专题09 平面向量的线性表示
【自主热身，归纳总结】
1、设a,b不共线,=2a+pb,=a+b,=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p= .
【答案】-1
【解析】因为=2a+pb,=a+b,=a-2b,所以=+=2a-b.因为A,B,D三点共线,所以=λ,即2a+pb=λ(2a-b)=2λa-λb,所以解得所以实数p的值是-1.
2、设与是两个不共线向量，，，，若A，B，D三点共线，则 ．
【答案】：
【解析】，设．则且，解得．
3、在中，若点，，依次是边上的四等分点，设，，用，表示，则 ．
【解析】 在中，，，所以
．
4．设点，，是直线上不同的三点，点是直线外一点，若，则的值为 ．
【答案】：1
【解析】 因为点，，三点共线，所以，又因为
，所以．
5、如图，在中，，分别为边，的中点. 为边上的点，且，若，，则的值为 .
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【答案】：
【解析】：因为为的中点，所以，故，。
6、已知为的外心，若，则= ．
【答案】：
误点警示：若为锐角，则与分别是同弧所对的圆心角与圆周角，此时
=2；若为钝角，由与的关系是，因此，必须对进行分类讨论.本题从条件判断知，必为钝角.
7、已知点C，D，E是线段的四等分点，为直线外的任意一点，若，则实数 的值为 ．
【答案】：
【解析】 因为，所以．
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8．如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则_______，___________．
【答案】：，．
【解析】 设与，同方向的单位向量分别为，，
依题意有，又，，
则，所以，．
9、如图，一直线与平行四边形的两边分别 交于两点，且交其对角线于，其中，，，，则的值为 ．
【答案】：．
【解析】 因为点F，K，E共线，故可设
又，所以，解得．
【问题探究，变式训练】
例1、在△ABC中，AB＝2，AC＝3，角A的平分线与AB边上的中线交于点O，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的值为________.
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课本探源 本题的难点是＝关系的建立，借助于正弦定理，可以证明＝.实际上，必修5P54例5已经证明了此结论，若能够想到这一点，理顺本题的解题思路就容易多了：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，用正弦定理证明：＝.
【变式1】、如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.
【答案】
【解析】： 因为O，E分别是AC，AO的中点，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.又＝λ＋μ＝λ＋μ(＋)＝(λ＋μ)＋μ，故λ＋μ＝.
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.
【变式2】、在中，，若，则的值为 ．
【答案】：
因为，而,所以，所以，则的值为.
【关联1】、如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，，设∥，若，则的值为 ．
【答案】
【解析】思路一：，
，因为∥，所以λ－1＝，λ＝．
思路二：不妨设，则有
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【关联2】、如图,在同一个平面内，向量、，的模分别为1,1，，与的夹角为，且，与的夹角为，若, 则的值为____________．
【答案】：．
A
C
B
O
【解析】 由可得，，根据向量分解易得：
，即，解得
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所以．
例2、在△ABC中，∠C＝45°，O是△ABC的外心，若＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是________．
【答案】 [－，1)
思路分析 本题中三点在圆O上是一个关键条件，可以建立坐标系求出m，n的关系式，再利用三角换元求解，也可以对向量等式两边平方后得到m，n的关系式，再利用线性规划求解．
因为C＝，O是△ABC外心，所以∠AOB＝90°，＝m＋n，所以C在优弧上．
建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设半径为1，则A(0,1)，B(1,0)．
设C(cosθ，sinθ)，
代入＝m＋n，可得n＝cosθ，m＝sinθ，即m＋n＝cosθ＋sinθ＝sin.
又θ＋∈，所以m＋n∈[－，1)．
解后反思 本题易错在没有注意点C在优弧上，错误的认为点C在整个圆上．本题是典型的二元函数的值域问题，解题方法比较多，可以用基本不等式、线性规划、三角换元，但由于点C在圆弧上，最好的方法建立坐标系，利用三角函数求解，定义域的寻找也较为简单．
【变式1】、 如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，则＋的最小值为________．
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【答案】：.
