1
专题 3.4 反比例函数
一、单选题
1．如图，菱形 ABCD 的两个顶点 B、D 在反比例函数 y= 的图象上，对角线 AC 与 BD 的交点恰好是坐标原点
O，已知点 A（1，1），∠ABC=60°，则 k 的值是（ ）
A. ﹣5 B. ﹣4 C. ﹣3 D. ﹣2
【来源】江苏省连云港市 2018 年中考数学试题
【答案】C
∵点 B 在反比例函数 y= 的图象上，
∴ ，
解得，k=-3，2
故选：C．
点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例
函数的性质解答．
2．如图，点 A，B 在反比例函数 的图象上，点 C，D 在反比例函数 的图象上，AC//BD//y
轴，已知点 A，B 的横坐标分别为 1，2，△OAC 与△ABD 的面积之和为 ，则 k 的值为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D.
【来源】浙江省温州市 2018 年中考数学试卷
【答案】B
详解: 把 x=1 代入 得：y=1,
∴A(1,1),把 x=2 代入 得：y= ,
∴B(2, ),
∵AC//BD// y 轴,
∴C(1,K),D(2, )
∴AC=k-1,BD= - ，
∴S△OAC= （k-1）×1,
S△ABD= ( - )×1,
又∵△OAC 与△ABD 的面积之和为 ，3
∴ （k-1）×1＋ ( - )×1= ，解得：k=3;
故答案为 B.
点睛:此题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函
数 k 的几何意义是解本题的关键.
3．如图， 是函数 上两点， 为一动点，作 轴， 轴，下列说法正确的是( )
① ；② ；③若 ，则 平分 ；④若 ，则
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④
【来源】广东省深圳市 2018 年中考数学试题
【答案】B
【详解】①显然 AO 与 BO 不一定相等，故△AOP 与△BOP 不一定全等，故①错误；
②延长 BP，交 x 轴于点 E，延长 AP，交 y 轴于点 F，
∵AP//x 轴，BP//y 轴，∴四边形 OEPF 是矩形，S△EOP=S△FOP，
∵S△BOE=S△AOF= k=6，∴S△AOP=S△BOP，故②正确；
③过 P 作 PM⊥BO，垂足为 M，过 P 作 PN⊥AO，垂足为 N，
∵S△AOP= OA•PN，S△BOP= BO•PM，S△AOP=S△BOP，AO=BO，
∴PM=PN，∴PO 平分∠AOB，即 OP 为∠AOB 的平分线，故③正确；
④设 P（a，b），则 B（a， ）、A（ ，b），4
S△BOP= BP•EO= =4，
∴ab=4，
S△ABP= AP•BP= =8，
故④错误，
综上，正确的为②③，
故选 B.
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正确添加辅助线、熟知反比例函数 k 的几何意义是解题的关键.
4．若点 ， ， 在反比例函数 的图像上，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【来源】天津市 2018 年中考数学试题
【答案】B
点睛：本题比较简单，考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，解答此题的关键是熟知反比例函数的增
减性．
5．在平面直角坐标系中，分别过点 , 作 轴的垂线 和 ,探究直线 和 与双曲线 的
关系，下列结论中错误的是5
A. 两直线中总有一条与双曲线相交
B. 当 =1 时，两条直线与双曲线的交点到原点的距离相等
C. 当 时，两条直线与双曲线的交点在 轴两侧
D. 当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的最短距离是 2
【来源】江西省 2018 年中等学校招生考试数学试题
【答案】D
【点睛】本题考查了垂直于 x 轴的直线与反比例函数图象之间的关系，利用特定值，分情况进行讨论是解
本题的关键，本题有一定的难度.
6．已知点 、 都在反比例函数 的图象上，则下列关系式一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【来源】江苏省扬州市 2018 年中考数学试题
【答案】A
【解析】分析：根据反比例函数的性质，可得答案．
详解：由题意，得
k=-3，图象位于第二象限，或第四象限，
在每一象限内，y 随 x 的增大而增大，
∵3＜6，
∴x1＜x2＜0，
故选 A．
点睛：本题考查了反比例函数，利用反比例函数的性质是解题关键．6
7．给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当 x＞1 时，函数值 y 随
自变量 x 增大而增大“的是（ ）
A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③
【来源】山东省德州市 2018 年中考数学试题
【答案】B
点睛：本题主要考查了一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的性质，正确把握相关性质是解题
的关键．
8．如图，点 在反比例函数 的图象上，过点 的直线与 轴， 轴分别交于点 ， ，且 ，
的面积为 1，则 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【来源】2018 年浙江省舟山市中考数学试题
【答案】D
【解析】【分析】过点 C 作 轴，设点 ，则 得到点 C
的坐标，根据 的面积为 1，得到 的关系式，即可求出 的值.
