专题集训9 几何问题探究
一、选择题
1．如图，线段AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠AOC＝80°，点P是线段AB延长线上的一动点，连结PC，则∠APC的度数不可能的是( A )
A．40° B．30° C．20° D．15°
【解析】∠APC＝∠CBO－∠BCP，而∠CBO＝40°，故∠APC＜40°.
,第1题图) ,第2题图)
2．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连结DF，则下列结论中错误的是( D )
A．△AEF∽△CAB B．CF＝2AF
C．DF＝DC D．tan∠CAD＝
【解析】AE＝ED＝AD，△FEA∽△FBC，由相似成比例知＝＝，∴CF＝2AF，B正确．又AC⊥BE，∴△AEF～△CAB，A正确．连结EC，∵E为AD中点，∴EB＝EC，△EBC为等腰三角形，∴∠ECD＝∠EBA，∠ECB＝∠EBC＝∠AEF＝∠ACD，又△CFB∽△CBA∽△BFA，∴＝＝＝，而BE＝EC，AB＝DC，∴＝，∴△FDC∽△BEC，∴DF＝DC，C正确．
二、填空题
3．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连结OA，OB.点P是半径OB上任意一点，连结AP.若OA＝5 cm，OC＝3 cm，则AP的长度可能是__6__cm.(写出一个符合条件的数值即可)
,第3题图) ,第4题图)
4．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM，PN分别与OA，OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ(0°＜θ＜90°)，PM，PN分别交AB，BC于E、F两点，连结EF交OB于点G，则下列结论中正确的是__(1)，(2)，(3)__．
(1)EF＝OE；(2)S四边形OEBF∶S正方形ABCD＝1∶4；(3)BE＋BF＝OA；(4)在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝.
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【解析】(1)由四边形ABCD是正方形，直角∠MPN，易证得△BOE≌△COF(ASA)，则可证得结论；
(2)由(1)易证得S四边形OEBF＝S△BOC＝S正方形ABCD，则可证得结论；(3)由BE＝CF，可得BE＋BF＝BC，然后由等腰直角三角形的性质，证得BE＋BF＝OA；(4)首先设AE＝x，则BE＝CF＝1－x，BF＝x，继而表示出△BEF与△COF的面积之和，然后利用二次函数的最值问题，求得答案；故答案为：(1)，(2)，(3)．
三、解答题
5. 如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF.
(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是__EH＝FH__，并证明．
(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．
解：(1)添加：EH＝FH，证明：∵点H是BC的中点，∴BH＝CH，在△BEH和△CFH中，∴△BEH≌△CFH(SAS)
(2)∵BH＝CH，EH＝FH，∴四边形BFCE是平行四边形，∵当BH＝EH时，则BC＝EF，∴平行四边形BFCE为矩形
6．在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点(与点B，C不重合)，连结AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.
(1)若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小(用含α的式子表示)；
(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．
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解：(1) ∠AMQ＝45°＋α.理由如下：∵∠PAC＝α，△ACB是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝∠B＝45°，∠PAB＝45°－α，又∵QH⊥AP，∠AHM＝90°，∴∠AMQ＝180°－∠AHM－∠PAB＝45°＋α
(2)线段MB与PQ之间的数量关系：PQ＝MB.理由如下：连结AQ，过点M做ME⊥QB，∵AC⊥QP，CQ＝CP, ∴∠QAC＝∠PAC＝α，∴∠QAM＝α＋45°＝∠AMQ, ∴AP＝AQ＝QM，在Rt△APC和Rt△QME中，∴Rt△APC≌Rt△QME(AAS), ∴PC＝ME, ∴△MEB是等腰直角三角形，∴PQ＝MB，∴PQ＝MB
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