专题23 与三角函数有关的应用题
【自主热身，归纳总结】
1、如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9 m和15 m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD＝45°，则这两座建筑物AB和CD的底部之间的距离BD＝________m.
【答案】 18
【解析】：设BD＝x m，作AH⊥CD，垂足为H，记∠HAC＝α，∠HAD＝β，则α＋β＝45°.
因为tanα＝，tanβ＝，且tan(α＋β)＝1，得＝1，
即x2－15x－54＝0，即(x＋3)(x－18)＝0，解得x＝18.
在解方程的过程中，若记＝t，则5t＝1－6t2，因为方程中出现的系数较小，所以更易解出方程的根．
2.如图1，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.
【答案】 150
【解析】 根据图示，AC＝100 m.在△MAC中，
∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得＝⇒AM＝100 m.在△AMN中，＝sin
18
60°，∴MN＝100×＝150(m)．
3.如图2，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米.
【答案】
4、如图，某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区域(以O 为圆心，AB为直径)，现计划对其进行改建．在AB的延长线上取点D，OD＝80 m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为S m2.设∠AOC＝x rad.
(1) 写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；
(2) 试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值？
思路分析 对于(1)，面积S由两部分组成，一个是扇形面积，根据扇形面积公式S＝αr2可得，另一个是△OCD的面积，根据三角形的面积公式absinC可得；对于(2)，注意到所研究的函数不是基本初等函数，因此，采用导数法来研究它的最值．
【解析】： (1) 因为扇形AOC的半径为40 m，∠AOC＝x rad，所以扇形AOC的面积S扇形AOC＝＝800x,0＜x＜π.(2分)
18
在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，
所以△COD的面积S△COD＝OC·OD·sin∠COD＝1 600sin(π－x)＝1 600sinx，(4分)
从而S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x,0＜x＜π.(6分)
【问题探究，变式训练】
例1、如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC与BD焊接而成，焊接点D把杆AC分成AD，CD两段，其中两固定点A，B间距离为1米，AB与杆AC的夹角为60°，杆AC长为1米．若制作AD段的成本为a元/米，制作CD段的成本是2a元/米，制作杆BD的成本是4a元/米．设∠ADB＝α，制作整个支架的总成本记为S元．
(1) 求S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；
18
(2) 问AD段多长时，S最小？
【解析】： (1) 在△ABD中，由正弦定理得＝＝，(1分)
所以BD＝，AD＝＋，(3分)
则S＝a＋2a＋4a＝a，α∈.(7分)
(2) 令S′＝a·＝0，设cosα0＝.(9分)
α
α0
cosα
S′
－
0
＋
S
单调递减
极小
单调递增
(11分)
所以当cosα＝时，S最小，此时sinα＝，AD＝＋＝.(12分)
答：(1)S关于α的函数表达式为S＝a，且α∈；
(2)当AD＝时，S最小．(14分)
【变式1】、 如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB为6，O是圆心，且OC⊥AB.在OC上有一座观赏亭Q，其中∠AQC＝.计划在上再建一座观赏亭P，记∠POB＝θ.
(1) 当θ＝时，求∠OPQ的大小；
(2) 当∠OPQ越大时，游客在观赏亭P处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．
18
设∠OPQ＝α，在△POQ中，用正弦定理可得含α，θ的关系式．
【解析】： 因为∠AQC＝，所以∠AQO＝.又OA＝OB＝3，所以OQ＝.(2分)
在△OPQ中，OQ＝，OP＝3，∠POQ＝－θ，设∠OPQ＝α，则∠PQO＝－α＋θ.
由正弦定理，得＝，即sinα＝cos(α－θ)．(4分)
展开并整理，得tanα＝，其中θ∈.(8分)
(1) 当θ＝时，tanα＝.因为α∈(0，π)，所以α＝.
答：当θ＝时，∠OPQ＝.(10分)
(2) 解法1 设f(θ)＝，θ∈.则f′(θ)＝＝.
令f′(θ)＝0，得sinθ＝，记锐角θ0满足sinθ0＝.(13分)
列表如下：
θ
(0，θ0)
θ0
f′(θ)
＋
0
－
f(θ)
由上表可知，f(θ0)＝是极大值，也是最大值．
因为tanα＝f(θ)>0，且α∈(0，π)，所以当tanα取最大值时，α也取得最大值．
答：游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，sinθ＝.(16分)
解法2 记T＝，θ∈，则T＝cosθ＋Tsinθ＝(1，T)·(cosθ，sinθ)≤，得T≤，当且仅当tanθ＝，即sinθ＝时取等号．(13分)
18
所以tanα的最大值为.显然tanα>0，所以当tanα＝时，α取最大值．
答：游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，sinθ＝.(16分)
【变式2】、 ））(2017苏锡常镇调研（一））（C13,17. (本小题满分14分)
某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC(如图)．设计要求彩门的面积为S(单位：m2)，高为h(单位：m)(S，h为常数)．彩门的下底BC固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度之和记为l.
