专题集训11 直角三角形探究
一、选择题
1．在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6.若P在直线AC上(不与点A，C重合)，且∠ABP＝30°，CP的长不可能的是( C )
A．2 B．4 C．8 D．6
【解析】①当∠C＝60°时，∠ABC＝30°，如图①，与∠ABP＝30°矛盾；②当∠C＝60°，如图②，∵∠ABP＝30°，∴∠CBP＝60°，∴CP＝BC＝6；③当∠ABC＝60°时，∠C＝30°，如图③，∵∠ABP＝30°，∴∠C＝∠ABP＝30°，∴PC＝PB，∵BC＝6，∴AB＝3，∴PC＝PB＝＝＝2；④当∠ABC＝60°时，∠C＝30°，如图④，∵∠ABP＝30°，∴∠PBC＝90°，∴PC＝BC÷cos30°＝4.故不能为8，选C.
二、填空题
2．在某海防观测站的正东方向12海里处有A，B两艘船相遇，然后A船以每小时12海里的速度往南航行，B船以每小时3海里的速度向北漂流．则经过__2__小时后，观测站及A，B两船恰成一个直角三角形．
3．在△ABC中，AB＝6，BC＝2，∠ABC＝60°，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，且∠ABD＝90°，连结CD，则线段CD的长为__2或2__．
【解析】依题作图，过C作CM⊥AB于M，CN⊥BD于
N．由于D可能有两种情况，反映到图中即求CD1和CD2的长，易知四边形CMBN为矩形，而∠ABC＝60°，AB＝6，BC＝2，∴BM＝NC＝，MC＝BN＝3，BD2＝AB＝6，∴N恰为BD2中点，△CNB≌△CND2.∴CB＝CD2＝2，又D1N＝6＋3＝9，∴CD1＝＝
4
＝2.
4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4 cm，CD＝1 cm，若动点E以1 cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，至A点结束，设E点的运动时间为t秒，连结DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为__或或或7__秒．
【解析】①如图，当DE1⊥CB时，满足条件．∵AC⊥CB，又AC＝CB＝4，CD＝1，∴BD＝3，即得DE1＝3，∴BE1＝3，∴AE1＝AB－E1B＝4－3＝，∴t＝＝秒；②当DE2⊥AB时，满足条件．此时，BD＝，DE2＝E2B＝，AE2＝AB－E2B＝4－＝，t＝秒；③返回到E2时，t＝＝4＋＝秒；④返回到E1时，t＝＝2AB－AE1＝8－＝7秒．
三、解答题
5．如图，在平面直角坐标系中，点C(0，4)，射线CE∥x轴，直线y＝－x＋b交线段OC于点B，交x轴于点A，D是射线CE上一点．若存在点D，使得△ABD恰为等腰直角三角形，求b的值．
解：分三种情况讨论：①当∠ABD＝90°时，如图1，b＝；②当∠ADB＝90°时，如图2，b＝；③当∠DAB＝90°时，如图3，b＝2
4
6．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋(k－1)x－k与直线y＝kx＋1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
(1)如图1，当k＝1时，求A，B两点的坐标；
(2)如图2，抛物线y＝x2＋(k－1)x－k(k＞0)与x轴交于点C，D两点(点C在点D的左侧)，在直线y＝kx＋1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)A(－1，0)，B(2，3)
(2)设直线AB：y＝kx＋1与x轴，y轴分别交于点E，F，则E(－，0)，F(0，1)，OE＝，OF＝1.在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF＝＝.令y＝x2＋(k－1)x－k＝0，得：x＝－k或x＝1.∴C(－k，0)，OC＝k.
①假设存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，
如图，则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，此时∠OQC＝90°.设点N为OC中点，连结NQ，则NQ⊥EF，NQ＝CN＝ON＝.∴EN＝OE－ON＝－.∵∠NEQ＝∠FEO，∠EQN＝∠EOF＝90°，∴△EQN∽△EOF，∴＝，即：＝，解得：k＝±，∵k>0，∴k＝.∴存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，此时k＝.②若直线AB过点C时，此时直线与圆的交点只有另一点Q点，故亦存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，将C(－k，0)代入y＝kx＋1中，可得k＝1，k＝－1(舍去)，故亦存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，此时k＝1.综上所述，k＝
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或1时，存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°
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