CH=7k，
∴BN=2k，
∴ ．
故答案为： .
点睛：此题主要考查了翻折变换的性质以及解直角三角形，正确表示出 CN 的长是解题关键．
15．如图 2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形 ABCD 内，装饰图中的三角形顶点 E，F 分别在边
AB，BC 上，三角形①的边 GD 在边 AD 上，则 的值是_____．
【来源】浙江省金华市 2018 年中考数学试题
【答案】 ．
【解析】分析：设七巧板的边长为 x，根据正方形的性质、矩形的性质分别表示出 AB，BC，进一步求出
的值．
详解：设七巧板的边长为 x，则
AB= x+ x，
BC= x+x+ x=2x，
= .12
故答案为： ．
点睛：考查了矩形的性质，七巧板，关键是熟悉七巧板的特征，表示出 AB，BC 的长．
16．如图，四边形 是矩形，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，把矩形 沿 折叠，点 落在
点 处，则点 的坐标为__________．
【来源】江苏省扬州市 2018 年中考数学试题
【答案】
【解析】分析：由折叠的性质得到一对角相等，再由矩形对边平行得到一对内错角相等，等量代换及等角
对等边得到 BE=OE，利用 AAS 得到三角形 OED 与三角形 BEA 全等，由全等三角形对应边相等得到 DE=AE，过
D 作 DF 垂直于 OE，利用勾股定理及面积法求出 DF 与 OF 的长，即可确定出 D 坐标．
详解：由折叠得：∠CBO=∠DBO，
∵矩形 ABCO，
∴BC∥OA，
∴∠CBO=∠BOA，
∴∠DBO=∠BOA，
∴BE=OE，
在△ODE 和△BAE 中，
，
∴△ODE≌△BAE（AAS），
∴AE=DE，
设 DE=AE=x，则有 OE=BE=8-x，
在 Rt△ODE 中，根据勾股定理得：42+（8-x）2=x2，
解得：x=5，即 OE=5，DE=3，
过 D 作 DF⊥OA，13
点睛：此题考查了翻折变化（折叠问题），坐标与图形变换，以及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解本
题的关键．
17．如图，在矩形 中， ， ，以 为直径作 .将矩形 绕点 旋转，使所得矩形
的边 与 相切，切点为 ，边 与 相交于点 ，则 的长为__________．
【来源】江苏省南京市 2018 年中考数学试卷
【答案】4
【解析】分析：连结 EO 并延长交 CF 于点 H，由旋转和相切知四边形 EB′CH 是矩形，再根据勾股定理即可
求出 CH 的长,从而求出 CF 的值.
详解：连结 EO 并延长交 CF 于点 H.14
∵矩形 绕点 旋转得到矩形 ，
∴∠B′=∠B′CD′=90°,A′B′∥CD′,BC=B′C=4,
∵A′B′切⊙O 与点 E,
∴OE⊥A′B′,
∴四边形 EB′CH 是矩形，
∴EH=B′C=4,OH⊥CF,
∵AB=5,
∴OE=OC= AB= ,
∴OH= ,
在 Rt△OCH 中，根据勾股定理得 CH= = =2,
∴CF=2CH=4.
故答案为：4.
点睛：此题主要考查切线的性质,垂径定理及矩形的性质等知识点的综合运用.