【解答】过点 C 作 轴，7
【点评】考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法是解题的关键.
9．如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 A，B 在反比例函数 （ ， ）的图象上，横
坐标分别为 1，4，对角线 轴．若菱形 ABCD 的面积为 ，则 k 的值为（ ）
A. B. C. 4 D. 5
【来源】【全国省级联考】2018 年重庆市中考数学试卷（A 卷）
【答案】D
【解析】【分析】设 A(1，m)，B(4，n)，连接 AC 交 BD 于点 M，BM=4-1=3，AM=m-n，由菱形的面积可推得 m-n=
，再根据反比例函数系数的特性可知 m=4n，从而可求出 n 的值，即可得到 k 的值.
【详解】设 A(1，m)，B(4，n)，连接 AC 交 BD 于点 M，
则有 BM=4-1=3，AM=m-n，8
【点睛】本题考查了反比例函数 k 的几何意义、菱形的性质、菱形的面积等，熟记菱形的对角线互相垂直
平分是解题的关键.
二、填空题
10．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 （x＞0）与正比例函数 y=kx、 （k＞1）的图象分别
交于点 A、B，若∠AOB＝45°，则△AOB 的面积是________.
【来源】江苏省宿迁市 2018 年中考数学试卷
【答案】2
【解析】【分析】作BD⊥x 轴，AC⊥y 轴，OH⊥AB（如图），设 A（x1，y1），B（x2 ， y2），根据反比例函数9
k 的几何意义得 x1y1=x2y2=2；将反比例函数分别与 y=kx，y= 联立，解得 x1= ，x2= ，从而得 x1x2=2，
所以 y1=x2， y2=x1， 根据 SAS 得△ACO≌△BDO，由全等三角形性质得 AO=BO，∠AOC=∠BOD，由垂直定义和
已知条件得∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°，根据 AAS 得
△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO，根据三角形面积公式得 S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO= x1y1+
x2y2= ×2+ ×2=2.
【详解】如图：作 BD⊥x 轴，AC⊥y 轴，OH⊥AB，
即 OC=OD，AC=BD，
∵BD⊥x 轴，AC⊥y 轴，
∴∠ACO=∠BDO=90°，
∴△ACO≌△BDO（SAS），
∴AO=BO，∠AOC=∠BOD，
又∵∠AOB＝45°，OH⊥AB，10
∴∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°，
∴△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO，
∴S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO= x1y1+ x2y2= ×2+ ×2=2，
故答案为：2.
【点睛】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判
定与性质等，正确添加辅助线是解题的关键.
11．已知 A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是反比例函数 y=﹣ 图象上的两个点，则 y1 与 y2 的大小关系为__________．
【来源】江苏省连云港市 2018 年中考数学试题
【答案】y1＜y2
点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用函数的
思想解答．
12．如图，点 D 为矩形 OABC 的 AB 边的中点，反比例函数 的图象经过点 D，交 BC 边于点 E.若△BDE
的面积为 1，则 k =________
【来源】江苏省盐城市 2018 年中考数学试题
【答案】411
点睛：本题考查了反比例函数比例系数 k 的几何意义：在反比例函数 y= 图象中任取一点，过这一个点向 x
轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特
征．
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 的坐标为 ，点 在 轴正半轴上，点 在第三象
限的双曲线 上，过点 作 轴交双曲线于点 ，连接 ，则 的面积为__________．
【来源】湖北省孝感市 2018 年中考数学试题
【答案】7
【解析】分析：作辅助线，构建全等三角形：过 D 作 GH⊥x 轴，过 A 作 AG⊥GH，过 B 作 BM⊥HC 于 M，证明
△AGD≌△DHC≌△CMB，根据点 D 的坐标表示：AG=DH=-x-1，由 DG=BM，列方程可得 x 的值，表示 D 和 E 的
坐标，根据三角形面积公式可得结论．
详解：过 D 作 GH⊥x 轴，过 A 作 AG⊥GH，过 B 作 BM⊥HC 于 M，12
当 y=-4 时，x=- ，
∴E（- ，-4），
∴EH=2- = ，
∴CE=CH-HE=4- = ，
∴S△CEB= CE•BM= × ×4=7.
