第2课时 垂 直
知识要点基础练
知识点1 垂直的概念
1.如图,OA⊥OB,若∠1=35°,则∠2的度数是(C)
A.35° B.45°
C.55° D.70°
知识点2 垂直的性质
2.如图,已知ON⊥a,OM⊥a,可以推断出OM与ON重合的理由是(D)
A.两点确定一条直线
B.过一点只能作一条直线
C.垂线段最短
D.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
3.如图所示,离河岸不远处有一个村庄A,村民到河边取水,怎样走最近?画出图形,并说明理由.
解:如图,村民沿AB到河边取水路程最近.理由:垂线段最短.
知识点3 垂线段与点到直线的距离
4.点到直线的距离是指(D)
A.从直线外一点到这条直线的连线
B.从直线外一点到这条直线的垂线段
C.从直线外一点到这条直线的垂线的长
D.从直线外一点到这条直线的垂线段的长
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5.如图,AC⊥BC,C为垂足,CD⊥AB,D为垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC=6,那么点C到AB的距离是 4.8 ,点A到BC的距离是 6 ,点B到CD的距离是 6.4 .
综合能力提升练
6.下列图形中,线段AD的长表示点A到直线BC的距离的是(D)
7.直线l1,l2交于点O,点P在直线l1,l2外,分别画出点P到直线l1,l2的垂线段PM,PN.下列四个图形中正确的是(A)
8.如图,从位置P到直线公路MN共有四条小道,若用相同的速度行走,能最快到达公路MN的小道是(B)
A.PA
B.PB
C.PC
D.PD
9.如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,若AB=4 cm,AC=3 cm,BC=5 cm,则点A到BC的距离是(A)
A.2.4 cm B.3 cm C.4 cm D.4.8 cm
10.如图所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=a cm,BC=b cm,则BD的范围是(D)
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A.大于a cm
B.小于b cm
C.大于a cm或小于b cm
D.大于b cm且小于a cm
11.如图,已知直线AB和CD相交于点O,OE⊥AB,∠AOD=128°,则∠COE的度数为 38° .
12.如图,直线AB与CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF⊥OE于点O,∠AOC=62°,则∠COF的度数为 59° .
13.如图,平原上有A,B,C,D四个村庄,为解决当地的缺水问题,政府准备投资修建一个蓄水池.
(1)不考虑其他因素,请你画图确定蓄水池H点的位置,使它到四个村庄的距离之和最小;
(2)计划把河水引入蓄水池H中,怎样开渠最短并说明根据.
解:(1)∵两点之间线段最短,
∴连接AD,BC交于点H,则H为蓄水池的位置,它到四个村庄的距离之和最小.
(2)过点H作HG⊥EF,垂足为G,则GH即为所求.
依据:过直线外一点与直线上各点的连线中,垂线段最短.
14.如图,直线AB与CD相交于点O,OP是∠BOC的平分线,OE⊥AB,OF⊥CD.
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(1)图中除直角外,还有相等的角吗?请写出两对:① ∠COP=∠BOP ;② ∠AOD=∠BOC .
(2)如果∠AOD=40°,
①那么根据 对顶角相等 ,可得∠BOC= 40 °.
②因为OP是∠BOC的平分线,所以∠COP=12 ∠BOC = 20 °.
③求∠POF的度数.
解:(2)③∵OF⊥CD,∴∠COF=90°,∴∠POF=70°.
15.如图所示,直线AB,CD交于点O,OE⊥AB于点O,OF平分∠BOD,∠COE=60°,求∠EOF的度数.
解:因为OE⊥AB,所以∠AOE=∠BOE=90°,因为∠COE=60°,所以∠AOC=90°+60°=150°,∠BOC=90°-60°=30°,所以∠BOD=∠AOC=150°,因为OF平分∠BOD,所以∠BOF=12∠BOD=75°,所以∠EOF=∠BOE+∠BOF=90°+75°=165°.
拓展探究突破练
16.如图,直线AB,CD相交于点O,OM⊥AB.
(1)若∠1=∠2,试判断ON与直线CD的位置关系,并说明理由;
(2)若∠1=14∠BOC,求∠BOD的度数.
解:(1)ON⊥CD.
理由:因为OM⊥AB,所以∠1+∠AOC=90°,又因为∠1=∠2,所以∠2+∠AOC=90°,即∠CON=90°,所以ON⊥CD.
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(2)设∠BOC=x°,因为∠1=14∠BOC,所以∠1=14x°,因为∠BOC=∠1+∠BOM,所以x°=14x°+90°,解得x=120,即∠BOC=120°,所以∠BOD=180°-120°=60°.
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