18．如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，CB=2，点 E 为线段 AB 上的动点，将△CBE 沿 CE 折叠，使点 B 落在矩形
内点 F 处，下列结论正确的是_____（写出所有正确结论的序号）
①当 E 为线段 AB 中点时，AF∥CE；
②当 E 为线段 AB 中点时，AF= ；
③当 A、F、C 三点共线时，AE= ；
④当 A、F、C 三点共线时，△CEF≌△AEF．15
【来源】四川省宜宾市 2018 年中考数学试题
【答案】①②③
【解析】分析：分两种情形分别求解即可解决问题；
详解：如图 1 中，当 AE=EB 时，
∵AE=EB=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠CEF=∠CEB，∠BEF=∠EAF+∠EFA，
∴∠BEC=∠EAF，
∴AF∥EC，故①正确，
作 EM⊥AF，则 AM=FM，
在 Rt△ECB 中，EC= ，
∵∠AME=∠B=90°，∠EAM=∠CEB，
∴△CEB∽△EAM，
∴ ，
∴ ，
∴AM= ，16
∴AF=2AM= ，故②正确，
如图 2 中，当 A、F、C 共线时，设 AE=x．
点睛：本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，
解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
19．如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4，点 E、F 分别在 BC、CD 上，若 AE= ，∠EAF=45°，则 AF 的长为
_____．
【来源】山东省滨州市 2018 年中考数学试题
【答案】
【解析】分析：取 AB 的中点 M，连接 ME，在 AD 上截取 ND=DF，设 DF=DN=x，则 NF= x，再利用矩形的性质
和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出 x 的值，在直角三角形 ADF
中利用勾股定理即可求出 AF 的长．
详解：取 AB 的中点 M，连接 ME，在 AD 上截取 ND=DF，设 DF=DN=x，17
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，
∴NF= x，AN=4﹣x，
∵AB=2，
∴AM=BM=1，
∵AE= ，AB=2，
∴BE=1，
∴ME= ，
∵∠EAF=45°，
∴∠MAE+∠NAF=45°，
∵∠MAE+∠AEM=45°，
∴∠MEA=∠NAF，
∴△AME∽△FNA，
∴ ，
∴ ，
解得：x=
∴AF=
故答案为： ．
点睛：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似
三角形是解题的关键，
20．如图，在矩形 中， ， ，将矩形 沿 折叠，点 落在 处，若 的延长线恰好
过点 ，则 的值为__________．18
【来源】山东省泰安市 2018 年中考数学试题
【答案】
【解析】分析：先利用勾股定理求出 A'C，进而利用勾股定理建立方程求出 AE，即可求出 BE，最后用三角
函数即可得出结论．
详解：由折叠知，A'E=AE，A'B=AB=6，∠BA'E=90°，∴∠BA'C=90°．在 Rt△A'CB 中，A'C=
=8，设 AE=x，则 A'E=x，∴DE=10﹣x，CE=A'C+A'E=8+x．在 Rt△CDE 中，根据勾股定理得：（10﹣x）2+36=
（8+x） 2 ，∴x=2，∴AE=2．在 Rt△ABE 中，根据勾股定理得：BE= =2 ，∴sin∠ABE=
= ．
故答案为： ．
点睛：本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，充分利用勾股定理求出线段 AE 是解答本题
的关键．
三、解答题
21．如图， ， ， ， 在一条直线上，已知 ， ， ，连接 .求证：四边形 是平
行四边形.
【来源】湖北省孝感市 2018 年中考数学试题
【答案】证明见解析.
【解析】分析：由 AB∥DE、AC∥DF 利用平行线的性质可得出∠B=∠DEF、∠ACB=∠F，由 BE=CF 可得出
BC=EF，进而可证出△ABC≌△DEF（ASA），根据全等三角形的性质可得出 AB=DE，再结合 AB∥DE，即可证出
四边形 ABED 是平行四边形．
详证明：∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠B=∠DEF，∠ACB=∠F．
∵BE=CF，19
点睛：本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的性
质找出 AB=DE 是解题的关键．
22．小敏思考解决如下问题：
原题：如图 1，点 ， 分别在菱形 的边 ， 上， ，求证： .
（1）小敏进行探索，若将点 ， 的位置特殊化：把 绕点 旋转得到 ，使 ，点 ， 分别在
边 ， 上，如图 2，此时她证明了 .请你证明.
（2）受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图 3，作 ， ，垂足分别为 ， .请你
继续完成原题的证明.
（3）如果在原题中添加条件： ， ，如图 1.请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直
接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）.
【来源】2018 年浙江省绍兴市中考数学试卷解析
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）见解析
【解析】【分析】（1）证明 ，即可求证 .
（2）如图 2， ，即可求证 .20
（3）不唯一.
【解答】（1）如图 1，
在菱形 中，
， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ .
（2）如图 2，由（1），∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .21
（3）不唯一，举例如下：
层次 1：①求 的度数.答案： .
②分别求 ， 的度数.答案： .
