专题集训4 新定义问题
一、选择题
1．如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y＝x2＋1，则原抛物线的解析式不可能的是( B )
A．y＝x2－1 B．y＝x2＋6x＋5
C．y＝x2＋4x＋4 D．y＝x2＋8x＋17
【解析】将y＝x2＋1反向平移推理两次后，将方程配方成y＝(x＋a)2＋b的形式，而b只可能为1或0或－1.A，C，D均满足，而B变形后为y＝(x＋3)2－4，不符合．
2．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a.如：min{1，－3}＝－3，min{－4，－2}＝－4.则min{－x2＋1，－x}的最大值是( A )
A. B. C．1 D．0
3．对平面上任意一点(a，b)，定义f，g两种变换：f(a，b)＝(a，－b)．如f(1，2)＝(1，－2)；g(a，b)＝(b，a)．如g(1，2)＝(2，1)．据此得g(f(5，－9))＝( D )
A．(5，－9) B．(－9，－5) C．(5，9) D．(9，5)
二、填空题
4．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为__30°__．
5．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为__113°或92°__．
【解析】∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD＝∠A＝46°，∵△ACD是等腰三角形，∠ADC>∠BCD，∴∠ADC>∠A，即AC≠CD，①当AC＝AD时，∠ACD＝∠ADC＝(180°－46°)＝67°，∴∠ACB＝67°＋46°＝113°，②当DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝46°，∴∠ACB＝46°＋46°＝92°.
三、解答题
6．对于平面直角坐标系中任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，称|x1－x2|＋|y1－y2|为P1，P2两点的直角距离，记作：d(P1，P2)．若P0(x0，y0)是一定点，Q(x，y)是直线y＝kx＋
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b上的一动点，称d(P0，Q)的最小值为P0到直线y＝kx＋b的直角距离．令P0(2，－3)，O为坐标原点．
(1)求d(O，P0)；
(2)若P(a，－3)到直线y＝x＋1的直角距离为6，求a.
解：(1)∵P0(2，－3)，O为坐标原点，∴d(O，P0)＝|0－2|＋|0－(－3)|＝5 (2)∵P(a，－3)到直线y＝x＋1的直角距离为6，∴设直线y＝x＋1上一点Q(x，x＋1)，则d(P，Q)＝6，∴|a－x|＋|－3－x－1|＝6，即|a－x|＋|x＋4|＝6，当a－x≥0，x≥－4时，原式＝a－x＋x＋4＝6，解得a＝2；当a－x＜0，x＜－4时，原式＝x－a－x－4＝6，解得a＝－10.综上所述，a＝2或－10
7．若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1＝－2x2＋4x＋2与C2：y2＝－x2＋mx＋n为“友好抛物线”．
(1)求抛物线C2的解析式；
(2)点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ＋OQ的最大值．
(3)设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为(－1，4)，问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在求出点M的坐标，不存在说明理由．
解：(1)∵y1＝－2x2＋4x＋2＝－2(x－1)2＋4，∴抛物线C1的顶点坐标为(1，4)．∵抛物线C1与C2顶点相同，∴＝1，－1＋m＋n＝4，解得m＝2，n＝3，∴抛物线C2的解析式为y2＝－x2＋2x＋3
(2)如图1，设点A的坐标为(a，－a2＋2a＋3)．∵AQ＝－a2＋2a＋3，OQ＝a，∴AQ＋OQ＝－a2＋2a＋3＋a＝－a2＋3a＋3＝－(a－)2＋.∴当a＝时，AQ＋OQ有最大值，最大值为
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(3)如图2，连结BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D.∵B(－1，4)，C(1，4)，抛物线的对称轴为x＝1，∴BC⊥CM，BC＝2.∵∠BMB′＝90°，∴∠BMC＋∠B′MD＝90°.∵B′D⊥MC，∴∠MB′D＋∠B′MD＝90°.∴∠MB′D＝∠BMC.在△BCM和△MDB′中， ∴△BCM≌△MDB′.∴BC＝MD，CM＝B′D.设点M的坐标为(1，a)．则B′D＝CM＝4－a，MD＝CB＝2.∴点B′的坐标为(a－3，a－2)．∴－(a－3)2＋2(a－3)＋3＝a－2.整理得a2－7a－10＝0.解得a＝2或a＝5.当a＝2时，M的坐标为(1，2)，当a＝5时，M的坐标为(1，5)．综上所述，当点M的坐标为(1，2)或(1，5)时，B′恰好落在抛物线C2上
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