专题集训6 最值问题
一、选择题
1．如图，⊙O的半径为1，点O到直线m的距离为2，点P是直线m上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是( B )
A．1 B. C．2 D.
,第1题图) ,第2题图)
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP＋EP最小值的是( B )
A．BC B．CE C．AD D．AC
【解析】在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，可得点B和点C关于直线AD对称，连结CE，交AD于点P，此时BP＋EP最小，为CE的长，故选B.
二、填空题
3．如图，将直线y＝－x沿y轴向下平移后的直线恰好经过点A(2，－4)，且与y轴交于点B，在x轴上存在一点P使得PA＋PB的值最小，则点P的坐标为__(，0)__．
【解析】如图，作点B关于x轴对称的点B′，连结AB′，交x轴于P，则点P即为所求，设直线y＝－x沿y轴向下平移后的直线解析式为y＝－x＋a，把A(2，－4)代入可得，a＝－2，∴平移后的直线为y＝－x－2，令x＝0，则y＝－2，即B(0，－2)∴B′(0，2)，设直线AB′的解析式为y＝kx＋b，把A(2，－4)，B′(0，2)代入可得，解得∴直线AB′的解析式为y＝－3x＋2，令y＝0，则x＝，∴P(，0)．
,第3题图) ,第4题图)
3
4．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为(－1，0)，半径为1，点P为直线y＝－x＋3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是__2__．
三、解答题
5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c过A，B，C三点，点A的坐标是(3，0)，点C的坐标是(0，－3)，动点P在抛物线上．
(1)b ＝__－2__，c ＝__－3__；
(2)过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连结EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
解：
(2)连结OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD＝EF.根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．由(1)可知，在Rt△AOC中，∵OC＝OA＝3，OD⊥AC，∴ D是AC的中点．又∵DF∥OC，∴DF＝OC＝.∴点P的纵坐标是－.则x2－2x－3＝－， 解得x＝.∴当EF最短时，点P的坐标是：(，－)或(，－)
6．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3 cm，AD＝5 cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ.过点E作EF∥AB交PQ于F，连结BF.
(1)求证：四边形BFEP为菱形；
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(2)当E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随着移动．
①当点Q与点C重合时(如图2)，求菱形BFEP的边长；
②若限定P，Q分别在BA，BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．
解：(1)∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，∴点B与点E关于PQ对称，∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，又∵EF∥AB，∴∠BPF＝∠EFP，∴EP＝EF，∴BP＝BF＝FE＝EP，∴四边形BFEP为菱形
(2)①如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝5 cm，CD＝AB＝3 cm，∠A＝∠D＝90°.∵点B与点E关于PQ对称，∴CE＝BC＝5 cm，在Rt△CDE中，DE2＝CE2－CD2，∴DE＝4 cm，∴AE＝AD－DE＝5 cm－4 cm＝1 cm，在Rt△APE中，AE＝1，AP＝3－PB＝3－PE，∴EP2＝12＋(3－EP)2，解得：EP＝ cm.∴菱形BFEP的边长为 cm；
②当点Q与点C重合时，如图2，点E离A点最近，由①知，此时AE＝1 cm；当点P与点A重合时，如图3，点E离A点最远，此时，四边形ABQE是正方形，AE＝AB＝3 cm，∴点E在边AD上移动的最大距离为2 cm
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