故答案为：7．
点睛：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活
运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考填空题的压轴题．
14．设双曲线 与直线 交于 ， 两点（点 在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线
的方向平移，使其经过点 ，将双曲线在第三象限的一支沿射线 的方向平移，使其经过点 ，平移后的13
两条曲线相交于点 ， 两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，
为双曲线的“眸径”.当双曲线 的眸径为 6 时， 的值为__________.
【来源】四川省成都市 2018 年中考数学试题
【答案】
详解：以 PQ 为边，作矩形 PQQ′P′交双曲线于点 P′、Q′，如图所示．
联立直线 AB 及双曲线解析式成方程组， ，
解得： ， ，14
点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及
解一元一次方程，利用矩形的性质结合函数图象找出点 P′的坐标是解题的关键．
15．如图，已知直线 与 轴、 轴相交于 、 两点，与 的图象相交于 、 两点，
连接 、 .给出下列结论：
① ；② ；③ ；④不等式 的解集是 或 .
其中正确结论的序号是__________．
【来源】贵州省安顺市 2018 年中考数学试题
【答案】②③④15
详解：由图象知，k1＜0，k2＜0，
∴k1k2＞0，故①错误；
把 A（-2，m）、B（1，n）代入 y= 中得-2m=n，
∴m+ n=0，故②正确；
把 A（-2，m）、B（1，n）代入 y=k1x+b 得
，
∴ ,
∵-2m=n，
∴y=-mx-m，
∵已知直线 y=k1x+b 与 x 轴、y 轴相交于 P、Q 两点，
∴P（-1，0），Q（0，-m），
∴OP=1，OQ=m，
∴S△AOP= m，S△BOQ= m，
∴S△AOP=S△BOQ；故③正确；
由图象知不等式 k1x+b＞ 的解集是 x＜-2 或 0＜x＜1，故④正确；
故答案为：②③④．
点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求两直线的交点坐标，三角形面积的计算，正确的理解
题意是解题的关键．
16．若点 A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）都在反比例函数 y= （k 为常数）的图象上，则16
y1、y2、y3 的大小关系为________．
【来源】山东省滨州市 2018 年中考数学试题
【答案】y2＜y1＜y3
点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出 y1、y2、y3 的
值是解题的关键．
17．已知反比例函数 的图像经过点 ，则 __________．
【来源】江苏省南京市 2018 年中考数学试卷
【答案】
【解析】分析：直接把点（-3，-1）代入反比例函数 y= ，求出 k 的值即可.
详解：：∵反比例函数 y= 的图象经过点（-3，-1），
∴-1= ，
解得 k=3．
故答案为：3.
点睛：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数
的解析式是解答此题的关键.
18．如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 是反比例函数 图象上的一点， 轴于点 ，
则 的面积为___________.17
【来源】湖南省娄底市 2018 年中考数学试题
【答案】1
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数 k 的几何意义，用到的知识为：在反比例函数图象上的点的横纵
坐标的积等于反比例函数的比例系数．
19．如图,反比例函数 与一次函数 在第三象限交于点 .点 的坐标为(一 3,0),点 是 轴左侧的
一点.若以 为顶点的四边形为平行四边形.则点 的坐标为_____________.
【来源】山东省德州市 2018 年中考数学试题
【答案】(-4,-3),(-2,3)
【解析】分析：联立直线和反比例函数解析式可求出 A 点的坐标，再分以 AB 为对角线、以 OA 为对角线和
以 OB 为对角线三种情况，利用平行四边形的性质可分别求得满足条件的 P 点的坐标．
详解：由题意得： ，解得： 或 ．
∵反比例函数 y= 与一次函数 y=x﹣2 在第三象限交于点 A，∴A（﹣1，﹣3）．
当以 AB 为对角线时，AB 的中点坐标 M 为（﹣2，﹣1.5）．
∵平行四边形的对角线互相平分，∴M 为 OP 中点，设 P 点坐标为（x，y），则 =﹣2， =﹣1.5，
解得：x=﹣4，y=﹣3，∴P（﹣4，﹣3）．18
当 OB 为对角线时，由 O、B 坐标可求得 OB 的中点坐标 M（﹣ ，0），设 P 点坐标为（x，y），由平行四
边形的性质可知 M 为 AP 的中点，结合中点坐标公式可得： =﹣ =0，解得：x=﹣2，y=3，∴P（﹣2，
3）；
点睛：本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数图象上点的坐标特点、平行四边
形的判定与性质及中点坐标公式是解答此题的关键．
20．如图，正比例函数 y=kx 与反比例函数 y= 的图象有一个交点 A(2，m)，AB⊥x 轴于点 B，平移直线 y=kx
使其经过点 B，得到直线 l，则直线 l 对应的函数表达式是_________ .
