专题19 数列通项与求和问题
【自主热身，归纳提炼】
1、 等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，，则 .
【答案】
【解析】由于，故，而，
故，则 .
2、对于数列{an}，定义数列{bn}满足bn＝an＋1－an(n∈N*)，且bn＋1－bn＝1(n∈N*)，a3＝1，a4＝－1，则a1＝________.
【答案】 8
【解析】：因为b3＝a4－a3＝－1－1＝－2，所以b2＝a3－a2＝b3－1＝－3，所以b1＝a2－a1＝b2－1＝－4，三式相加可得a4－a1＝－9，所以a1＝a4＋9＝8.
3、设公比不为1的等比数列{an}满足a1a2a3＝－，且a2，a4，a3成等差数列，则数列{an}的前4项和为________．
【答案】：
解后反思 本题主要考查等差中项和等比中项的性质及应用，体现了等差数列和等比数列的基本量的计算问题中的方程思想，等比数列的求和要注意公比是否为1.
:4、已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2a2＋3，S3＝2a3＋3，则公比q的值为________．
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【答案】：. 2
当q＝1时，显然不满足题意；当q≠1时， 整理得解得q＝2.
5、 记公比为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝1，S4－5S2＝0，则S5的值为________．
【答案】： 31
【解析】：设公比为q，且q＞0，又a1＝1，则an＝qn－1.由S4－5S2＝0，得(1＋q2)S2＝5S2，所以q＝2，所以S5＝＝31.
解后反思 利用S4＝(1＋q2)S2，可加快计算速度，甚至可以心算．
6、设数列的前项和为，若，则数列的通项公式为 ．
【答案】：
7、 已知数列{an}满足a1＝－1，a2>a1，|an＋1－an|＝2n(n∈N*)，若数列{a2n－1}单调递减，数列{a2n}单调递增，则数列{an}的通项公式为an＝________.
【答案】
【解析】：因为|an＋1－an|＝2n，所以当n＝1时，|a2－a1|＝2.由a2>a1，a1＝－1得a2＝1.当n＝2时，|a3－a2|＝4，得a3＝－3或a3＝5.因为{a2n－1}单调递减，所以a3＝－3.当n＝3时，|a4－a3|＝8，得a4＝5或a4＝－11.因为{a2n}单调递增，所以a4＝5.同理得a5＝－11，a6＝21.
因为{a2n－1}单调递减，a1＝－10，q≠1)的等比数列，且数列{an}的前n项积为10Tn.若存在正整数k，对任意n∈N*，使得为定值，求首项a1的值．
. (1) ①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，得到an＋1与an的关系，并特别注意式中的n≥2.对于n＝1的情况必须单独处理．
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由3(S2＋S1)＝a＋2及a1＝2，得3(4＋a2)＝a＋2，即a－3a2－10＝0.
结合a2>0，解得a2＝5，满足a2－a1＝3.(3分)
所以对n∈N*，均有an＋1－an＝3，即数列{an}是首项为a1＝2，公差为3的等差数列，
数列{an}的通项公式为an＝3n－1.(5分)
②由①知，Sn＝＝，所以λ≥对n∈N*恒成立．(6分)
记f(n)＝，n∈N*.
考虑f(n＋1)－f(n)＝－＝.(8分)
当n≥3时，f(n＋1)
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