专题5.1 图形的平移对称与旋转
一、单选题
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【来源】山东省淄博市2018年中考数学试卷
【答案】C
【解析】分析：根据轴对称图形的概念求解．
详解：A.是轴对称图形；B.是轴对称图形；C.不是轴对称图形；D.是轴对称图形.故选：C.
点睛：此题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.
2．观察下列图形，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【来源】广东省深圳市2018年中考数学试题
【答案】D
【点睛】本题考查了中心对称图形，熟知“在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形”是解题的关键.
3．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
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【来源】四川省凉山州2018年中考数学试题
【答案】D
点睛：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【来源】贵州省安顺市2018年中考数学试题
【答案】D
【解析】分析：分别根据轴对称图形与中心对称图形的性质对各选项进行逐一分析即可．
详解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项错误；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
点睛：本题考查的是轴对称图形，熟知轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质的图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合是解答此题的关键．
5．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【来源】四川省成都市2018年中考数学试题
【答案】C
【解析】分析：根据关于原点对称的点的坐标特点解答．
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详解：点P（-3，-5）关于原点对称的点的坐标是（3，5），
故选C．
点睛：本题考查的是关于原点的对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
6．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系如图,在平面上取定一点称为极点；从点出发引一条射线称为极轴；线段的长度称为极径点的极坐标就可以用线段的长度以及从转动到的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定，即或或等,则点关于点成中心对称的点的极坐标表示不正确的是( )
A. B.
C. D.
【来源】山东省潍坊市2018年中考数学试题
【答案】D
点睛：此题考查中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答．
7．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，经过平移后得到，若上一点平移后对应点为，点绕原点顺时针旋转，对应点为，则点的坐标为（ ）
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A. B. C. D.
【来源】山东省泰安市2018年中考数学试题
【答案】A
点睛：本题考查了坐标与图形变化，平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【来源】江苏省盐城市2018年中考数学试题
【答案】D
【解析】分析：轴对称图形：沿着一条线折叠能够完全重合的图形；中心对称图形：绕着某一点旋转180°能够与自身重合的图形；根据定义逐个判断即可。
详解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意；B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D符合题意；
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故选：D
点睛：本题考查了中心对称图形的定义：一个图形若绕某一点旋转180度后仍然和原来的图形重合，那么这个图形就是中心对称图形．也考查了轴对称图形的定义．
9．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是（ ）
A. 55° B. 60° C. 65° D. 70°
【来源】浙江省金华市2018年中考数学试题
【答案】C
点睛：此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．
10．小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形.如图所示，现在他将正方形从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形的顶点也在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有
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A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 无数个
【来源】江西省2018年中等学校招生考试数学试题
【答案】C
【点睛】本题考查了图形的平移、轴对称图形等知识，熟练掌握正方形的结构特征是解本题的关键.
11．如图，往竖直放置的在处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“”形装置中注入一定量的水，水面高度为，现将右边细管绕处顺时针方向旋转到位置，则中水柱的长度约为（ ）
A. B. C. D.
【来源】湖南省娄底市2018年中考数学试题
【答案】C
【解析】【分析】根据旋转后两侧液面的高度相等，而且软管中液体的总长度与原来是一样的，结合已知可知此时AB 中水柱的长度为左边水柱长度的2倍，据此即可得.
【详解】如图，旋转后AB中水柱的长度为AD，左侧软管中水柱的长度为EF，
过点D作DM⊥FA．由题意则有EF+AD=2×6=12cm，
∵∠DAM=90°-60°=30°，∠AMD=90°，∴AD=2DM，
∵EF=DM，
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∴AD=8cm，
故选C.
【点睛】本题主要考查了30度角所对直角边是斜边的一半，旋转的性质等，解本题的关键是明确旋转前后软管中水柱的长度是不变的.
12．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【来源】山东省淄博市2018年中考数学试题
【答案】C
点睛：此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合．
13．将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（ ）
A. B. C. D.
【来源】2018年浙江省舟山市中考数学试题
【答案】A
【解析】【分析】根据两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠, 展开后所得图形的顶点一定在正方形的对角线上, 根据③的剪法，中间应该是一个正方形.
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【解答】根据题意，两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠的，根据③的剪法，展开后所得图形的顶点一定在正方形的对角线上,而且中间应该是一个正方形.
