第2课时 平行线的性质2,3
知识要点基础练
知识点1 两直线平行,内错角相等
1.如图,若a∥b,则下列选项中,能直接利用“两直线平行,内错角相等”判定∠1=∠2的是(B)
2.某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段,其中AB∥CD,∠EAB=45°,则∠FDC的度数是(B)
A.30° B.45°
C.60° D.75°
3.如图,一把矩形直尺沿直线断开并错位,点E,D,B,F在同一条直线上,若∠ADE=125°,则∠DBC的度数为 55° .
知识点2 两直线平行,同旁内角互补
4.如图,已知直线a,b被直线c所截.若a∥b,∠1=120°,则∠2的度数为(B)
A.50° B.60°
C.70° D.80°
5.吸管吸易拉罐内的饮料时,如图所示,若∠1=110°,则∠2= 70° .(易拉罐的上下底面互相平行)
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6.如图,已知AB∥CD,∠BAD∶∠DAC∶∠ACD=2∶3∶4,求∠C的度数.
解:因为AB∥CD,所以∠BAD+∠DAC+∠ACD=180°,
因为∠BAD∶∠DAC∶∠ACD=2∶3∶4,设∠BAD=2x,∠DAC=3x,∠ACD=4x,则2x+3x+4x=180°,解得x=20°,所以∠C=80°.
综合能力提升练
7.如图,已知∠1=∠2,∠3=71°,则∠4的度数是(C)
A.19° B.71°
C.109° D.119°
8.如图,a∥b,∠1=65°,∠2=140°,则∠3=(B)
A.100° B.105° C.110° D.115°
9.如图,直线a,b被直线c所截,下列说法正确的是(D)
A.当∠1=∠2时,一定有a∥b
B.当a∥b时,一定有∠1=∠2
C.当a∥b时,一定有∠1+∠2=90°
D.当∠1+∠2=180°时,一定有a∥b
10.如图,将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放,两个三角板的一直角边重合,含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合,含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上,则∠1的度数是(A)
A.15° B.20°
C.30° D.45°
11.如图,直线AB,CD被直线BC所截,若AB∥CD,∠1=45°,∠2=35°,则∠3= 80° .
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12.如图所示,C岛在A岛的北偏东50°方向上,C岛在B岛的北偏西40°方向上,则从C岛看A,B两岛的视角∠ACB等于 90° .
13.如图,∠1=∠2,DE⊥BC,AB⊥BC,那么∠A=∠3吗?请说明理由.(请为每一步推理注明依据)
结论:∠A与∠3相等.
理由如下:
因为DE⊥BC,AB⊥BC(已知),
所以∠DEC=∠ABC=90°( 垂直的定义 ),
所以DE∥AB( 同位角相等,两直线平行 ),
所以∠1=∠A( 两直线平行,同位角相等 ).
由DE∥AB还可得到∠2=∠3( 两直线平行,内错角相等 ).
又因为∠1=∠2(已知),
所以∠A=∠3(等量代换).
14.如图,已知AB∥CD,∠ABE=∠DCF,试说明∠E=∠F.
解:∵AB∥CD,∴∠ABC=∠BCD,
∵∠ABE=∠DCF,∴∠EBC=∠FCB,
∴BE∥CF,∴∠E=∠F.
15.如图一块余料ABCD,AD∥BC.现进行如下操作:以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交BA,BC于点G,H;再分别以点G,H为圆心,大于12GH的长为半径画弧,两弧在∠ABC内部相交于点O;画射线BO,交AD于点E.若∠A=100°,求∠EBC的度数.
解:∵AD∥BC,∴∠A+∠ABC=180°,
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∴∠ABC=80°,
由作法可知BE平分∠ABC,∴∠EBC=12∠ABC=40°.
拓展探究突破练
16.【探究猜想】已知AB∥CD,点E是AB,CD内部一点,如图1,连接EA,EC.猜想∠AEC,∠EAB,∠ECD之间的数量关系,并说明理由.
【类比探究】已知AB∥CD,点F是AB,CD内部一点,如图2,连接FA,FC.猜想∠AFC,∠FAB,∠FCD之间的数量关系,并说明理由.
【拓展应用】已知AB∥CD,直线EF与AB交于点E,与CD交于点F.①②是被这三条直线分割而成的六个区域中的两个(不含边界),点P是位于区域①②上的点,猜想∠EPF,∠PEB,∠PFD之间的数量关系,不用说明理由.
解:【探究猜想】∠AEC=∠EAB+∠ECD.
理由:如答图1,过点E作EM∥AB,
∴∠EAB=∠AEM,∵AB∥CD,∴EM∥CD,∴∠MEC=∠ECD,∴∠AEC=∠AEM+∠MEC=∠EAB+∠ECD.
图1
【类比探究】∠FAB+∠AFC+∠FCD=360°.
理由:如答图2,过点F作FN∥AB,
∴∠FAB+∠AFN=180°,∵AB∥CD,∴FN∥CD,∴∠NFC+∠FCD=180°,∴∠FAB+∠AFN+∠NFC+∠FCD=360°.∵∠AFC=∠AFN+∠NFC,∴∠FAB+∠AFC+∠FCD=360°.
图2
【拓展应用】点P位于区域①时,∠EPF=∠PFD-∠PEB;
点P位于区域②时,∠EPF=∠PFD-∠PEB.
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