③求菱形 的周长.答案：16.
④分别求 ， ， 的长.答案：4，4，4.
层次 2：①求 的值.答案：4.
②求 的值.答案：4.
③求 的值.答案： .
层次 3：①求四边形 的面积.答案： .
②求 与 的面积和.答案： .
③求四边形 周长的最小值.答案： .
④求 中点运动的路径长.答案： .
【点评】考查菱形的性质，三角形全等的判定与性质等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
23．如图，在▱ABCD 中，AC 是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点 E，F，求证：AE=CF．
【来源】浙江省衢州市 2018 年中考数学试卷
【答案】证明见解析.
【解析】分析：由全等三角形的判定定理 AAS 证得△ABE≌△CDF，则对应边相等：AE=CF．
详证明：如图，22
点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
24．如图，以 AB 为直径的⊙O 外接于△ABC，过 A 点的切线 AP 与 BC 的延长线交于点 P，∠APB 的平分线分
别交 AB，AC 于点 D，E，其中 AE，BD（AE＜BD）的长是一元二次方程 x2﹣5x+6=0 的两个实数根．
（1）求证：PA•BD=PB•AE；
（2）在线段 BC 上是否存在一点 M，使得四边形 ADME 是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存
在，说明理由．
【来源】山东省淄博市 2018 年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，
【解析】分析：（1）易证∠APE=∠BPD，∠EAP=∠B，从而可知△PAE∽△PBD，利用相似三角形的性质即可
求出答案．23
（2）过点 D 作 DF⊥PB 于点 F，作 DG⊥AC 于点 G，易求得 AE=2，BD=3，由（1）可知： ，从而可知
cos∠BDF=cos∠BAC=cos∠APC= ，从而可求出 AD 和 DG 的长度，进而证明四边形 ADFE 是菱形，此时 F 点即
为 M 点，利用平行四边形的面积即可求出菱形 ADFE 的面积．
详解：（1）∵DP 平分∠APB，
∴∠APE=∠BPD，
∵AP 与⊙O 相切，
∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°，
∴∠EAP=∠B，
∴△PAE∽△PBD，
∴ ，
∴PA•BD=PB•AE；
（2）过点 D 作 DF⊥PB 于点 F，作 DG⊥AC 于点 G，
∵DP 平分∠APB，AD⊥AP，DF⊥PB，
∴AD=DF，
∵∠EAP=∠B，
∴∠APC=∠BAC，
易证：DF∥AC，
∴∠BDF=∠BAC，
由于 AE，BD（AE＜BD）的长是 x2﹣5x+6=0，
解得：AE=2，BD=3，
∴由（1）可知： ，24
∴cos∠APC= ，
∴cos∠BDF=cos∠APC= ，
∴ ，
∴DF=2，
∴DF=AE，
∴四边形 ADFE 是平行四边形，
∵AD=AE，
∴四边形 ADFE 是菱形，此时点 F 即为 M 点，
∵cos∠BAC=cos∠APC= ，
∴sin∠BAC= ，
∴ ，
∴DG= ，
∴菱形 ADME 的面积为：DG•AE=2× = .
点睛：本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，锐角三角函数的定义，平行四边形的判定及其面积公式，
相似三角形的判定与性质，综合程度较高，考查学生的灵活运用知识的能力．
25．如图,点 是正方形 边 上一点,连接 ,作 于点 , 手点 ,连接 ．
(1)求证: ；
(2 已知 ,四边形 的面积为 24,求 的正弦值．
【来源】山东省潍坊市 2018 年中考数学试题
【答案】(1)证明见解析；(2) ．
【解析】分析：（1）通过证明△ABF≌△DEA 得到 BF=AE；
（2）设 AE=x，则 BF=x，DE=AF=2，利用四边形 ABED 的面积等于△ABE 的面积与△ADE 的面积之和得到 •x•x+25
•x•2=24，解方程求出 x 得到 AE=BF=6，则 EF=x-2=4，然后利用勾股定理计算出 BE，最后利用正弦的定义
求解．
（2）解：设 AE=x，则 BF=x，DE=AF=2，
∵四边形 ABED 的面积为 24，
∴ •x•x+ •x•2=24，解得 x1=6，x2=-8（舍去），
∴EF=x-2=4，
在 Rt△BEF 中，BE= ，
∴sin∠EBF= ．
点睛：本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四
边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．
26．在正方形 ABCD 中，对角线 BD 所在的直线上有两点 E、F 满足 BE=DF，连接 AE、AF、CE、CF，如图所示.26
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）试判断四边形 AECF 的形状，并说明理由.