【来源】安徽省 2018 年中考数学试题
【答案】y= x-3
【解析】【分析】由已知先求出点 A、点 B 的坐标，继而求出 y=kx 的解析式，再根据直线 y=kx 平移后经过
点 B，可设平移后的解析式为 y=kx+b，将 B 点坐标代入求解即可得.
【详解】当 x=2 时，y= =3，∴A(2，3)，B（2，0），
∵y=kx 过点 A(2，3)，
∴3=2k，∴k= ，19
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，涉及到待定系数法，一次函数图象的平移等，求
出 k 的值是解题的关键.
21．过双曲线 的动点 作 轴于点 ， 是直线 上的点，且满足 ，过点 作 轴的
平行线交此双曲线于点 .如果 的面积为 8，则 的值是__________．
【来源】2018 年浙江省绍兴市中考数学试卷解析
【答案】12 或 4
【解析】【分析】画出示意图，分两种情况进行讨论即可.
【解答】 如图：
设点 A 的坐标为：
则点 P 的坐标为：
点 C 的纵坐标为： ，代入反比例函数 ，点 C 的横坐标为：
解得：
如图：20
设点 A 的坐标为：
则点 P 的坐标为：
点 C 的纵坐标为： ，代入反比例函数 ，点 C 的横坐标为：
解得：
故答案为：12 或 4.
【点评】考查反比例函数图象上点的坐标特征，注意数形结合思想在数学中的应用.
22．如图，点 A，B 是反比例函数 y= （x＞0）图象上的两点，过点 A，B 分别作 AC⊥x 轴于点 C，BD⊥x 轴
于点 D，连接 OA，BC，已知点 C（2，0），BD=2，S△BCD=3，则 S△AOC=__．
【来源】浙江省衢州市 2018 年中考数学试卷
【答案】5．
详解：∵BD⊥CD，BD=2，
∴S△BCD= BD•CD=3，即 CD=3．
∵C（2，0），即 OC=2，
∴OD=OC+CD=2+3=5，21
∴B（5，2），代入反比例解析式得：k=10，即 y= ，则 S△AOC=5．
故答案为：5．
点睛：本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例
函数 k 的几何意义是解答本题的关键．
三、解答题
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=k1x+b 的图象与反比例函数 y= 的图象交于
A（4，﹣2）、B（﹣2，n）两点，与 x 轴交于点 C．
（1）求 k2，n 的值；
（2）请直接写出不等式 k1x+b< 的解集；
（3）将 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折，点 A 落在点 A′处，连接 A′B，A′C，求△A′BC 的面积．
【来源】江苏省连云港市 2018 年中考数学试题
【答案】（1）k2=﹣8，n=4；（2）﹣2＜x＜0 或 x＞4；（3）8
详解：（1）将 A（4，-2）代入 y= ，得 k2=-8．
∴y=- ,22
将（-2，n）代入 y=- ，得 n=4．
∴k2=-8，n=4
点睛：本题是一次函数和反比例函数综合题，使用的待定系数法，考查用函数的观点解决不等式问题．
24．如图，直线 y1=﹣x+4，y2= x+b 都与双曲线 y= 交于点 A（1，m），这两条直线分别与 x 轴交于 B，C 两
点．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）直接写出当 x＞0 时，不等式 x+b＞ 的解集；
（3）若点 P 在 x 轴上，连接 AP 把△ABC 的面积分成 1：3 两部分，求此时点 P 的坐标．
【来源】山东省淄博市 2018 年中考数学试题
【答案】（1） ；（2）x＞1；（3）P（﹣ ，0）或（ ，0）
【解析】分析：（1）求得 A（1，3），把 A（1，3）代入双曲线 y= ，可得 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）依据 A（1，3），可得当 x＞0 时，不等式 x+b＞ 的解集为 x＞1；
（3）分两种情况进行讨论，AP 把△ABC 的面积分成 1：3 两部分，则 CP= BC= ，或 BP= BC= ，即可得到OP=3﹣23
= ，或 OP=4﹣ = ，进而得出点 P 的坐标．
详解：（1）把 A（1，m）代入 y1=﹣x+4，可得 m=﹣1+4=3，
∴A（1，3），
把 A（1，3）代入双曲线 y= ，可得 m=1×3=3，
∴y 与 x 之间的函数关系式为：y= ；
（2）∵A（1，3），
∴当 x＞0 时，不等式 x+b＞ 的解集为：x＞1；
点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数
关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
25．如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象经过点 ，与反比例函数
的图象交于 .
