专题06 三角函数的图像与性质
【自主热身，归纳总结】
1、已知锐角θ满足tanθ＝cosθ，则＝________．
【答案】： 3＋2
【解析】： 由tanθ＝cosθ得sinθ＝cos2θ，即sinθ＝(1－sin2θ)，解得sinθ＝(负值已舍去)，cosθ＝，代入，可得结果为3＋2.
2、在平面直角坐标系xOy中，已知角α，β的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan(α－β)的值为________．
【答案】：
【解析】：由三角函数的定义可知tanα＝＝2，tanβ＝，故tan(α－β)＝＝＝.
3、 函数y＝3sin的图像两相邻对称轴的距离为________．
【答案】：
【解析】：由题知函数最小正周期T＝＝π.图像两相邻对称轴间的距离是最小正周期π的一半即.
4、若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像与直线y＝m的三个相邻交点的横坐标分别是，，，则实数ω的值为________．
【答案】： 4
【解析】：由题意得函数f(x)的最小正周期T＝－＝，从而ω＝4.
5、若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图像如图所示，则f(－π)的值为________．
【答案】： －1
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【解析】：由题意，A＝2，T＝×4＝3π＝，即ω＝，解得＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ－，k∈Z，因为|φ|＜π，所以φ＝－，所以f(－π)＝2sin(－π－)＝－1.
依图求函数y＝Asin(ωx＋φ)的【解析】式的难点在于确定初相φ，其基本方法是利用特殊点，通过待定系数法、五点法或图像变换法来求解．
6函数f(x)＝cos的最小正周期为________．
【答案】2π
【解析】：因为f(x)＝cos＝sinx－·＝sin－，所以最小正周期为2π.
7、将函数y＝3sin的图像向右平移φ个单位长度后，所得函数为偶函数，则φ＝________.
【答案】：.
8、 若函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，则f的值是________．
【答案】：
【解析】：因为f(x)的最小正周期为π，所以＝π，故ω＝2，所以f(x)＝sin，从而f＝sin＋＝sin＝.
9、 已知α∈，β∈，cosα＝，sin(α＋β)＝－，则cosβ＝________.
【答案】：－
【解析】： 因为α∈，cosα＝，所以sinα＝.又α＋β∈，，sin(α＋β)＝－＜0，所以α＋β∈，故cos(α＋β)＝－，从而cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β
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)sinα＝－×－×＝－.
10、 若tanβ＝2tanα，且cosαsinβ＝，则sin(α－β)的值为________．
【答案】： －
【解析】：因为tanβ＝2tanα，所以＝，即cosαsinβ＝2sinαcosβ.又因为cosαsinβ＝，所以sinαcosβ＝，从而sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝－＝－.
11．若函数的图象过点，则函数在上的单调减区间是 ▲ ．
【答案】： （或）
12、在同一直角坐标系中，函数y＝sin(x＋) （x∈[0，2π]）的图象和直线y＝ 的交点的个数是 ．
【答案】．2
解法1 令，可得
即，又x∈[0，2π]，所以或，故原函数图象与的交点个数为2.
解法2 在同一个坐标系下画出这两个函数图象，可得交点个数为2
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13、 已知θ是第三象限角，且sinθ－2cosθ＝－，则sinθ＋cosθ＝________.
【答案】： －
思路分析 首先试试能否猜出【答案】，猜出的【答案】是否正确．观察得sinθ＝，cosθ＝满足方程，但此时θ是第一象限角，不合题意．
由得5cos2θ－cosθ－＝0，解得cosθ＝或－.因为θ是第三象限角，所以cosθ＝－，从而sinθ＝－，所以sinθ＋cosθ＝－.
解后反思 虽然观察得到的结果不合题意，但是也很有用，在实际解方程时，利用“根与系数的关系”能很快找到我们需要的解．
本质上，可看作是二元二次方程组，通常有两解．一般地，由Asinθ＋Bcosθ＝C求sinθ，cosθ可能有两组解．
14、 已知sin(x＋)＝，则sin(x－)＋sin2(－x)的值为________．
【答案】：
【解析】：sin＝sin＝－sin(x＋)＝－，sin2＝cos2＝1－sin2(x＋)＝1－＝，所以sin＋sin2＝－＋＝.
解后反思 本题旨在考查角变换和函数名称变换，切不可以把已知和未知的括号打开，以免陷入繁杂的运算中，造成隐形失分．
【问题探究，变式训练】
例1、 设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且满足f(－x)＝f(x)，则函数f(x)的单调增区间为________．
【答案】 (k∈Z)
【解析】：由题意可得f(x)＝2sin.又最小正周期为π，故ω＝2.又该函数的对称轴为直线x＝0，所以φ＋＝kπ＋(k∈Z)，解得φ＝kπ＋(k∈Z)．又因为0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是________．
【答案】
解法1 函数y＝cosx＋sinx＝2sin的图像向左平移m(m>0)个单位长度后所得图像的函数【解析】式是y＝2sin，由于函数y＝2sinx的图像至少向左平移个单位长度后可得到关于y轴对称的图像，所以m＋的最小值是，故m的最小值是.
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【关联6】、将函数y＝sin2x的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度，若所得图像过点（，)，则φ的最小值为________.
【答案】：
【解析】：将函数y＝sin2x的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度得到y＝sin(2x＋2φ)的图像，将点代入得sin＝，所以＋2φ＝2kπ＋或＋2φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ或φ＝kπ＋(k∈Z)，又因为φ>0，所以φ的最小值为.
易错警示 错以为函数y＝sin2x的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度之后变成了y＝sin(2x＋φ)的图像，从而导致了错误．还有的考生的【答案】为0，充分说明没看清题目条件．
例2、设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，－
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