【来源】江苏省盐城市 2018 年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）四边形 AECF 是菱形，理由见解析.
【解析】分析：（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）四边形 AECF 是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；
详证明：（1）∵正方形 ABCD，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABE=∠ADF，
在△ABE 与△ADF 中
，
∴△ABE≌△ADF.
（2）连接 AC，
四边形 AECF 是菱形．
理由：∵正方形 ABCD，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，
∴OB+BE=OD+DF，
即 OE=OF，27
∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形 AECF 是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形 AECF 是菱形．
点睛：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基
本知识．
27．已知矩形 中， 是 边上的一个动点，点 ， ， 分别是 ， ， 的中点.
（1）求证： ；
（2）设 ，当四边形 是正方形时，求矩形 的面积.
【来源】2018 年甘肃省武威市（凉州区）中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【 解 析 】【分 析 】（ 1 ） 根 据 点 F,H 分 别 是 BC,CE 的 中 点 ， 根 据 中 位 线 的 性 质 有 、 FH∥BE ，
． ．点 G 是 BE 的中点， ．即可证明△BGF ≌ △FHC．
（2）当四边形 EGFH 是正方形时，可知 EF⊥GH 且 证明 ，即可求出矩形的面积.
【解答】（1）∵点 F,H 分别是 BC,CE 的中点，
∴FH∥BE， ．
∴ ．
又∵点 G 是 BE 的中点，
∴ ．
又∵ ，
∴△BGF ≌ △FHC．28
【点评】考查中位线的性质，正方形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题
的关键.
28．如图，在□ABCD 中，点 E、F 分别在边 CB、AD 的延长线上，且 BE＝DF，EF 分别与 AB、CD 交于点 G、
H，求证：AG＝CH.
【来源】江苏省宿迁市 2018 年中考数学试卷
【答案】证明见解析.
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得 AD∥BC，AD=BC，∠A=∠C，根据平行线的性质得∠E=∠F，再结
合已知条件可得 AF=CE，根据 ASA 得△CEH≌△AFG，根据全等三角形对应边相等得证.
【详解】∵在四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∠A=∠C，
∴∠E=∠F，
又∵BE＝DF，
∴AD+DF=CB+BE，29
即 AF=CE，
在△CEH 和△AFG 中，
，
∴△CEH≌△AFG，
∴CH=AG.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
29．如图，在平行四边形 中， ，点 是 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ，连
接 .
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求菱形 的面积.
【来源】江苏省扬州市 2018 年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】分析：（1）由△AFD≌△BFE，推出 AD=BE，可知四边形 AEBD 是平行四边形，再根据 BD=AD 可得结
论；
（2）解直角三角形求出 EF 的长即可解决问题；
详解：（1）∵四边形 是平行四边形
∴ ，∴
∵ 是 的中点，∴
∴在 与 中，
∵ ，∴四边形 是平行四边形
∵ ，∴四边形 是菱形
（2）∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴
∵30
∴
∴
∵ ，
∴ ，
∴ .
点睛：本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的
关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
30．如图，在正方形 中， 是 上一点，连接 .过点 作 ，垂足为 . 经过点 、 、 ，
与 相交于点 .
（1）求证 ；
（2）若正方形 的边长为 ， ，求 的半径.
【来源】江苏省南京市 2018 年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】分析：（1）先 , 证出 ,再根据四边形 是 的内接四边
形,得到 ,从而证出结论;
(2) 连接 根据 得到 ,根据 得到 ,从而
, 得 ,DG=3,利用勾股定理得 CG=5,即可求出 的半径.
详解：
（1）证明：在正方形 中， .31
（2）解：如图，连接 .
∵ ， ，
∴ .
∴ ，即 .
∵ ，
∴ .