故选A．
【点评】关键是要理解折叠的过程，得到关键信息，如本题得到展开后的图形的顶点在正方形的对角线上是解题的关键．
14．如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点A，B的坐标分别为（-1，0），（0， ）．现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB’，则点B的对应点B’的坐标是（ ）
A. （1，0） B. （，） C. （1，） D. （-1，）
【来源】浙江省温州市2018年中考数学试卷
【答案】C
点睛: 此题考查坐标与图形变化，关键是根据平移的性质得出平移后坐标的特点.
15．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【来源】山东省德州市2018年中考数学试题
【答案】B
【解析】分析：观察四个选项中的图形，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论．
详解：A是中心对称图形；B既是轴对称图形又是中心对称图形；C是轴对称图形；D既不是轴对称图形又不是中心对称图形．
故选B．
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点睛：本题考查了中心对称图形以及轴对称图形，牢记轴对称及中心对称图形的特点是解题的关键．
16．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【来源】天津市2018年中考数学试题
【答案】A
点睛：本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．
17．下列图形中一定是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【来源】【全国省级联考】2018年重庆市中考数学试卷（A卷）
【答案】D
【解析】【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可得.
【详解】A、40°的直角三角形不是轴对称图形，故不符合题意；
B、两个角是直角的四边形不一定是轴对称图形，故不符合题意；
C平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故不符合题意；
D矩形是轴对称图形，有两条对称轴，故符合题意，
故选D.
【点睛】本题主要考查轴对称图形，熟知轴对称图形是指一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分完全重合的图形是解题的关键.
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18．如图，将一个三角形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【来源】天津市2018年中考数学试题
【答案】D
点睛：本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
19．如图，等边三角形的边长为4,点是△的中心，.绕点旋转,分别交线段于两点，连接,给出下列四个结论:①;②;③四边形的面积始终等于;④△周长的最小值为6,上述结论中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【来源】山东省德州市2018年中考数学试题
【答案】C
【解析】分析：连接BO，CO，可以证明△OBD≌△OCE，得到BD=CE，OD=OE，从而判断①正确；
通过特殊位置，当D与B重合时，E与C重合，可判断△BDE的面积与△ODE的面积的大小，从而判断②错误；
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详解：连接BO，CO，过O作OH⊥BC于H．
∵O为△ABC的中心，∴BO=CO，∠DBO=∠OBC=∠OCB=30°，∠BOC=120°．
∵∠DOE=120°，∴∠DOB=∠COE．在△OBD和△OCE中，∵∠DOB=∠COE，OB=OC，∠DBO=∠ECO，∴△OBD≌△OCE，∴BD=CE，OD=OE，故①正确；
当D与B重合时，E与C重合，此时△BDE的面积=0，△ODE的面积＞0，两者不相等，故②错误；
∵O为中心，OH⊥BC，∴BH=HC=2．
∵∠OBH=30°，∴OH=BH=，∴△OBC的面积==．
∵△OBD≌△OCE，∴四边形ODBE的面积=△OBC的面积=，故③正确；
过D作DI⊥BC于I．设BD=x，则BI=，DI=．
∵BD=EC，BC=4，∴BE=4－x，IE=BE-BI=．在Rt△DIE中，DE== = =，当x=2时，DE的值最小为2，△BDE的周长
=BD+BE+DE=BE+EC+DE=BC+DE=4+DE，当DE最小时，△BDE的周长最小，∴△BDE的周长的最小值=4+2=6．故④正确．
故选C．
点睛：本题是几何变换-旋转综合题．考查了等边三角形的性质以及二次函数的性质．解题的关键是证明△OBD≌△OCE．
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20．如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（ ）
A. B. C. D.
【来源】山东省淄博市2018年中考数学试题
【答案】A
详解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，
∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE2=PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°．
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∴∠APF=30°，
∴在直角△APF中，AF=AP=，PF=AP=．
∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+）2+（）2=25+12．
则△ABC的面积是•AB2=•（25+12）=9+．
故选：A．
点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
二、填空题
21．如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点A，B分别落在x、y轴的正半轴上，∠OAB＝60°，点A的坐标为（1，0），将三角板ABC沿x轴向右作无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°，…）当点B第一次落在x轴上时，则点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是________.
