专题集训3 规律探究问题
一、选择题
1．一列单项式：－x2，3x3，－5x4，7x5，…，按此规律排列，则第7个单项式为( D )
A．9x7 B．－9x7 C．13x8 D．－13x8
【解析】奇数项为负，偶数项为正；第n项中x的指数为n＋1；第n项系数为2n－1(不考虑符号)．由此可得第7项为－13x8.
2．观察下列图形，它是把一个三角形分别连结这个三角形的中点，构成4个小三角形，挖去中间的小三角形(如图1)；对剩下的三角形再分别重复以上做法，将这种做法继续下去(如图2，图3……)，则图6中挖去三角形的个数为( C )
A．121 B．362 C．364 D．729
【解析】①图1，0×3＋1＝1；②图2，1×3＋1＝4；③图3，4×3＋1＝13；④图4，13×3＋1＝40，⑤图5，40×3＋1＝121；⑥图6，121×3＋1＝364.故选C.
3．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在( D )
A．第504个正方形的左下角
B．第504个正方形的右下角
C．第505个正方形的左上角
D．第505个正方形的右下角
【解析】∵2016÷4＝504，又∵由题目中给出的几个正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D.
二、填空题
4．下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如果第1个图形的周长为5，那么第2个图形的周长为__8__，第2017个图形的周长为__6053__．
【解析】∵第1个图形的周长为2＋3＝5，第2个图形的周长为2＋3×2＝8，第3个图形的周长为2＋3×3＝11，…，第2017个图形的周长为2＋3×2017＝6053.
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5．如图，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“”的个数为a1，第2幅图形中“”的个数为a2，第3幅图形中“”的个数为a3，…，以此类推，则＋＋＋…＋的值为____．
【解析】a1＝3＝1×3，a2＝8＝2×4，a3＝15＝3×5，a4＝24＝4×6，…，an＝n(n＋2)；∴＋＋＋…＋＝＋＋＋＋…＋＝(1－＋－＋－＋－＋…＋－)＝(1＋－－)＝.
三、解答题
6．现有一组有规律排列的数：1，－1，，－，，－，1，－1，，－，，－，……其中，1，－1，，－，，－这六个数按此规律重复出现．问：
(1)第50个数是什么数？
(2)把从第1个数开始的前2015个数相加，结果是多少？
(3)从第1个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为520，则共有多少个数的平方相加？
解：(1)∵50÷6＝8……2，∴第50个数是－1 (2)∵2015÷6＝335……5，1＋(－1)＋＋(－)＋＝，∴从第1个数开始的前2015个数的和是 (3)∵12＋(－1)2＋()2＋(－)2＋()2＋(－)2＝12，520÷12＝43……4且12＋(－1)2＋()2＝4 ∴43×6＋3＝261，即共有261个数的平方相加
7．在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点，若一个多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如图中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.
(1)求出图中格点四边形DEFG对应的S，N，L；
(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝N＋aL＋b，其中a，b为常数，若某格点多边形对应的N＝82，L＝38，求S的值．
解：(1)观察图形，可得S＝3，N＝1，L＝6
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(2)根据格点三角形ABC及格点四边形DEFG中的S，N，L的值可得，解得∴S＝N＋L－1，将N＝82，L＝38代入可得S＝82＋×38－1＝100
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