∴ .
在正方形 中， ，
∴ ， .
∴ .
∵ ，
∴ 是 的直径.32
∴ 的半径为 .
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理的推论，正方形的性质．关键是利用正方形的性
质证明相似三角形，利用线段，角的关系解题.
31．如图，在四边形 中， ， . 是四边形 内一点，且 .求证：
（1） ；（2）四边形 是菱形.
【来源】江苏省南京市 2018 年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】分析：(1)先证点 、 、 共圆,从而得到 ,又 ,即可得出结论;
(2) 连 接 , 证 得 到 又 由 于 ， , 结 合
可得 BO=BC, 从而 四边形 是菱形.
详解：
（1）∵ .
∴点 、 、 在以点 为圆心， 为半径的圆上.
∴ .
又 ，
∴ .
（2）证明：如图②，连接 .
∵ ， ， ，33
∴ .
∴ ， .
∵ ， ，
∴ ， .
又 .
∴ ，
∴ .
又 ， ，
∴ ，
∴四边形 是菱形.
点睛：本题考查圆周角定理、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活应用圆周
角定理，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型
32．如图，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，延长 CE，BA 交于点 F，连接 AC，DF．
（1）求证：四边形 ACDF 是平行四边形；
（2）当 CF 平分∠BCD 时，写出 BC 与 CD 的数量关系，并说明理由．
【来源】江苏省连云港市 2018 年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）BC=2CD，理由见解析.
【解析】分析：（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到 CD=FA，再根据 CD∥AF，即可得
出四边形 ACDF 是平行四边形；
（2）先判定△CDE 是等腰直角三角形，可得 CD=DE，再根据 E 是 AD 的中点，可得 AD=2CD，依据 AD=BC，即
可得到 BC=2CD．
详解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE=∠CDE，
∵E 是 AD 的中点，34
∴AE=DE，
又∵∠FEA=∠CED，
∴△FAE≌△CDE，
∴CD=FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形 ACDF 是平行四边形；
点睛：本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角
相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是
平行四边形达到上述目的．
33．如图，已知四边形 中，对角线 相交于点 ，且 ， ，过 点作 ，分
别交 于点 .
(1)求证: ；
(2)判断四边形 的形状，并说明理由.
【来源】湖南省娄底市 2018 年中考数学试题35
【答案】（1）证明见解析；（2）四边形 BED 是菱形，理由见解析.
【解析】【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，由已知可得四边形 ABCD 是平行四边形，
继而可根据 ASA 证明 ΔAOE≌ΔCOF；
（2）由 ΔAOE≌ΔCOF 可得 OE=OF，再根据 OB=OD 可得四边形 BEDF 是平行四边形，再根据对角线互相垂直
的平行四边形是菱形即可证得四边形 BEDF 是菱形.
【详解】（1）∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
又∵∠AOE=∠COF，OA=OC，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）四边形 BEDF 是菱形，理由如下：
∵△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四边形 DEBF 是平行四边形，
又∵EF⊥BD，
∴平行四边形 DEBF 是菱形.
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定，熟记平行四边形的判定与性质定理、菱形的
判定定理是解本题的关键.
34．如图，等边 的顶点 ， 在矩形 的边 ， 上，且 .
求证：矩形 是正方形.
【来源】2018 年浙江省舟山市中考数学试题
【答案】证明见解析.
【解析】【分析】证明 ≌ ，得到 ，即可证明矩形 是正方形.36
【解答】∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴矩形 是正方形.
【点评】考查正方形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键.
35．如图，在 6×6 的网格中，每个小正方形的边长为 1，点 A 在格点（小正方形的顶点）上．试在各网格
中画出顶点在格点上，面积为 6，且符合相应条件的图形．
【来源】浙江省金华市 2018 年中考数学试题
【答案】见解析.
【解析】分析：利用数形结合的思想解决问题即可.