【来源】江苏省宿迁市2018年中考数学试卷
【答案】+π
【详解】在Rt△AOB中，∵A（1，0），∴OA=1，
又∵∠OAB＝60°，
∴cos60°=，
∴AB=2，OB=，
∵在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，
∴点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积：
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S==π，
故答案为：π.
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，锐角三角函数的定义，旋转的性质等，根据题意正确画出图形是解题的关键.
22．在平面直角坐标系中，将点（3,-2）先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得的点的坐标是________.
【来源】江苏省宿迁市2018年中考数学试卷
【答案】（5,1）
【点睛】本题考查了点的平移，熟知点的坐标的平移特征是解题的关键.
23．如图,正方形的边长为1,点与原点重合,点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上将正方形绕点逆时针旋转至正方形的位置,与相交于点,则的坐标为____________．
【来源】山东省潍坊市2018年中考数学试题
【答案】
【解析】分析：连接AM，由旋转性质知AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°，证Rt△ADM≌Rt△AB′M得∠DAM=∠B′AD=30°，由DM=ADtan∠DAM可得答案．
详解：如图，连接AM，
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点睛：本题主要考查旋转的性质、正方形的性质，解题的关键是掌握旋转变换的不变性与正方形的性质、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用．
24．如图，在矩形中，=3，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点的对应点落在上，且则的长为_______________ .
【来源】江西省2018年中等学校招生考试数学试题
【答案】
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【点睛】本题考查矩形的性质和旋转的性质，熟知旋转前后哪些线段是相等的是解题的关键.
25．在平面直角坐标系中，点的坐标是.作点关于轴的对称点，得到点，再将点向下平移个单位，得到点，则点的坐标是（___________），__________）.
【来源】江苏省南京市2018年中考数学试卷
【答案】 ，
【解析】分析：直接利用关于y轴对称点的性质得出A′点坐标，再利用平移的性质得出点A''的坐标.
详解：∵点A的坐标是（-1，2），作点A关于y轴的对称点，得到点A′，
∴A′点坐标为：（1，2），
∵将点A'向下平移4个单位得到点A″，
∴点A''的坐标是：（1，-2）．
故答案为：（1，-2）．
点睛：此题主要考查了平移变换以及关于y轴对称点的性质，正确掌握平移规律是解题关键.
26．在平面直角坐标系中，点的坐标是.作点关于轴的对称点，得到点，再将点向下平移个单位，得到点，则点的坐标是（___________），__________）.
【来源】江苏省南京市2018年中考数学试卷
【答案】 ，
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点睛：此题主要考查了平移变换以及关于y轴对称点的性质，正确掌握平移规律是解题关键.
27．如图，把三角形纸片折叠，使点、点都与点重合，折痕分别为，，得到，若厘米，则的边的长为____________厘米.
【来源】【全国省级联考】2018年重庆市中考数学试卷（A卷）
【答案】
【解析】【分析】过点E作EH⊥AG于H，由AE=EG=2，∠AGE=30°可求得AG的长，由翻折可知AE=BE、AG=CG，根据BC=BE+EG+CG，将数据代入相加即可得.
【详解】过点E作EH⊥AG于H，
∵AE=EG=2，∠AGE=30°，
∴AG=2AH =2AE •cos30°=2×2×=6，
由翻折得，
∴，
故答案为：6+4.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、折叠的性质等，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形.
