专题集训13 特殊四边形探究
一、选择题
1．抛物线y＝x2＋x－2与x轴交于A，B两点，A点在B点左侧，与y轴交于点C，若点E在x轴上，点P在抛物线上，且以A，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点E有( D )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AB＝AD＝BO＝4，OC＝8，点P从B点出发，沿四边形ABCD的边BA→AD→DC以每分钟一个单位长度的速度匀速运动，若运动的时间为t，△POD的面积为S，则S与t的函数图象大致为( D )
【解析】当P在AB上时，△POD中，将OD看作底边．AB∥OD，故高不变，S△POD不变；当P在AD上时，P逐渐靠近D，将PD看作底边，S△POD逐渐减小；同理P在DC上时，S△POD逐渐增大，当t＝16时，P与C重合，S△POD＝8.故选D.
二、填空题
3．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4.点E在边AB上，点F在边CD上，点G，H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长为__5__．
【解析】如图，在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝4，所以AC＝4.由cos∠BAC＝＝，得＝，所以AE＝5.
4．已知平行四边形ABCD的顶点A在第三象限，对角线AC的中点在坐标原点，一边AB与x轴平行且AB＝2，若点A的坐标为(a，b)，则点D的坐标为__(－2－a，－b)(2－a，－
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b)__．
【解析】如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝2，∵A的坐标为(a，b)，AB与x轴平行，∴B(2＋a，b)，∵点D与点B关于原点对称，∴D(－2－a，－b)，如图2，∵B(a－2，b)，∵点D与点B关于原点对称，∴D(2－a，－b)，综上所述：D(－2－a，－b)或(2－a，－b)．
三、解答题
5．点A，C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA，BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，求该菱形的边长．
解：过B作直径，连结AC交AO于E，∵点B为的中点，∴BD⊥AC，①如图①，∵点D恰在该圆直径的三等分点上，∴BD＝×2×3＝2，∴OD＝OB－BD＝1，∵四边形ABCD是菱形，∴DE＝BD＝1，∴OE＝2，连结OC，∵CE＝＝，∴CD＝＝；②如图②，BD＝×2×3＝4，同理可得，OD＝1，OE＝1，DE＝2，连结OC，∵CE＝＝2，∴CD＝＝2
6．如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB.
(1)点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标；
(2)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)连结AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，∵A(2，－3)，C(0，－3)，∴AF∥x
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轴，∴F(－1，－3)，∴BF＝3，AF＝3，∴∠BAC＝45°，设D(0，m)，则OD＝|m|，∵∠BDO＝∠BAC，∴∠BDO＝45°，∴OD＝OB＝1，∴|m|＝1，∴m＝±1，∴D的坐标为(0，1)或(0，－1)
(2)设M(a，a2－2a－3)，N(1，n)，①以AB为边，则AB∥MN，AB＝MN，如图2，过M作ME⊥对称轴于E，AF⊥x轴于F，则△ABF≌△NME，∴NE＝AF＝3，ME＝BF＝3，∴|a－1|＝3，∴a＝4或a＝－2，∴M(4，5)或(－2，5)；②以AB为对角线，BN＝AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，∴M(0，－3)，所以存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M的坐标为(4，5)或(－2，5)或(0，－3)
7．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，BD＝24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE.点F是对角线BD上一动点(点F不与点B重合)，将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连结FM.
(1)求AO的长；
(2)如图2，当点F在线段BO上，且点M、F、C三点在同一条直线上时，求证：AC＝AM；
(3)连结EM，若△AEM的面积为40，求△AFM的周长．
解：(1)四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD，∵BD＝24，∴OB＝12，在Rt△OAB中，∵AB＝13，∴OA＝＝＝5 (2)∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴FA＝FC，∠FAC＝∠FCA，由已知，AF＝AM，∠MAF＝60°，∴△ADM为等边三角形，∴∠M＝∠AFM＝60°，∵点M，F，C三点在同一条直线上，∴∠FAC＋∠FCA＝∠AFM＝60°，∴∠FAC＝∠FCA＝30°，∴∠MAC＝∠MAF＋∠FAC＝60°＋30°＝90°，在Rt△ACM中，∵tanM＝tan60°＝，∴AC＝AM (3)如图，连结EM，
∵△ABE是等边三角形，∴AE＝AB，∠EAB＝60°，由(2)知，△AFM为等边三角形，∴
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AM＝AF，∠MAF＝60°，∴∠EAM＝∠BAF，在△AEM和△ABF中， ∴△AEM≌△ABF(SAS)，∵△AEM的面积为40，△ABF的高为AO＝5，∴BF·AO＝40，∴BF＝16，∵OB＝12，∴FO＝BF－OB＝16－12＝4，∴AF＝＝＝，∴△AFM的周长为3
8．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点P(n，2)，与x轴交于点A(－4，0)，与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．
解：(1)∵AC＝BC，CO⊥AB，A(－4，0)，∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4，∴P(4，2)，B(4，0)，解得∴一次函数解析式为y＝x＋1，将P(4，2)代入反比例函数解析式得m＝8，即反比例解析式为y＝
(2)假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形．如图，连结CD与PB交于E，∵四边形BCPD为菱形，PB⊥x轴，∴CE＝DE＝4，CD⊥PB，∴CD＝8，CD∥x轴，又由一次函数解析式y＝x＋1得C(0，1)，∴D点坐标(8，1)，将D点坐标代入反比例函数解析式得，左边＝右边，∴反比例函数上存在D(8，1)，使四边形BCPD为菱形
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