详解：符合条件的图形如图所示；37
点睛：本题考查作图-应用与设计，三角形的面积，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学
知识解决问题，属于中考常考题型．
36．在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=12．点 D 在直线 CB 上，以 CA，CD 为边作矩形 ACDE，直线 AB 与直线
CE，DE 的交点分别为 F，G．
（1）如图，点 D 在线段 CB 上，四边形 ACDE 是正方形．
①若点 G 为 DE 中点，求 FG 的长．
②若 DG=GF，求 BC 的长．
（2）已知 BC=9，是否存在点 D，使得△DFG 是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说
明理由．
【来源】浙江省金华市 2018 年中考数学试题
【 答 案 】（ 1 ） ①FG =2 ； ②BC=12 ； （ 2 ） 等 腰 三 角 形 △DFG 的 腰 长 为 4 或 20 或 或
．
详解：（1）①在正方形 ACDE 中，DG=GE=6，
中 Rt△AEG 中，AG= ，
∵EG∥AC，
∴△ACF∽△GEF，
∴ ，38
∴ ，
∴FG= AG=2 ．
②如图 1 中，正方形 ACDE 中，AE=ED，∠AEF=∠DEF=45°，
∵EF=EF，
∴△AEF≌△DEF，
∴∠1=∠2，设∠1=∠2=x，
∵AE∥BC，
∴∠B=∠1=x，
∵GF=GD，
∴∠3=∠2=x，
在△DBF 中，∠3+∠FDB+∠B=180°，
∴x+（x+90°）+x=180°，
解得 x=30°，
∴∠B=30°，
∴在 Rt△ABC 中，BC= ．
（2）在 Rt△ABC 中，AB= =15，
如图 2 中，当点 D 中线段 BC 上时，此时只有 GF=GD，
∵DG∥AC，39
∴△BDG∽△BCA，
设 BD=3x，则 DG=4x，BG=5x，
∴GF=GD=4x，则 AF=15-9x，
∵AE∥CB，
∴△AEF∽△BCF，
∴ ，
∴ ，
整理得：x2-6x+5=0，
解得 x=1 或 5（舍弃）
∴腰长 GD 为=4x=4．
如图 3 中，当点 D 中线段 BC 的延长线上，且直线 AB，CE 的交点中 AE 上方时，此时只有 GF=DG，
设 AE=3x，则 EG=4x，AG=5x，
∴FG=DG=12+4x，
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△BCF，
∴ ，
∴ ，
解得 x=2 或-2（舍弃），
∴腰长 DG=4x+12=20．
如图 4 中，当点 D 在线段 BC 的延长线上，且直线 AB，EC 的交点中 BD 下方时，此时只有 DF=DG，过点 D 作
DH⊥FG．40
如图 5 中，当点 D 中线段 CB 的延长线上时，此时只有 DF=DG，作 DH⊥AG 于 H．
设 AE=3x，则 EG=4x，AG=5x，DG=4x-12，41
∴FH=GH=DG•cos∠DGB= ，
∴FG=2FH= ，
∴AF=AG-FG= ，
∵AC∥EG，
∴△ACF∽△GEF，
∴ ，
∴ ，解得 x= 或- （舍弃），
∴腰长 DG=4x-12= ，
综上所述，等腰三角形△DFG 的腰长为 4 或 20 或 或 ．
点睛：本题考查四边形综合题、正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、
平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
37．在平面直角坐标系中，四边形 是矩形，点 ，点 ，点 .以点 为中心，顺时针旋转
矩形 ，得到矩形 ，点 ， ， 的对应点分别为 ， ， .
（Ⅰ）如图①，当点 落在 边上时，求点 的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点 落在线段 上时， 与 交于点 .
①求证 ；
②求点 的坐标.
（Ⅲ）记 为矩形 对角线的交点， 为 的面积，求 的取值范围（直接写出结果即可）.
【来源】天津市 2018 年中考数学试题42
【 答 案 】（Ⅰ ） 点 的 坐 标 为 . （ Ⅱ ） ① 证 明 见 解 析 ； ② 点 的 坐 标 为 . （ Ⅲ ）
.
【解析】分析：（Ⅰ）根据旋转的性质得 AD=AO=5,设 CD=x，在直角三角形 ACD 中运用勾股定理可 CD 的值，
从而可确定 D 点坐标；
（Ⅱ）①根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可；
②由①知 ，再根据矩形的性质得 .从而 ，故 BH=AH，在 Rt△ACH 中，
运用勾股定理可求得 AH 的值，进而求得答案；
（Ⅲ） .
