第
19
章
平面直角坐标系
本章总结提升
知识框架
整合提升
第
19
章
平面直角坐标系
本章总结提升
知识框架
平面上物体位置的确定
有序实数对
方位角和距离
经度和纬度
平面直角坐标系
平面直角坐标系中点的坐标的特征
图形变换与坐标的关系
平移变换
对称变换
缩放变换
整合提升
问题
1
平面上物体的位置
本章总结提升
在平面上确定物体的位置需要两个数据，而这两个数据可以采用不同的方法描述，那么确定物体位置有哪几种常用方法？都需要哪些数据呢？
本章总结提升
例
1
图
19
－
T
－
1
是游乐园的一角
.
（
1
）如果用（
3
，
2
）表示跳跳床的位置，那么跷跷板用数对
表示，碰碰车用数对
表示，摩天轮用数对
表示；
（
2
）请你在图中标出秋千的位置，
秋千在大门以东
400 m
，再往北
300 m
处（
1
个单位长度表示
100 m
）
.
图
19
－
T
－
1
本章总结提升
解：
(1)(2
，
4)
(5
，
1)
(5
，
4)
(2)
如图．
本章总结提升
【归纳总结】
确定平面直角坐标系中点的坐标的方法：
（
1
）通过已知完整的坐标系，进而确定未知点的坐标；
（
2
）通过图形的平移由已知点可以确定未知点的坐标
.
问题
2
坐标轴及原点对称的性质
本章总结提升
不同象限内或坐标轴上的点有一定的特点，我们根据它们的坐标能准确地确定点的位置
.
回忆一下，四个象限内的点有什么特点？两坐标轴上的点又有什么特点？关于坐标轴及原点对称的两点坐标又有何特点？
本章总结提升
例
2
如图
19
－
T
－
2
所示
.
（
1
）写出
△
ABC
三个顶点的坐标；
（
2
）作出
△
ABC
关于
x
轴对称的
△
A
1
B
1
C
1
，
并写出
△
A
1
B
1
C
1
三个顶点的坐标；
（
3
）作出△
ABC
关于
y
轴对称的
△
A
2
B
2
C
2
，
并写出
△
A
2
B
2
C
2
三个顶点的坐标；
（
4
）作出
△
ABC
关于原点对称的
△
A
3
B
3
C
3
，
并写出
△
A
3
B
3
C
3
三个顶点的坐标
.
图
19
－
T
－
2
本章总结提升
解：
(1)△ABC
三个顶点的坐标分别为
A(4
，
3)
，
B(3
，
1)
，
C(1
，
2)
．
(2)
图略，
A
1
的坐标为
(4
，－
3)
，
B
1
的坐标为
(3
，－
1)
，
C
1
的坐标为
(1
，－
2)
．
(3)
图略，
A
2
的坐标为
(
－
4
，
3)
，
B
2
的坐标为
(
－
3
，
1)
，
C
2
的坐标为
(
－
1
，
2)
．
(4)
图略，
A
3
的坐标为
(
－
4
，－
3)
，
B
3
的坐标为
(
－
3
，－
1)
，
C
3
的坐标为
(
－
1
，－
2)
．
【归纳总结】
关于坐标轴及原点对称的点坐标的求法：
对称方式
对称点坐标
已知点
P
（
a
，
b
）
关于
x
轴对称
（
a
，－
b
）
关于
y
轴对称
（－
a
，
b
）
关于原点对称
（－
a
，－
b
）
本章总结提升
问题
3
平面直角坐标系中图形与坐标的关系
本章总结提升
在实际生活中，经常需要建立适当的平面直角坐标系，通过坐标来描述某个图形的位置与形状
.
为了解决问题方便，对同一个图形建立的平面直角坐标系不同，点的坐标也不相同，那么建立平面直角坐标系常用的方法有哪些？
本章总结提升
例
3
如图
19
－
T
－
3
所示，在长方形
ABCD
中，已知
AD
＝
6
，
AB
＝
4
，等腰三角形
ADE
的腰长为
5
，建立适当的平面直角坐标系，写出各个顶点的坐标
.