解法1 建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，D(0,4)，C(1,4)．又kBC＝－，故BC：y＝－(x－4)．又＝m＋n，＝(4,0)，＝(0,4)，所以＝(4m,4n)，故P(4m,4n)，又点P在直线BC上，即3n＋4m＝4，即4（＋）＝(3n＋4m)·（＋）＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，所以（＋）min＝，当且仅当即m＝，n＝时取等号．
解法2 因为＝m＋n，所以＝m＋n(＋)＝m＋n－＝＋n.又C，P，B三点共线，故m－＋n＝1，即m＋＝1，以下同解法1.
解后反思 向量的基本运算分为线性运算和坐标运算，本题建立坐标系转化为坐标的运算也可以转化为基底运算，其中三点共线可以转化为点在直线上也可以用共线向量基本定理来转化．基底法运算量小于坐标法、坐标法的思维难度低于基底法．
【变式2】、 如图，经过的重心G的直线与OA，OB交于点P，Q，设，，，则的值为 ．
【答案】：3
【解析】 连接并延长，交于点，因为是的重心，即是的中线，所以，
①
因为，所以②，同理可得③，
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将②③代入①可得，
即，
设，
则有，
根据平面向量基本定理，有， 故的值为3．
【关联1】、如图，在等腰三角形ABC中，已知AB＝AC＝1，A＝120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且＝m，＝n，其中m，n∈.若EF，BC的中点分别为M，N，且m＋4n＝1，则的最小值为________．
【答案】
思路分析：本题易求·＝－，所以可以利用点M，N是EF，BC的中点将转化用和表示，再求||的最小值；另外也可以通过建立平面直角坐标系将点M，N的坐标表示出来再求解．
【解析】1 由于M，N是EF，BC的中点，＝m，＝n，m＋4n＝1，所以＝＋，＝＋＝＋＝＋，所以＝－＝2n＋.而·＝1×1×cos120°＝－，所以||＝＝，显然当n＝时，||min＝.
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【解析】2 如图，以点N为坐标原点，直线BC为x轴，直线NA为y轴建立平面直角坐标系，由AB＝AC＝1，A＝120°得N(0,0)，A0，，B－，0，C，0，所以＝n＝n，－n，＝m＝＝2n－，2n－(由于m＋4n＝1)，从而点E，点Fn，－n＋，线段EF的中点Mn－，n＋，所以||＝＝，显然当n＝时，||min＝.
【关联2】、 已知△ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点Q满足＝＋，则||的最小值是________.
【答案】： －
思路分析 求||的最小值，就是求线段BQ长的最小值，因为点B为定点，而点Q是随着点P的运动而运动的，那么就要关注点Q是如何运动的，即要先求出点Q的轨迹方程，通过建系运用相关点法即可求得点Q的轨迹方程，通过点Q的轨迹方程发现其轨迹是一个圆，接下来问题就转化为定点与圆上的动点的距离的最小值问题，那就简单了．一般与动点有关的最值问题，往往运用轨迹思想，首先探求动点的轨迹，在了解其轨迹的基础上一般可将问题转化为点与圆的关系或直线与圆的关系或两圆之间的关系．
解法1 以A为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，则＝(3,0)，＝，设Q(x，y)，P(x′，y′)，由＝＋，得＝，
即所以两式平方相加得2＋2＝(x′2＋y′2)，因为点P(x′，y′)在以A为圆心的单位圆上，所以x′2＋y′2＝1，从而有2＋2＝，所以点Q是以M为圆心，R＝的圆上的动点，因此BQmin＝BM－R＝－＝－.
解法2 ＝－＝＋－＝.
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令＝－，则＝(－)，那么||＝|－|，求||的最小值，就转化为求|－|的最小值，根据不等式的知识有：
|－|≥＝，而||2＝2＝2＝2－·＋2＝×32－×3×3×＋×32＝，即||＝，所以|－|≥＝－1，从而||＝|－|≥－，当且仅当与同向时，取等号．
【关联3】、在中，为边上一点，且，为上一点，且满足
，求的最小值．
【解析】 因为，所以，
又因为为上一点，不妨设，
所以,
，因为不共线，
所以，则．
所以，
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A
B
C
E
P
当且仅当，即时等号成立．
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