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专题 5.3 锐角三角形
一、单选题
1．如图，在 中， ， ， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【来源】湖北省孝感市 2018 年中考数学试题
【答案】A
点睛：本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义．
2． 的值等于（ ）
A. B. C. 1 D.
【来源】天津市 2018 年中考数学试题
【答案】B
【解析】分析：根据特殊角的三角函数值直接求解即可．
详解：cos30°= ．
故选：B．
点睛：本题考查特殊角的三角函数值的记忆情况．特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌
握．
3．一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了 100 米，其铅直高度上升了 15 米．在用科学计算器求坡角 α
的度数时，具体按键顺序是（ ）2
A. B.
C. D.
【来源】山东省淄博市 2018 年中考数学试题
【答案】A
点睛：本题考查了计算器﹣三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三
角函数值求角需要用第二功能键．
4．如图，两根竹竿 AB 和 AD 斜靠在墙 CE 上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿 AB 与 AD 的长度之比为（ ）
A. B. C. D.
【来源】浙江省金华市 2018 年中考数学试题
【答案】B
【解析】分析：在两个直角三角形中，分别求出 AB、AD 即可解决问题；
详解：在 Rt△ABC 中，AB= ，
在 Rt△ACD 中，AD= ，
∴AB：AD= ： = ，
故选 B．
点睛：本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于3
中考常考题型．
5．如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是 169，小正方形的面积为 49，则
（ ）
A. B. C. D.
【来源】湖南省娄底市 2018 年中考数学试题
【答案】D
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意求出直角三角形的三边长是解题的关键.
6．如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部 E 点处测得
旗杆顶端的仰角 ，升旗台底部到教学楼底部的距离 米，升旗台坡面 CD 的坡度 ，
坡长 米，若旗杆底部到坡面 CD 的水平距离 米，则旗杆 AB 的高度约为（ ）
（参考数据： ， ， ）
A. 12.6 米 B. 13.1 米 C. 14.7 米 D. 16.3 米4
【来源】【全国省级联考】2018 年重庆市中考数学试卷（A 卷）
【答案】B
【解析】【分析】延长 AB 交地面于点 H，作 CM⊥DE， 易得 CM=1.6，DM=1.2，再由 tan58°= ，求得 AH 长
即可得.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形，从图中提取相关信息是解题的关
键.
二、填空题
7．如图．一-艘渔船正以 60 海里/小时的速度向正东方向航行,在 处测得岛礁 在东北方向上，继续航行
1．5 小时后到达 处此时测得岛礁 在北偏东 方向,同时测得岛礁 正东方向上的避风港 在北偏东 方
向为了在台风到来之前用最短时间到达 处,渔船立刻加速以 75 海里/小时的速度继续航行____________小5
时即可到达 (结果保留根号)
【来源】山东省潍坊市 2018 年中考数学试题
【答案】 .
详解：如图，过点 P 作 PQ⊥AB 交 AB 延长线于点 Q，过点 M 作 MN⊥AB 交 AB 延长线于点 N，
在直角△AQP 中，∠PAQ=45°，则 AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），
所以 BQ=PQ-90．
在直角△BPQ 中，∠BPQ=30°，则 BQ=PQ•tan30°= PQ（海里），
所以 PQ-90= PQ，
所以 PQ=45（3+ ）（海里）
所以 MN=PQ=45（3+ ）（海里）
在直角△BMN 中，∠MBN=30°，
所以 BM=2MN=90（3+ ）（海里）
所以 （小时）
故答案是： ．
点睛：本题考查的是解直角三角形的应用，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三
角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
8．在△ABC 中，∠C=90°，若 tanA= ，则 sinB=______．6
【来源】山东省滨州市 2018 年中考数学试题
【答案】
点睛：此题主要考查了锐角三角函数关系，正确表示各边长是解题关键．
9．如图。在 的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点. 的顶点都在格点上,则 的正弦
值是__________．
【来源】山东省德州市 2018 年中考数学试题
【答案】
点睛：本题考查的是勾股定理以及锐角三角函数，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之
和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 7
三、解答题
10．由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于 2018 年 5 月成功完成第一次海上试验任务.如图，
航母由西向东航行，到达 处时，测得小岛 位于它的北偏东 方向，且与航母相距 80 海里，再航行一段
时间后到达 B 处，测得小岛 位于它的北偏东 方向.如果航母继续航行至小岛 的正南方向的 处，求还需
航行的距离 的长.
