专题08 三角形中的三角问题的探究
【自主热身，归纳总结】
1、在△ABC中，若9cos2A－4cos2B＝5，则的值为________．
【答案】：
【解析】：由题意得，9(1－2sin2A)－4(1－2sin2B)＝5，即9sin2A＝4sin2B，所以＝＝.
2、 在△中，已知边上的中线，则的值为 .
【答案】：
【解析】 设为的中点，连接，则，且,
设，在△中,由余弦定理可得，
即,解得（舍去），即，
所以在△中,由余弦定理可得，即，
又因为，
所以由正弦定理，可得
3、如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝120°，CD＝10 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________m.
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【答案】： 30
【解析】：在△BCD中，由正弦定理得BC＝·10＝10(m)．在Rt△ABC中，AB＝BCtan60°＝30(m)．
4、在△中，边的垂直平分线交边于，若，，,则△的面积为 .
【答案】：
【解析】 在△中，由余弦定理可得，
即，解得或5，
所以或12，所以△的面积为或.
5、在锐角△中，角的对边分别为，，，且,为的中点，则的长为 .
【答案】：
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（方法2）由正弦定理可得，
又由，可得， 又由锐角△，可得,
在△中, 由余弦定理可得,即，
，
所以在△中, 由余弦定理可得,
即.
6、在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若＋＝6cosC，则＋的值是________．
【答案】：. 4
【解析】：由＋＝6cosC及余弦定理，得＋＝6×，化简得a2＋b2＝c2.又＋＝6cosC及正弦定理，得＋＝6cosC，故sinAsinBcosC＝(sin2B＋sin2A)．又＋＝＝，所以＋＝＝＝4.
7、在△中, 角所对的边分别为，且满足,则的最大值为 ．
【答案】：.
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【解析】 由，得，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
化简得，
又因为，当且仅当时等号成立，可得，
所以的最大值为.
8、已知在△中，，， 为的中点，当最小时，△ 的面积为 .
（2）设的角所对的边分别为，若，，求面积的最大值.
解：（1）由题意，得，
当取最大值时，即，此时，
所以的取值集合为.
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【关联2】、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，．
（1）求的值；
（2）求函数的值域．
【解析】：（1）因为，所以．
由余弦定理得．
因为，所以．
（2）因为，所以，
所以．
因为，所以．
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因为
又因为，所以，
所以的值域为．
易错警示 第（2）问中易忽略的范围而出错．
【关联3】、在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝(sinB－sinC，sinC－sinA)，b＝(sinB＋sinC，sinA)，且a⊥b.
(1) 求角B的大小；
(2) 若b＝c·cosA，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积．
【解析】：(1) 因为a⊥b，所以a·b＝0，即sin2B－sin2C＋sinA(sinC－sinA)＝0，
即sinAsinC＝sin2A＋sin2C－sin2B，
由正弦定理得ac＝a2＋c2－b2，
所以cosB＝＝，
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2) 因为c·cosA＝b，所以＝，
即b2＝c2－a2，
又ac＝a2＋c2－b2，b＝2RsinB＝，
解得a＝1，c＝2.(12分)
所以S△ABC＝acsinB＝.
例2、在△中，三个内角，，的对边分别为，设△的面积为，且.
（1）求的大小；
（2）设向量，，求的取值范围．
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（2）由向量，，得
．
由（1）知，所以，所以．
所以．
所以．
所以．即取值范围是．
【变式1】、在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列．
(1) 若·＝，b＝，求a＋c的值；
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(2) 求2sinA－sinC的取值范围．
【解析】：(1) 因为A，B，C成等差数列，所以B＝.
因为·＝，所以accosB＝，
所以ac＝，即ac＝3.
因为b＝，b2＝a2＋c2－2accosB，
所以a2＋c2－ac＝3，即(a＋c)2－3ac＝3，
所以(a＋c)2＝12，所以a＋c＝2.
(2) 2sinA－sinC＝2sin－sinC
＝2－sinC＝cosC.
因为0＜C＜，所以cosC∈.
所以2sinA－sinC的取值范围是.
【变式2】、在△ABC中，角，，所对的边分别为，，c．已知．
（1）求角的大小；
（2）设，求T的取值范围．
【解析】（1）在△ABC中，
，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以．
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（2）
因为，所以，
故，因此，
所以．
方法总结：原条件利用“化边为角”或“化角为边”两种思路均可求解，若对等式两边同时加1，再进行转化，更为便捷；第二问中可利用均值代换，不妨设，，求解，可简化求解过程．
【关联1】、已知三个内角，，的对应边分别为，，，且，．当取得最大值时，的值为 ．
【答案】
【解析】： 设（），则，
因为，，所以由正弦定理得：，所以，，，
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由得，从而当，即时，取最大值，
此时，
，
所以。
点评：为了研究，所以可以考虑以和的夹角为参数，并利用正弦定理将表示出来，特别是将用表示时，三角恒等变换是关键，然后求出时，取最大值，这时再取就不困难了。
【关联2】、 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足b2－a2＝ac，则－的取值范围是________．
【答案】
思路一，根据题意可知，本题可以从“解三角形和三角恒等变换”角度切入，又因已知锐角和边的关系，而所求为正切值，故把条件化为角的正弦和余弦来处理即可；思路二，本题所求为正切值，故可以构造直角三角形，用边的关系处理．
解法1 原式可化为－＝－＝＝.由b2－a2＝ac得，b2＝a2＋ac＝a2＋c2－2accosB，即a＝c－2acosB，也就是sinA＝sinC－2sinAcosB，即sinA＝sin(A＋B)－2sinAcosB＝sin(B－A)，由于△ABC为锐角三角形，所以有A＝B－A，即B＝2A，故－＝，在锐角三角形ABC中易知，c2，即2－－2
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