28．定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的γ（a，θ）变换．
33
如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上．△A1B1C1就是△ABC经γ（1，180°）变换后所得的图形．
若△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，依此类推……
△An﹣1Bn﹣1Cn﹣1经γ（n，180°）变换后得△AnBnCn，则点A1的坐标是__，点A2018的坐标是 ．
【来源】浙江省衢州市2018年中考数学试卷
【答案】（﹣，﹣），（﹣，）．
详解：根据图形的γ（a，θ）变换的定义可知：
对图形γ（n，180°）变换，就是先进行向右平移n个单位变换，再进行关于原点作中心对称变换．
△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，A1 坐标（﹣，﹣）
△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，A2坐标（﹣，）
△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，A3坐标（﹣，﹣）
△A3B3C3经γ（3，180°）变换后得△A4B4C4，A4坐标（﹣，）
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点睛：本题是规律探究题，又是材料阅读理解题，关键是能正确理解图形的γ（a，θ）变换的定义后运用，关键是能发现连续变换后出现的规律，该题难点在于点的横纵坐标各自存在不同的规律，需要分别来研究．
29．如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA．若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为______．
【来源】【全国市级联考】江苏省苏州市2018届九年级中考数学模拟试题
【答案】．
【解析】解：如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC′，点E运动的路径为EE′，由平移的性质可知AC′=EE′，在Rt△ABC′中，易知AB=BC′=6，∠ABC′=90°，∴EE′=AC′==，故答案为：．
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点睛：主要考查轨迹、平移变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题
30．如图，P，Q是方格纸中的两格点，请按要求画出以PQ为对角线的格点四边形．
（1）在图1中画出一个面积最小的¨PAQB；
（2）在图2中画出一个四边形PCQD，使其是轴对称图形而不是中心对称图形，且另一条对角线CD由线段PQ以某一格点为旋转中心旋转得到．注：图1，图2在答题纸上．
【来源】浙江省温州市2018年中考数学试卷
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析.
详解:
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（1）
（2）
点睛: 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换.
31．如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在上．
（1）求证：AE=AB；
（2）若∠CAB=90°，cos∠ADB=，BE=2，求BC的长．
【来源】浙江省温州市2018年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）BC=
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（2）如图，过点A作AH⊥BE于点H，根据等腰三角形的三线合一得出BH=EH=1，根据等腰三角形的性质及圆周角定理得出∠ABE=∠AEB=ADB，根据等角的同名三角函数值相等及余弦函数的定义得出BH∶AB = 1∶3,从而得出AC=AB=3，在Rt三角形ABC中，利用勾股定理得出BC的长.
详解:
（1）解 ：由题意得△ADE≌△ADC，
∴∠AED=∠ACD，AE=AC
∵∠ABD=∠AED，
∴∠ABD=∠ACD
∴AB=AC
∴AE=AB
（2）解 ：如图，过点A作AH⊥BE于点H
点睛: 本题主要考查三角形的外接圆，解题的关键是掌握折叠的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及三角函数的应用等知识点.
32．在中，，，，过点作直线，将绕点顺时针得到（点，的对应点分别为，），射线，分别交直线于点，.
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（1）如图1，当与重合时，求的度数；
（2）如图2，设与的交点为，当为的中点时，求线段的长；
（3）在旋转过程时，当点分别在，的延长线上时，试探究四边形的面积是否存在最小值.若存在，求出四边形的最小面积；若不存在，请说明理由.
【来源】四川省成都市2018年中考数学试题
【答案】（1）60°；（2）；（3）
详解：（1）由旋转可得：AC=A'C=2，
∵∠ACB=90°，AB=，AC=2，
∴BC=，
∵∠ACB=90°，m∥AC，
∴∠A'BC=90°，
∴cos∠A'CB=，
∴∠A'CB=30°，
∴∠ACA'=60°；
（2）∵M为A'B'的中点，
∴∠A'CM=∠MA'C，
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由旋转可得，∠MA'C=∠A，
∴∠A=∠A'CM，
∴tan∠PCB=tan∠A=，
∴PB=BC=，
∵tan∠Q=tan∠A=，
∴BQ=BC×=2，
∴PQ=PB+BQ=；
点睛：本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题时注意：旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
33．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点.
（1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段（点A，B的对应点分别为）.画出线段;
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（2）将线段绕点逆时针旋转90°得到线段.画出线段;
（3）以为顶点的四边形的面积是 个平方单位.
【来源】安徽省2018年中考数学试题
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）20
【详解】（1）如图所示；
（2）如图所示；
（3）结合网格特点易得四边形AA1 B1 A2是正方形，
AA1=，
所以四边形AA1 B1 A2的面积为：=20，
故答案为：20.
【点睛】本题考查了作图-
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位似变换，旋转变换，能根据位似比、旋转方向和旋转角得到关键点的对应点是作图的关键.
34．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点.以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，.
（Ⅰ）如图①，当点落在边上时，求点的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点落在线段上时，与交于点.
①求证；
②求点的坐标.
（Ⅲ）记为矩形对角线的交点，为的面积，求的取值范围（直接写出结果即可）.