（参考数据：
， ， ， ， ， ）
【来源】四川省成都市 2018 年中考数学试题
【答案】还需要航行的距离 的长为 20.4 海里.
点睛：此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，三角函数的应用；求出 CD 的长度是解决问题的关
键．
11．某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱 AB、CD 均垂直于地面，点 E 在线段 BD 上，在 C 点测得点 A
的仰角为 30°，点 E 的俯角也为 30°，测得 B、E 间距离为 10 米，立柱 AB 高 30 米．求立柱 CD 的高（结
果保留根号）8
【来源】四川省宜宾市 2018 年中考数学试题
【答案】立柱 CD 的高为（15﹣ ）米．
【解析】分析：作 CH⊥AB 于 H，得到BD=CH，设 CD=x 米，根据正切的定义分别用 x 表示出 HC、ED，根据正
切的定义列出方程，解方程即可．
详解：作 CH⊥AB 于 H，
则四边形 HBDC 为矩形，
∴BD=CH，
由题意得，∠ACH=30°，∠CED=30°，9
点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的概念、仰角俯角的定义是解
题的关键．
12．图 1 是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框
上，通过推动左侧活页门开关；图 2 是其俯视图简化示意图，已知轨道 ,两扇活页门的宽
,点 固定，当点 在 上左右运动时， 与 的长度不变(所有结果保留小数点后一位).
(1)若 ,求 的长；
(2)当点 从点 向右运动 60 时，求点 在此过程中运动的路径长.
（参考数据：sin50°≈0.77, cos50°≈0.64, tan50°≈1.19, π 取 3.14）
图 1 图 2
【来源】江西省 2018 年中等学校招生考试数学试题
【答案】（1）43.2cm. （2）62.8cm.
【解析】【分析】（1）如图，作OH⊥AB 于 H，在Rt△OBH 中， 由 cos∠OBC= ，求得 BH 的长，再根据 AC=AB
－2BH 即可求得 AC 的长；
（2）由题意可知△OBC 是等边三角形，由此即可求出弧 OC 的长，即点 O 在此过程中运动的路径长.
【详解】（1）如图，作 OH⊥AB 于 H，10
（2）∵AC=60，∴BC=60 ，
∵OC=OB=60，
∴OC=OB=BC=60 ，
∴△OBC 是等边三角形，
∴ 的长= =2 =62.8，
∴点 O 在此过程中运动的路径长约为 62.8cm.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、弧长公式等，
结合题意正确画出图形是解题的关键.
13．问题呈现
如图 1，在边长为 1 的正方形网格中，连接格点 、 和 、 ， 与 相交于点 ，求 的值.
方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形.观察发现问题中 不在直
角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题.比如连接格点 、 ，可得 ，则
，连接 ，那么 就变换到中 .11
问题解决
（1）直接写出图 1 中 的值为_________；
（2）如图 2，在边长为 1 的正方形网格中， 与 相交于点 ，求 的值；
思维拓展
（3）如图 3， ， ，点 在 上，且 ，延长 到 ，使 ，连接 交 的
延长线于点 ，用上述方法构造网格求 的度数.
【来源】江苏省扬州市 2018 年中考数学试题
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
详解：
（1）如图进行构造
由勾股定理得：DM= ，MN= ,DN=
∵( )2+( )2=( )2
∴DM2+MN2=DN2
∴△DMN 是直角三角形.
∵MN∥EC
∴∠CPN=∠DNM,12
∵tan∠DNM= ,
∴ =2.