图
19
－
T
－
3
本章总结提升
解：
答案不唯一，如可以以
AD
的中点为原点，
AD
所在的直线为
x
轴建立如图所示的平面直角坐标系．
在
Rt
△
AOE
中，
AE
＝
5
，
AO
＝
3
，根据勾股定理，得
OE
＝
4
，所以各个顶点的坐标分别为
A(
－
3
，
0)
，
B(
－
3
，－
4)
，
C(3
，－
4)
，
D(3
，
0)
，
E(0
，
4)
．
本章总结提升
【归纳总结】
建立适当的平面直角坐标系的常见作法：
（
1
）以图形的某个顶点为原点，以某条边所在的直线为
x
（
y
）轴；
（
2
）以图形某条边的中点为原点，这条边所在的直线为
x
（
y
）轴；
（
3
）如果图形是轴对称图形，以对应点连线的中点为原点，以对称轴为
y
（
x
）轴
.
问题
4
平面直角坐标中坐标与图形的变化
本章总结提升
平面直角坐标系中几何图形的位置可以依据确定的变化形式来确定
.
你能说出图形经过平移、对称、缩放之后，其坐标怎样变化吗？
本章总结提升
例
4
已知：如图
19
－
T
－
4
，△
ABC
三个顶点的坐标分别为
A
（
0
，
0
），
B
（
4
，－
2
），
C
（
5
，
3
）
.
图
19
－
T
－
4
本章总结提升
将三角形三个顶点的坐标作如下变化：
（
1
）横坐标不变，纵坐标变为原来的
2
倍，此时所得新三角形与原三角形相比有什么变化？
（
2
）横、纵坐标均乘－
1
，所得新三角形与原三角形相比有什么变化？
（
3
）在（
2
）的条件下，横坐标减去
2
，纵坐标加上
2
，所得新三角形与（
2
）中得到的三角形相比有什么变化？
本章总结提升
解：
(1)
横坐标保持不变，纵坐标变为原来的
2
倍，所得各顶点的坐标依次是
A
1
(0
，
0)
，
B
1
(4
，－
4)
，
C
1
(5
，
6)
，连接
A
1
B
1
，
A
1
C
1
，
B
1
C
1
，所得三角形
A
1
B
1
C
1
与原三角形相比纵向拉长为原来的
2
倍．
(2)
横、纵坐标均乘－
1
，所得各顶点坐标依次为
A
2
(0
，
0)
，
B
2
(
－
4
，
2)
，
C
2
(
－
5
，－
3)
，连接
A
2
B
2
，
A
2
C
2
，
B
2
C
2
，所得三角形
A
2
B
2
C
2
是由原三角形绕原点
O
旋转
180
°得到的．
(3)
横坐标减去
2
，纵坐标加上
2
，得各顶点坐标为
A
3
(
－
2
，
2)
，
B
3
(
－
6
，
4)
，
C
3
(
－
7
，－
1)
，连接
A
3
B
3
，
B
3
C
3
，
C
3
A
3
，所得三角形
A
3
B
3
C
3
是由
(2)
中得到的三角形先向左平移
2
个单位长度，再向上平移
2
个单位长度得到的．
本章总结提升
【归纳总结】
坐标与图形变化的规律：
图形变
化种类
图形变化方式
各顶点变化结果
平移
图形左或右平移几格
各顶点横坐标减或加几格
，
纵坐标不变
图形上或下平移几格
各顶点纵坐标加或减几格
，
横坐标不变
对称
图形关于
x
轴对称
各顶点横坐标不变
，
纵坐标互为相反数
图形关于
y
轴对称
各顶点横坐标互为相反数
，
纵坐标不变
图形关于原点对称
各顶点横、纵坐标都互为相反数
缩放
图形放大
图形各顶点横坐标和纵坐标都乘
k
图形缩小
图形各顶点横坐标和纵坐标都乘（
k
>1
）
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