专题11 基本不等式及其应用
【自主热身，归纳总结】
1、已知a>0, b>0，且＋＝，则ab的最小值是________．
【答案】：2
【解析】 利用基本不等式，化和的形式为积的形式．
因为＝＋≥2，所以ab≥2，当且仅当＝＝时，取等号．
2、已知正数满足，则的最小值为 ．
【答案】9
【解析】： =9．
3、已知正实数x，y满足，则x + y 的最小值为 ．
【答案】：
4、已知a，b为正数，且直线 ax＋by－6＝0与直线 2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，则2a＋3b的最小值为________．
【答案】25
9
【解析】：由于直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，所以a(b－3)＝2b，即＋＝1(a，b均为正数)，所以2a＋3b＝(2a＋3b)＝13＋6≥13＋6×2＝25(当且仅当＝即a＝b＝5时取等号)．
5、已知正实数满足，则的最小值为 ．
【答案】8
【解析】：因为，所以．又因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立．
易错警示 在应用基本不等式时，要注意它使用的三个条件“一正二定三相等”．另外，在应用基本不等式时，要注意整体思想的应用．
6、设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是________．
【答案】
思路分析1 注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值．注意中消去y较易，所以消去y.
解法1 由x2＋2xy－1＝0得y＝，从而x2＋y2＝x2＋2＝＋－≥2－＝，当且仅当x＝±时等号成立．
思路分析2 由所求的结论x2＋y2想到将条件应用基本不等式，构造出x2＋y2，然后将x2＋y2求解出来．
解法2 由x2＋2xy－1＝0得1－x2＝2xy≤mx2＋ny2，其中mn＝1(m，n>0)，所以(m＋1)x2＋ny2≥1，令m＋1＝n，与mn＝1联立解得m＝，n＝，从而x2＋y2≥＝.
7、若正实数满足，则的最小值是 ▲ ．
【答案】、8
【解析】： 因为正实数满足，
所以
9
，当且仅当，即，又，即，等号成立，即取得最小值.
8、若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________．
【答案】： 8
解法1 因为实数x，y满足xy＋3x＝3，所以y＝－3(y＞3)，
所以＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当y－3＝，即y＝4时取等号，此时x＝，所以＋的最小值为8.
解法2 因为实数x，y满足xy＋3x＝3，所以y＝－3(y＞3)，y－3＝－6＞0，
所以＋＝＋＝－6＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当－6＝，即x＝时取等号，此时y＝4，所以＋的最小值为8.
解后反思 从消元的角度看，可以利用等式xy＋3x＝3消“实数x”或消“实数y”，无论用哪种消元方式，消元后的式子结构特征明显，利用基本不等式的条件成熟．
9、 已知正数a，b满足＋＝－5，则ab的最小值为________．
【答案】. 36
【解析】：因为正数a，b满足＋＝－5，所以－5≥2，当且仅当9a＝b时等号成立，即ab－5－6≥0，解得≥6或≤－1(舍去)，因此ab≥36，从而(ab)min＝36.
10、已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝，则tanα的最大值是________．
【答案】
9
11、 已知正数x，y满足＋＝1，则＋的最小值为________．
【答案】25
【解析】：因为＝1－，所以＋＝＋＝＋9x＝4＋＋9(x－1)＋9＝13＋＋9(x－1)＝13＋＋9(x－1)．又因为＝1－>0，所以x>1，同理y>1，所以13＋＋9(x－1)≥13＋2＝25，当且仅当x＝时取等号，所以＋的最小值为25.
12、 已知a＋b＝2，b＞0，当＋取最小值时，实数a的值是________．
【答案】： －2
解法1 ＋＝＋＝＋＋≥－＋2＝，当且仅当a＜0，且＝，即a＝－2，b＝4时取等号．
解法2 因为a＋b＝2，b＞0，所以＋＝＋(a＜2)．
设f(a)＝＋(a＜2)，
则f(a)＝
9
当a＜0时，f(a)＝－－，从而f′(a)＝－＝，故当a＜－2时，f′(a)＜0；当－2＜a＜0时，f′(a)＞0，故f(a)在(－∞，－2)上是减函数，在(－2，0)上是增函数，故当a＝－2时，f(a)取得极小值；同理，当0≤a＜2时，函数f(a)在a＝处取得极小值.综上，当a＝－2时，f(a)min＝.
【问题探究，变式训练】
:例1、 已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为________．
【答案】：
解法1 令x＋2＝a，y＋1＝b，则a＋b＝4(a＞2，b＞1)，＋＝(a＋b)＝≥(5＋4)＝，当且仅当a＝，b＝，即x＝，y＝时取等号．
解法2 (幂平均不等式)设a＝x＋2，b＝y＋1，则＋＝＋＝＋≥＝.
解法3 (常数代换)设a＝x＋2，b＝y＋1，则＋＝＋＝＋＝＋＋≥，当且仅当a＝2b时取等号．
【变式1】、已知实数x，y满足x>y>0，且x＋y≤2，则＋的最小值为________．
【答案】
设解得所以x＋y＝≤2，即m＋n≤4.设t＝＋＝＋，所以4t≥(m＋n)＝3＋＋≥3＋2.即t≥，当且仅当＝，即m＝n时取等号．
【变式2】、已知x，y为正实数，则＋的最大值为 ．
.【答案】：
【解析1】：令，从而得，故
9
，当且仅当，即时等号成立。
解法2 设BD＝CD＝m，AD＝n，则由已知得7(2m)2＋2(m2＋n2)＝4，所以15m2＋n2＝2≥2mn，所以mn≤，当且仅当15m2＝n2时取等号，此时m2＝，所以面积的最大值为.
例3、 若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则的最大值为________．
【答案】.
【解析】： 在2x2＋xy－y2＝1中，独立变量有两个，因为用x表示y或用y表示x均不方便，可引入第三个变量来表示x，y.
由2x2＋xy－y2＝1，得(2x－y)(x＋y)＝1，设2x－y＝t，x＋y＝，其中t≠0.则x＝t＋，y＝－t，从而x－2y＝t－，5x2－2xy＋2y2＝t2＋，记u＝t－，则＝＝≤＝，当且仅当u＝，即u＝时取等号，即最大值为.
【变式1】、 已知正实数x，y满足5x2＋4xy－y2＝1，则12x2＋8xy－y2的最小值为________．
【答案】：
解法1(双变量换元) 因为x>0，y>0，且满足5x2＋4xy－y2＝1，由此可得(5x－y)(x＋y)＝1，令u＝5x－y，v＝x＋y，则有u>0，v>0，uv＝1，并且x＝，y＝，代入12x2＋8xy－y2＝122＋8··－2＝≥＝＝＝，当且仅当u＝3v，uv＝1，即u＝，v＝，亦即x＝，y＝时，12x2＋8xy－y2取得最小值.
解法2(常数1的代换) 因为x>0，y>0，且满足5x2＋4xy－y2＝1，由此可得(5x－y)(x＋y)＝1，因为x>0，y>0，x＋y>0，所以5x－y>0，即有0
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