点睛：本题考查了非直角三角形中锐角三角函数值的求法. 求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出
（或构造出）一个直角三角形是解题的关键.
14．如图，为了测量建筑物 的高度，在 处树立标杆 ，标杆的高是 .在 上选取观测点 、 ，从
测得标杆和建筑物的顶部 、 的仰角分别为 、 ，从 测得 、 的仰角分别为 、 .求建筑物
的高度（精确到 ） .
（参考数据： ， ， .）
【来源】江苏省南京市 2018 年中考数学试卷
【答案】建筑物 的高度约为 .
【解析】分析：在 中,用三角函数表示 DE 的长度, 在 中，用三角函数表示出 DF 的长度,从
而得到 ,同理得 ,建立等量关系,求出即可.
详解：
在 中， ，13
点睛：此题主要考查了仰角与俯角问题，根构造两个直角三角形求解．考查了学生读图构造关系的能力.
15．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高 是 米，坡面 的倾斜角 ，在距
点 米处有一建筑物 .为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面 的倾斜角
，若新坡面下 处与建筑物之间需留下至少 米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最
后结果保留一位小数）.
（参考数据： ， ）
【来源】贵州省安顺市 2018 年中考数学试题
【答案】该建筑物需要拆除.
【解析】分析：根据正切的定义分别求出 AB、DB 的长，结合图形求出 DH，比较即可．
详解：由题意得， 米， 米，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，14
∴ ，
∴ （米），
∵ 米 米，
∴该建筑物需要拆除.
点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、熟记特殊角的三角函
数值是解题的关键．
16．随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起.高铁大大缩短了时空距离，
改变了人们的出行方式.如图， ， 两地被大山阻隔，由 地到 地需要绕行 地，若打通穿山隧道，建成 ，
两地的直达高铁，可以缩短从 地到 地的路程.已知： ， ， 公里，求隧道
打通后与打通前相比，从 地到 地的路程将约缩短多少公里？（参考数据： ， ）
【来源】2018 年甘肃省武威市（凉州区）中考数学试题
【答案】隧道打通后与打通前相比，从 A 地到 B 地的路程将约缩短 224 公里．
答：隧道打通后与打通前相比，从 A 地到 B 地的路程将约缩短 224 公里．15
【点评】考查解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键.
17．如图,两座建筑物的水平距离 为 .从 点测得 点的仰角 为 53° ,从 点测得 点的俯角 为 37° ,
求两座建筑物的高度(参考数据:
【来源】山东省德州市 2018 年中考数学试题
【答案】建筑物 的高度为 .建筑物 的高度为 .
【解析】分析：过点 D 作 DE⊥AB 于于 E，则 DE=BC=60m．在 Rt△ABC 中，求出 AB．在 Rt△ADE 中求出 AE 即
可解决问题．16
点睛：本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解
答此题的关键．
18．如图 1，滑动调节式遮阳伞的立柱 垂直于地面 ， 为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为
， 为 中点， ， ， ， .当点 位于初始位置 时，点 与 重合
（图 2）.根据生活经验，当太阳光线与 垂直时，遮阳效果最佳.
（1）上午 10:00 时，太阳光线与地面的夹角为 （图 3），为使遮阳效果最佳，点 需从 上调多少距离？
（结果精确到 ）
（2）中午 12:00 时，太阳光线与地面垂直（图 4），为使遮阳效果最佳，点 在（1）的基础上还需上调多少
距离？（结果精确到 ）
（参考数据： ， ， ， ， ）
【来源】2018 年浙江省舟山市中考数学试题
【答案】（1）点 需从 上调 ；（2）点 在（1）的基础上还需上调 .
【解答】（1）如图 2，当点 位于初始位置 时， .
如图 3，10:00 时，太阳光线与地面的夹角为 ，点 上调至 处，
， ，∴ ，
∴ .
∵ ，∴ .17
∵ ，∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，∴ ，
∴ ，
即点 需从 上调 .
