专题03 利用函数的图像探究函数的性质
【自主热身，归纳提炼】
1、作出下列函数的图象：
(1)(1)y＝2－2x；
(2)y＝log [3(x＋2)]；
(3)y＝|log(－x)|.
【思路点拨】：搞清各个函数与基本函数之间的关系，然后用图象变换法画函数图象．
(3)作y＝logx的图象关于y轴对称的图象，得y＝log(－x)的图象，再把x轴下方的部分翻折到x轴上方，可得到
y＝|log(－x)|的图象．如图3.
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1.作函数图象的一般步骤为：
(1)确定函数的定义域．
(2)化简函数【解析】式．
(3)讨论函数的性质(如函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、极限等)以及图象上的特殊点(如极值点、与坐标轴的交点、间断点等)、线(如对称轴、渐近线等)．
(4)选择描点法或图象变换法作出相应的函数图象．
2．采用图象变换法时，变换后的函数图象要标出特殊的线(如渐近线)和特殊的点，以显示图象的主要特征，处理这类问题的关键是找出基本函数，将函数的【解析】式分解为只有单一变换的函数链，然后依次进行单一变换，最终得到所要的函数图象．
2、 若函数的值域是，则实数的取值范围是 ．
【答案】：．
【解析】 作出函数的图象，易知当时，，要使的值域为，
由图可知，显然且，即．
3、 已知函数f(x)＝(x∈(－1,2))，则函数y＝f(x－1)的值域为________．
【答案】[0,2)
解法1 由于平移不改变值域，故只需要研究原函数的值域．画出函数f(x)＝|2x－2|的图像．由下图易得值域为[0,2)．
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解法2 因为x∈(－1,2)，所以2x∈，2x－2∈，所以|2x－2|∈[0,2)．因为y＝f(x－1)是由f(x)向右平移1个单位得到的，所以值域不变，所以y＝f(x－1)的值域为[0,2)．
4、已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，＋∞)，满足f(x＋2)＝f(x)．若当x∈[0,2)时，f(x)＝|x2－x－1|，则函数y＝f(x)－1在区间[－2,4]上的零点个数为________．
【答案】：7
【解析】：作出函数f(x)的图像(如图)，则它与直线y＝1在[－2,4]上的交点的个数，即为函数y＝f(x)－1在[－2,4]的零点的个数，由图像观察知共有7个交点，从而函数y＝f(x)－1在[－2,4]上的零点有7个．
5、已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是________．
【答案】(1,2]
解法1 问题转化为g(x)＝0，即方程f(x)＝2x有三个不同的解，即或解得或或因为方程f(x)＝2x有三个不同的解，所以解得10，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R上有3个不同的零点，则当x≤0时，f(x)＝x3－3mx－2有2个不同的零点，因为f′(x)＝3x2－3m，令f′(x)＝0，则x2－m＝0，若m≤0，则函数f(x)为增函数，不合题意，故m>0，所以函数f(x)在(－∞，－)上为增函数，在(－，0]上为减函数，即f(x)max＝f(－)＝－m＋3m－2＝2m－2，f(0)＝－20，即m>1，故实数m的取值范围是(1，＋∞)．
解法2(分离参数) 当x>0时，令f(x)＝e－x－＝0，解得x＝ln2>0，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R上有3个不同的零点，则当x≤0时，f(x)＝x3－3mx－2有2个不同的零点，即x3－3mx－2＝0，显然x＝0不是它的根，所以3m＝x2－，令y＝x2－(x3，即m>1.
已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：
(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题．
(3) 数形结合法：先对【解析】式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．这里采用方法是(1)和(3)的结合．
【关联6】、已知函数的图象恰好经过三个象限，则实数的取值范围是 ．
【答案】：a＜0或a＞2．
【思路点拨】：由于是分段函数，当和时，一次函数的图象不同，故要分两种情况讨论，由函数【解析】式结构特点知时，函数图象过三个象限，问题就变成了考虑的情形，也就是由题意 的图象需经过第一、二象限，有两种思路：
思路1，分离参数后，转化两个函数图象在y轴右侧的图象有公共点（且不相切），找到临界切线位置；
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思路2，转化不等式的存在性问题，分离参数后，转化求最值问题，最终求得a的取值范围.
【解析】当a＜0时，的图象经过两个象限，在
（图14（1））
l0
O
x
y
P
（0，+∞）恒成立，所以图象仅在第一象限，所以a＜0时显然满足题意；
当a≥0时，的图象仅经过第三象限，
由题意 的图象需经过第一、二象限．
【解法1】（图像法）与在y轴右侧的图象有公
共点（且不相切）．
如图， =，
设切点坐标为，，则有，
解得,所以临界直线的斜率为2，所以a＞2时，符合．综上，a＜0或a＞2．
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在(0,1)单调递减，在（1，2）单调递增，又时，函数为增函数，所以函数的最小值为2，所以a＞2，则实数的取值范围为a＜0或a＞2．
解后反思：填空题中的函数问题，可优先选择利用数形结合思想，通过分离参数、分离函数等途径转化为两函数图像的关系问题处理．解法一中也可以转化为：与在y轴右侧的图象有公共点（且不相切）． 易求出此时a＞2，则实数的取值范围为a＜0或a＞2．
例3、已知函数，若存在实数、、、，满足，其中，则的取值范围是 .
【答案】：
【思路点拨】：由存在实数、、、，满足得，存在一条平行于轴的直线与函数的图象有四个不同的交点，从而得到之间所存在的关系，利用这一关系来求得的取值范围。
【解析】：如图，由图形可知，，则， ，，
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，，因为，所以，由得或，由于，且二次函数的图象的对称轴为，故且，故
易错警示：本题中最容易忽略的是的取值范围，从而导致出错。
【变式1】、 已知函数若存在实数，满足，则的最大值是 ．
【答案】：
【思路点拨】：根据函数【解析】式，可以结合函数的图象得出，，的关系，利用消元思想将问题转化为一元函数问题，进而利用导数知识解决.
解题过程：作函数的图象如下：
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根据题意，结合图象可得，，且
所以
令，
则，易得在上递增，又因为，，根据零点存在性定理可得存在唯一，使得，从而函数的减区间是，增区间是，
又因为，，则
所以在上的最大值是．
解后反思：本题以分段函数为背景，考查了导数知识在解决函数综合问题中的应用，以及数形结合，化归与转化等重要数学思想.
【变式2】、 已知函数若存在，当时，，则的取值范围为 ．
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【解析】： 因为时，，画出函数的图象，易知，
则此时，所以，令，解得，当取得最大值，时取得最小值3，
所以的取值范围是．
【关联1】、设函数，若存在，使成立，则实数a的取值范围为＿＿＿＿.
【答案】：
【思路点拨】：先分别求出函数和的值域，再根据条件建立这两个函数值域之间的关系并求出实数的取值范围.
【解析】：对于函数，当时，；当时，，
从而当，函数的值域为；
对于函数，因为，，，所以，
从而当，函数的值域为（）；
因为存在，使，所以,
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若，则或，解之得或，
所以当时，，即所求是实数的取值范围是.
精彩点评：本题求函数和函数的值域并不困难，关键在于先求时实数的取值范围，再用补集的思想实数的取值范围，从而得到本题的最终【答案】，这种正难则反的思想希望同学们掌握.
【关联2】、 已知函数f(x)＝若a
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