(1) 请将l表示成关于α的函数l＝f(α)；
(2) 问：当α为何值时l最小，并求最小值．
(2) f′(α)＝h·＝h·，(8分)
令f′(α)＝h·＝0，得α＝.(9分)
18
当α变化时，f′(α)，f(α)的变化情况如下表：
α
f′(α)
－
0
＋
f(α)
极小值
所以lmin＝f＝h＋.(12分)
答：(1) l表示成关于α的函数为l＝f(α)＝＋h；
(2) 当α＝时，l有最小值，为h＋.(14分)
【变式3】、 在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演台BCDE四个部分构成（如图）．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE中，CD＝10米；三角形水域ABC的面积为400平方米．设∠BAC＝θ．
（1）求BC的长（用含θ的式子表示）；
（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．
【解析】：（1）因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，所以AB＝AC．
在△ABC中，S△ABC＝AB•AC•sinθ＝400，
所以AC2＝ ． …………………… 3分
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB•AC•cosθ，
＝4AC2－2AC2 cosθ．
＝(4－2cosθ) ，
即BC＝ ＝40．
所以 BC＝40 ，θ∈(0，π)． …………………… 7分
（2）设表演台的总造价为W万元．
18
因为CD＝10m，表演台每平方米的造价为0.3万元，
所以W＝3BC＝120 ，θ∈(0，π)． …………………… 9分
记f(θ)＝，θ∈(0，π)．
则f ′(θ)＝． …………………… 11分
由f ′(θ)＝0，解得θ＝．
当θ∈(0，)时，f ′(θ)＜0；当θ∈(，π)时，f ′(θ)＞0．
故f(θ)在(0，)上单调递减，在(，π)上单调递增，
从而当θ＝ 时，f(θ)取得最小值，最小值为f()＝1．
所以Wmin＝120(万元)．
答：表演台的最低造价为120万元． …………………… 14分
例2、如图，海上有A，B两个小岛相距10km，船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为60°，现从船O上派下一只小艇沿BO方向驶至C处进行作业，且OC＝BO.设AC＝xkm.
(1) 用x分别表示OA2＋OB2和OA·OB，并求出x的取值范围；
(2) 晚上小艇在C处发出一道强烈的光线照射A岛，B岛至光线CA的距离为BD，求BD的最大值．
【解析】： (1) 在△OAC中，∠AOC＝120°，AC＝x.
由余弦定理得OA2＋OC2－2OA·OC·cos120°＝x2.
又OC＝BO，所以
OA2＋OB2－2OA·OB·cos120°＝x2 ①.(2分)
在△OAB中，AB＝10，∠AOB＝60°.由余弦定理得
OA2＋OB2－2OA·OB·cos60°＝100 ②.(4分)
①＋②得OA2＋OB2＝.
①－②得4OA·OB·cos60°＝x2－100，即OA·OB＝.(6分)
又OA2＋OB2≥2OA·OB，所以≥2×，即x2≤300.又OA·OB＝>0，即x2>100，所以100，(14分)
则f(x)在(10,10]上是单调增函数，所以f(x)的最大值为f(10)＝10，即BD的最大值为10.(16分)
(利用单调性定义证明f(x)在(10,10上是单调增函数，同样给满分；如果直接说出f(x)在(10,10]上是增函数，但未给出证明，扣2分)
【变式1】、如图，某生态农庄内有一直角梯形区域，∥，，百米，百米．该区域内原有道路，现新修一条直道（宽度忽略不计），点
在道路上（异于两点），．
（1）用表示直道的长度；
（2）计划在△区域内种植观赏植物，在△区域内种植经济作物．已知种植
观赏植物的成本为每平方百米万元，种植经济作物的成本为每平方百米万元，
新建道路的成本为每百米万元，求以上三项费用总和的最小值．
【解析】： （1）过点作垂直于线段，垂足为．
在直角中，因为AB⊥BC，，，所以．
在直角中，因为，，所以，则，
C
B
A
（第17题）
D
P
故，
又，所以．…… 2分
在中，由正弦定理得，
18
所以，． …… 6分
（2）在中，由正弦定理得，
所以．
所以．
又．
所以． ………………………… 8分
设三项费用总和为，
则
，，
，．………………………………… 10分
所以，
令，则．
18
-
0
+
列表：
所以时，．
答：以上三项费用总和的最小值为万元．………………………… 14分
【变式2】、如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N (异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：km)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?
(第17题)
18
答：设计∠AMN为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．(14分)
解法2 (构造直角三角形)
设∠PMB＝θ.当0
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