专题集训1 实验操作类问题
一、选择题
1．如图所示，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是(A)
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
2．七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是小明用如图所示的七巧板拼成的，则不是小明拼成的那幅图是( C )
二、填空题
3．两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F.已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，AB＝8 cm，则CF＝__2__cm.
【解析】∵将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，∴DC＝AC，∠D＝∠CAB，∴∠D＝∠DAC，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，∴∠D＝∠CAB＝60°，∴∠DCA＝60°，∴∠ACF＝30°，可得∠AFC＝90°，∵AB＝8 cm，∴AC＝4 cm，∴FC＝4cos30°＝2(cm)．
4．将两个斜边长相等的一副三角板如图1放置，其中∠ACB＝∠CED＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°.把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图2，连结D1B，则∠E1D1B的度数为__15°__．
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【解析】设AB交CD1于点O，由于旋转角为15°，由已知条件知∠BCE1＝15°，∴∠BCD1＝∠D1CE1－∠BCE1＝45°.易得D1C⊥AB且O为AB中点，由△ABC与△CDE斜边相等，即AB＝CD＝CD1，∴AB与CD1相互垂直平分，易知OD1＝OB，∴∠OD1B＝45°，∠E1D1B＝∠OD1B－∠CD1E1＝45°－30°＝15°.
三、解答题
5．如图，一张三角形纸片ABC，其中∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.现小林将纸片做三次折叠：第一次使点A落在C处；将纸片展平做第二次折叠，使点B落在C处；再将纸片展平做第三次折叠，使点A落在B处．这三次折叠的折痕长依次记为a，b，c，求a∶b∶c.
解：第一次折叠如图1，折痕为DE，由折叠得：AE＝EC＝AC＝×4＝2，DE⊥AC.∵∠ACB＝90°，∴DE∥BC，∴a＝DE＝BC＝×3＝；第二次折叠如图2，折痕为MN，由折叠得：BN＝NC＝BC＝×3＝，MN⊥BC，∵∠ACB＝90°，∴MN∥AC，∴b＝MN＝AC＝×4＝2；第三次折叠如图3，折痕为GH，由勾股定理得：AB＝＝5，由折叠得：AG＝BG＝AB＝×5＝，GH⊥AB，∴∠AGH＝90°∵∠A＝∠A，∠AGH＝∠ACB∴△ACB∽△AGH，∴＝，∴＝，∴GH＝，即c＝，a∶b∶c＝12∶16∶15
6．如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上(不与点A，B重合)，点F在BC边上(不与点B，C重合)．
第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；
第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；
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依此操作下去……
(1)图2中的三角形EFD是经过两次操作后得到的，其形状为__等边三角形__，求此时线段EF的长；
(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH.
①请判断四边形EFGH的形状为__正方形__，此时AE与BF的数量关系是__AE＝BF__．
②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围．
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝BC＝AB，∠A＝∠B＝∠C＝90°.∵ED＝FD，∴△ADE≌△CDF(HL)，∴AE＝CF，BE＝BF.∴△BEF是等腰直角三角形．设BE的长为x，则EF＝x，AE＝4－x，∵在Rt△AED中，AE2＋AD2＝DE2，DE＝EF，∴(4－x)2＋42＝(x)2，解得x1＝－4＋4，x2＝－4－4(不合题意，舍去)，∴EF＝x＝(－4＋4)＝－4＋4 (2)②∵AE＝x，∴BE＝4－x.∵在Rt△BEF中，EF2＝BF2＋BE2，AE＝BF，∴y＝EF2＝(4－x)2＋x2＝2x2－8x＋16，∵点E不与点A，B重合，点F不与点B，C重合，∴0＜x＜4.∵y＝2x2－8x＋16＝2(x－2)2＋8，∴当x＝2时y有最小值8，当x＝0或4时，有最大值16，∴y的取值范围是8≤y＜16
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