详解：（Ⅰ）∵点 ，点 ，
∴ ， .
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， .
∵矩形 是由矩形 旋转得到的，
∴ .
在 中，有 ，
∴ .
∴ .
∴点 的坐标为 .43
（Ⅲ） .
点睛：本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，灵活运用勾股
定理求解是解决本题的关键.
38．如图，在平行四边形 中，点 是对角线 的中点，点 是 上一点，且 ，连接 并延长交
于点 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，交 于点 .
（1）若 ， ，求 的面积；
（2）若 ，求证： .44
【来源】【全国省级联考】2018 年重庆市中考数学试卷（A 卷）
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】【分析】（1）由 AH=3，HE=1 可求得 AB 的长，根据勾股定理可求得 BH 的长，然后根据三角形的面
积公式进行求解即可；
（2）过点 A 作 AM⊥BC 于点 M，交 BG 于点 K，过点 G 作 GN⊥BC 于点 N，结合图形根据已知条件可以得到
，继而可得到 ，通过证明 ，可得 ，根据等腰三角形的性质可求
得 ，再根据平行四边形的性质可以证明 ，从而得 ，继而可得
.
【详解】（1） ，
，
又 在 中， ，
；
（2）过点 A 作 AM⊥BC 于点 M，交 BG 于点 K，过点 G 作 GN⊥BC 于点 N，
=90°，
=45°，
=45°
，
，
，
=90°，
，
=180°，
=180°，
，45
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
【点睛】本题考查了勾股定理、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等，
综合性较强，正确添加辅助线、应用数形结合思想进行解题是关键.
39．如图， 中， 是 上一点， 于点 ， 是 的中点， 于点 ，与 交于点 ，若
， 平分 ，连接 ， .46
（1）求证： ；
（2）小亮同学经过探究发现： .请你帮助小亮同学证明这一结论.
（3）若 ，判定四边形 是否为菱形，并说明理由.
【来源】山东省泰安市 2018 年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）四边形 是菱形，理由见解析.
详解：（1）∵AF=FG，∴∠FAG=∠FGA．
∵AG 平分∠CAB，∴∠CAG=∠FGA，∴∠CAG=∠FGA，∴AC∥FG．
∵DE⊥AC，∴FG⊥DE．
∵FG⊥BC，∴DE∥BC，∴AC⊥BC，∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED．
∵F 是 AD 的中点，FG∥AE，∴H 是 ED 的中点，∴FG 是线段 ED 的垂直平分线，∴GE=GD，∠GDE=∠GED，
∴∠CGE=∠GDE，∴△ECG≌△GHD；
（2）过点 G 作 GP⊥AB 于 P，∴GC=GP，而 AG=AG，∴△CAG≌△PAG，∴AC=AP，由（1）可得 EG=DG，
∴Rt△ECG≌Rt△GPD，∴EC=PD，∴AD=AP+PD=AC+EC；
（3）四边形 AEGF 是菱形．证明如下：
∵∠B=30°，∴∠ADE=30°，∴AE= AD，∴AE=AF=FG，由（1）得 AE∥FG，∴四边形 AECF 是平行四边形，∴
四边形 AEGF 是菱形．47
点睛：本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判
定与性质以及含 30°角的直角三角形的性质的综合运用，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等是解
决问题的关键．
40．阅读短文，解决问题
如果一个三角形和一个菱形满足条件：三角形的一个角与菱形的一个角重合，且菱形的这个角的对角顶点
在三角形的这个角的对边上，则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”.如图 1，菱形 AEFD 为△ABC 的“亲
密菱形”.
如图 2，在△ABC 中，以点 A 为圆心，以任意长为半径作弧，交 AB、AC 于点 M、N，再分别以 M、N 为圆心，
以大于 MN 的长为半径作弧，两弧交于点 P，作射线 AP，交 BC 于点 F，过点 F 作 FD//AC，FE//AB.
(1)求证：四边形 AEFD 是△ABC 的“亲密菱形”；
(2)当 AB=6，AC=12，∠BAC=45°时，求菱形 AEFD 的面积.