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）设 是直线 上一点，过 作 轴，交反比例函数 的图象于点 ，若 为顶点的
四边形为平行四边形，求点 的坐标.24
【来源】四川省成都市 2018 年中考数学试题
【答案】（1） . ；（2） 的坐标为 或 .
（2）设 ， .
当 且 时，以 A，O，M，N 为顶点的四边形为平行四边形.
即： 且 ，解得： 或 （负值已舍），
的坐标为 或 .
点睛：本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解
答．
26．如图，直线 y=3x﹣5 与反比例函数 y= 的图象相交 A（2，m），B（n，﹣6）两点，连接 OA，OB．
（1）求 k 和 n 的值；
（2）求△AOB 的面积．25
【来源】山东省潍坊市 2018 年中考数学试题
【答案】（1）k=3；（2）S△AOB = ．
【解析】分析：（1）先求出 B 点的坐标，再代入反比例函数解析式求出即可；
（2）先求出直线与 x 轴、y 轴的交点坐标，再求出即可．
详解：(1) 点 在直线 上,
,解得 ，
，
反比例函数 的图象也经过点 ，
,解得 ；
点睛：本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题、函数图象上
点的坐标特征等知识点，能求出反比例函数的解析式是解此题的关键．26
27．如图，四边形 ABCD 的四个顶点分别在反比例函数 y= 与 y= （x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线BD∥y
轴，且 BD⊥AC 于点 P．已知点 B 的横坐标为 4．
（1）当 m=4，n=20 时．
①若点 P 的纵坐标为 2，求直线 AB 的函数表达式．
②若点 P 是 BD 的中点，试判断四边形 ABCD 的形状，并说明理由．
（2）四边形 ABCD 能否成为正方形？若能，求此时 m，n 之间的数量关系；若不能，试说明理由．
【来源】浙江省金华市 2018 年中考数学试题
【答案】（1）①直线 AB 的解析式为 y=﹣ x+3；理由见解析；②四边形 ABCD 是菱形，（2）四边形 ABCD 能是
正方形，理由见解析.
详解：（1）①如图 1，
∵m=4，27
∴反比例函数为 y= ，当 x=4 时，y=1，
∴B（4，1），
②四边形 ABCD 是菱形，
理由如下：如图 2，
由①知，B（4，1），
∵BD∥y 轴，
∴D（4，5），
∵点 P 是线段 BD 的中点，
∴P（4，3），28
当 y=3 时，由 y= 得，x= ，
（2）四边形 ABCD 能是正方形，
理由：当四边形 ABCD 是正方形，
∴PA=PB=PC=PD，（设为 t，t≠0），
当 x=4 时，y= = ，
∴B（4， ），
∴A（4-t， +t），
∴（4-t）（ +t）=m，
∴t=4- ，
∴点 D 的纵坐标为 +2t= +2（4- ）=8- ，
∴D（4，8- ），
∴4（8- ）=n，
∴m+n=32．
点睛：此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，正方
形的性质，判断出四边形 ABCD 是平行四边形是解本题的关键．
28．如图，已知反比例函数 y= （m≠0）的图象经过点（1，4），一次函数y=﹣x+b 的图象经过反比例函数
图象上的点 Q（﹣4，n）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；29
（2）一次函数的图象分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，与反比例函数图象的另一个交点为 P 点，连结 OP、OQ，
求△OPQ 的面积．
【来源】四川省宜宾市 2018 年中考数学试题
【答案】（1）反比例函数的表达式为 ，一次函数的表达式 y=﹣x﹣5；（2）7.5.