【来源】天津市2018年中考数学试题
【答案】（Ⅰ）点的坐标为.（Ⅱ）①证明见解析；②点的坐标为.（Ⅲ）.
②由①知，再根据矩形的性质得.从而，故BH=AH，在Rt△ACH中，运用勾股定理可求得AH的值，进而求得答案；
（Ⅲ）.
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（Ⅱ）①由四边形是矩形，得.
又点在线段上，得.
由（Ⅰ）知，，又，，
∴.
②由，得.
又在矩形中，，
∴.∴.∴.
设，则，.
在中，有，
∴.解得.∴.
∴点的坐标为.
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（Ⅲ）.
点睛：本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，灵活运用勾股定理求解是解决本题的关键.
35．再读教材:
宽与长的比是(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调,匀称的美感.世界各国许多著名的建筑.为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示;)
第一步,在矩形纸片一端.利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.
第二步，如图②.把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.
第三步,折出内侧矩形的对角线,并把折到图③中所示的处，
第四步,展平纸片,按照所得的点折出,使,则图④中就会出现黄金矩形，
问题解决:
(1)图③中=__________(保留根号);
(2)如图③,判断四边形的形状,并说明理由;
(3)请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.
实际操作:
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(4)结合图④.请在矩形中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.
【来源】山东省德州市2018年中考数学试题
【答案】（1）；（2）四边形是菱形.理由见解析；（3）见解析.
详解：（1）如图3中．在Rt△ABC中，AB===．
故答案为：．
（2）结论：四边形BADQ是菱形．理由如下：
如图③中，∵四边形ACBF是矩形，∴BQ∥AD．
∵AB∥DQ，∴四边形ABQD是平行四边形，由翻折可知：AB=AD，∴四边形ABQD是菱形．
（3）如图④中，黄金矩形有矩形BCDE，矩形MNDE．
∵AD=．AN=AC=1，CD=AD﹣AC=﹣1．
∵BC=2，∴=，∴矩形BCDE是黄金矩形．
∵==，∴矩形MNDE是黄金矩形．
（4）如图④﹣1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所求是黄金矩形．
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长GH=﹣1，宽HE=3﹣．
点睛：本题考查了几何变换综合题、黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
36．我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。
（1）概念理解:
如图1,在中, ,.,试判断是否是“等高底”三角形，请说明理由.
（2）问题探究:
如图2, 是“等高底”三角形,是“等底”，作关于所在直线的对称图形得到,连结交直线于点.若点是的重心,求的值.
（3）应用拓展:
如图3,已知,与之间的距离为2.“等高底”的“等底” 在直线上,点在直线上,有一边的长是的倍.将绕点按顺时针方向旋转得到,所在直线交于点.求的值.
【来源】浙江省嘉兴市2018年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）（3）的值为,,2
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详解：（1）是．理由如下：
如图1，过点A作AD⊥直线CB于点D，
∴ΔADC为直角三角形，∠ADC=90°．
∵ ∠ACB=30°，AC=6，∴ AD=AC=3，
∴ AD=BC=3，
即ΔABC是“等高底”三角形．
（2）如图2， ∵ ΔABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，∴AD=BC，
∵ ΔA′BC与ΔABC关于直线BC对称， ∴ ∠ADC=90°．
∵点B是ΔAA′C的重心， ∴ BC=2BD．
设BD=x，则AD=BC=2x，∴CD=3x ，
∴由勾股定理得AC=x，
∴．
（3）①当AB=BC时，
Ⅰ．如图3，作AE⊥l1于点E， DF⊥AC于点F．
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Ⅱ．如图4，此时ΔABC是等腰直角三角形，
∵ ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA' B' C，
∴ ΔACD是等腰直角三角形，
∴ CD=AC=．
②当AC=BC时，
Ⅰ．如图5，此时△ABC是等腰直角三角形．
∵ ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA′ B′C，
∴A′C⊥l1，∴CD=AB=BC=2．
Ⅱ．如图6，作AE⊥l1于点E，则AE=BC，
∴AC=BC=AE，∴∠ACE=45°，
∴ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA′ B′C时，
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点睛：本题是几何变换-旋转综合题．考查了重心的性质，勾股定理，旋转的性质以及阅读理解能力．解题的关键是对新概念“等高底”三角形的理解．
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