【点评】考查等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练运用三角函数是解题的关键.可以数形结合.18
19．为了测量竖直旗杆 AB 的高度，某综合实践小组在地面 D 处竖直放置标杆 CD，并在地面上水平放置个平
面镜 E，使得 B，E，D 在同一水平线上，如图所示.该小组在标杆的 F 处通过平面镜 E 恰好观测到旗杆顶 A(此
时∠AEB=∠FED).在 F 处测得旗杆顶 A 的仰角为 39.3°，平面镜 E 的俯角为 45°，FD=1.8 米，问旗杆 AB 的
高度约为多少米? (结果保留整数)(参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02)
【来源】安徽省 2018 年中考数学试题
【答案】旗杆 AB 高约 18 米.
答：旗杆 AB 高约 18 米.19
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，得到 是解题的关键.
20．“五•一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头 A 处小明接到小陈发来的定位，发现小陈
家 C 在自己的北偏东 45°方向，于是沿河边笔直的绿道 l 步行 200 米到达 B 处，这时定位显示小陈家 C 在
自己的北偏东 30°方向，如图所示，根据以上信息和下面的对话，请你帮小明算一算他还需沿绿道继续直
走多少米才能到达桥头 D 处（精确到 1 米）（备用数据： ≈1.414， ≈1.732）
【来源】浙江省衢州市 2018 年中考数学试卷
【答案】小明还需沿绿道继续直走 73 米才能到达桥头 D 处．
【解析】分析：根据题意表示出 AD，DC 的长，进而得出等式求出答案．
详解：如图所示：
答：小明还需沿绿道继续直走 73 米才能到达桥头 D 处．20
点睛：本题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出 AD=DC 是解题的关键．
21．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离 为 ，从甲的顶部 处测得乙的顶部 处的俯角为 ，测得底
部 处的俯角为 ，求甲、乙建筑物的高度 和 （结果取整数）.参考数据： ， .
【来源】天津市 2018 年中考数学试题
【答案】甲建筑物的高度 约为 ，乙建筑物的高度 约为 .
【解析】分析：首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边构
造关系式，进而可求出答案．
详解：如图，过点 作 ，垂足为 .
在 中， ，
∴ .21
∴ .
∴ .
答：甲建筑物的高度 约为 ，乙建筑物的高度 约为 .
点睛：本题考查解直角三角形的应用--仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数
的定义解题，难度一般．
22．如图 1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接.图 3 是图 2 中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨 安装在窗
框上，托悬臂 安装在窗扇上，交点 处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点 ， ， 始终在一直线上，延
长 交 于点 .已知 ， ， .
（1）窗扇完全打开，张角 ，求此时窗扇与窗框的夹角 的度数.
（2）窗扇部分打开，张角 ，求此时点 ， 之间的距离（精确到 ）.
（参考数据： ， ）
【来源】2018 年浙江省绍兴市中考数学试卷解析
【答案】（1） ；（2） .
【解答】（1）∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ .
（2）如图，过点 作 于点 ，
∵ ，22
【点评】考查平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质，解直角三角形等，注意辅助线的作法.
23．如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼 高达 ，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的
第二高楼 高 ，为了测量高楼 上发射塔 的高度，在楼 底端 点测得 的仰角为 α， ，
在顶端 E 测得 A 的仰角为 ，求发射塔 的高度.
【来源】湖南省娄底市 2018 年中考数学试题
【答案】AB 的高度为 28 米
【解析】【分析】设 AB 的高度为 x 米，过点 E 作 EF⊥AC 于 F，则 FC＝DE＝340 米，继而可得 BF＝112 米，
从而可得 AF＝（112+x）米，在 Rt△AEF 中，根据等腰直角三角形的性质可得 EF＝AF＝CD＝（112+x）米，
Rt△ACD 中，由 sinａ= ，可得 tanａ= ，再由 tanａ＝ 得到关于 x 的方程，解方程即可求得 AB 的长.23
答：发射塔 AB 的高度是 28 米..
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中整理出直角三角形并正确的利用边
角关系求解．
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