【解析】分析：（1）根据待定系数法，将点的坐标分别代入两个函数的表达式中求出待定系数，可得答案；
（2）利用△AOP 的面积减去△AOQ 的面积．
（2）由 ，解得 或 ，
∴点 P（-1，-4），
在一次函数 y=-x-5 中，令 y=0，得-x-5=0，解得 x=-5，故点 A（-5，0），
S△OPQ=S△OPA-S△OAQ= ×5×4− ×5×1=7.5．
点睛：本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标问题，（1）用待定系数法求出函数表达式是
解题的关键，（2）转化思想是解题关键，将三角形的面积转化成两个三角形的面积的差．
29．如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，菱形 OABC 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 C 的坐标
为（1， ）．30
（1）求图象过点 B 的反比例函数的解析式；
（2）求图象过点 A，B 的一次函数的解析式；
（3）在第一象限内，当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时，请直接写出自变量 x 的
取值范围．
【来源】山东省滨州市 2018 年中考数学试题
【答案】（1） ；（2） ；（3）x＜﹣1 或 0＜x＜3．
详解：（1）由点 C 的坐标为（1， ），得到 OC=2，
∵四边形 OABC 是菱形，
∴BC=OC=OA=2，BC∥x 轴，
∴B（3， ），
设反比例函数解析式为 y= ，
把 B 坐标代入得：k=3 ，
则反比例函数解析式为 y= ；
（2）设直线 AB 的解析式为 y=mx+n，
把 A（2，0），B（3， ）代入得： ，
解得：
则直线 AB 的解析式为 y= x﹣2 ；
（3）联立得： ，31
解得： 或 ，即一次函数与反比例函数图象的交点坐标为（3， ）或（﹣1，﹣3 ），
则当一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，自变量 x 的取值范围为 x＜﹣1 或 0＜x＜3．
点睛：此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，一次函数、反比例函数的性质，以
及一次函数与反比例函数图象的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
30．如图，反比例函数 的图象与正比例函数 的图象相交于 (1, ), 两点，点 在第四象
限， ∥ 轴， .
(1)求 的值及点 的坐标；
(2)求 的值.
【来源】江西省 2018 年中等学校招生考试数学试题
【答案】（1） ， ；（2）2.
【详解】（1）∵点 (1， )在 上，
∴ =2，∴ (1， )，
把 (1， )代入 得 ，32
【点睛】本题考查了反比例与一次函数综合问题，涉及到待定系数法、中心对称、三角函数等知识，熟练
掌握和应用相关知识是解题的关键，（2）小题求出∠C=∠AOD 是关键.
31．如图，一次函数 的图象与反比例函数 （ 为常数且 ）的图象交于 ， 两点，
与 轴交于点 .
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）若点 在 轴上，且 ，求点 的坐标.
【来源】2018 年甘肃省武威市（凉州区）中考数学试题
【答案】（1）反比例函数的表达式为 ；（2）点 P（-6，0）或（-2，0）．
【解析】【分析】（1）把点 A（-1，a）代入 ，得 ,得到 A（-1，3），33
代入反比例函数 ，得 ,即可求得反比例函数的表达式.
（2）联立两个函数表达式得 ,解得 ， ．求得点 B 的坐标，
当 时，得 .求得点 C（-4，0）． 设点 P 的坐标为（ ，0）．根据 ，列出方
程求解即可.
【点评】属于反比例函数和一次函数综合题，考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函
数解析式，三角形的面积公式等，难度不大，熟练掌握各个知识点是解题的关键.
32．如图，矩形 的两边 、 的长分别为 3、8， 是 的中点，反比例函数 的图象经过点 ，
与 交于点 .34
（1）若点 坐标为 ，求 的值及图象经过 、 两点的一次函数的表达式；
（2）若 ，求反比例函数的表达式.
【来源】山东省泰安市 2018 年中考数学试题
【答案】（1） ， ；（2） .
详解：（1）∵ 为 的中点，
∴ ．
∵反比例函数图象过点 ，
∴ ．
设图象经过 、 两点的一次函数表达式为： ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，35
∴ ．
点睛：本题考查了矩形的性质以及反比例函数一次函数的解析式．解题的关键是求出点 A、E、F 的坐标．
微信/支付宝扫码支付