【来源】广东省深圳市 2018 年中考数学试题
【答案】(1)证明见解析；(2) 四边形 的面积为 .
【解析】【分析】（1）根据尺规作图可知 AF 平分∠BAC，再根据 DF//AC，可得 AD=DF，再由两组对边分别平
行的四边形是平行四边形可得四边形 AEFD 是平行四边形，继而可得平行四边形 AEFD 是菱形，根据“亲密
菱形”的定义即可得证；
（2）设菱形的边长为 a，即 DF=AD=a，则 BD=6-a，可证得△BDF∽△BAC，根据相似三角形的性质可求得
a=4，过 D 作 DG⊥AC，垂足为 G，在 Rt△ADG 中， DG=2 ，继而可求得面积.
【详解】（1）由尺规作图可知 AF 平分∠BAC，48
∴∠DAF=∠EAF，
∵DF//AC，∴∠DFA=∠EAF，∴∠DAF=∠DFA，∴AD=DF，
∵FD//AC，FE//AB，∴四边形 AEFD 是平行四边形，
∴平行四边形 AEFD 是菱形，
∵∠BAC 与∠DAE 重合，点 F 点 BC 上，
∴菱形 AEFD 为△ABC 的“亲密菱形”；
（2）设菱形的边长为 a，即 DF=AD=a，则 BD=6-a，
∵DF//AC，∴△BDF∽△BAC，
∴BD：BA=BF：AC，
即（6-a）:6=a：12，
∴a=4，
过 D 作 DG⊥AC，垂足为 G，
在 Rt△ADG 中，∠DAG=45°，∴DG= AD=2 ，
∴S 菱形 AEFD=AE•DG=8 ，
即四边形 AEFD 的面积为 8 .
【点睛】本题考查了尺规作图，新概念题，菱形的判定与性质等，正确理解新概念是解题的关键.
41．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．△ABC 是边长为 2 的等边形，E 是 AC 上一点，小亮
以 BE 为边向 BE 的右侧作等边三角形 BEF，连接 CF．
（1）如图 1，当点 E 在线段 AC 上时，EF、BC 相交于点 D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证
明．49
（2）当点 E 在线段上运动时，点 F 也随着运动，若四边形 ABFC 的面积为 ，求 AE 的长．
（3）如图 2，当点 E 在 AC 的延长线上运动时，CF、BE 相交于点 D，请你探求△ECD 的面积 S1 与△DBF 的面
积 S2 之间的数量关系．并说明理由．
（4）如图 2，当△ECD 的面积 S1= 时，求 AE 的长．
【来源】江苏省连云港市 2018 年中考数学试题
【答案】（1）△ABE≌△CBF，证明见解析；（2） ；（3）S2﹣S1= ，证明见解析；（4）3
详解：（1）结论：△ABE≌△CBF．
理由：如图 1 中，
∵△ABC，△BEF 都是等边三角形，
∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF，
∴∠ABE=∠CBF，
∴△ABE≌△CBF．
（2）如图 1 中，∵△ABE≌△CBF，
∴S△ABE=S△BCF，
∴S 四边形 BECF=S△BEC+s△BCF=S△BCE+S△ABE=S△ABC= ，
∵S 四边形 ABCF= ，50
∴S△ABE= ，
∴ •AE•AB•siin60°= ，
∴AE= ．
（3）结论：S2-S1= ．
理由：如图 2 中，
∵△ABC，△BEF 都是等边三角形，
∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF，
∴∠ABE=∠CBF，
∴△ABE≌△CBF，
∴S△ABE=S△BCF，
∵S△BCF-S△BCE=S2-S1，
∴S2-S1=S△ABE-S△BCE=S△ABC= ．
（4）由（3）可知：S△BDF-S△ECD= ，
∵S△ECD= ，
∴S△BDF= ，
∵△ABE≌△CBF，
∴AE=CF，∠BAE=∠BCF=60°，
∴∠ABC=∠DCB，
∴CF∥AB，则△BDF 的 BF 边上的高为 ，可得 DF= ，51
点睛：本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、解直角三角形等知识，
解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会理由参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
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