小专题(十一) 一次函数与方程、不等式的应用
1． 某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费y(元)是行李质量x(kg)的一次函数．已知行李质量为20 kg时需付行李费2元，行李质量为50 kg时需付行李费8元．
(1)当行李的质量x超过规定时，求y与x之间的函数关系式；
(2)求旅客最多可免费携带行李的质量．
解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b.
将(20，2)，(50，8)代入y＝kx＋b，得
解得
∴当行李的质量x超过规定时，y与x之间的函数关系式为y＝x－2.
(2)当y＝0时，x－2＝0，
解得x＝10.
答：旅客最多可免费携带行李10 kg.
2． 甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．
甲公司方案：每月的养护费用y(元)与绿化面积x(平方米)是一次函数关系，如图所示．
乙公司方案：绿化面积不超过1 000平方米时，每月收取费用5 500元；绿化面积超过1 000平方米时，每月在收取5 500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．
(1)求如图所示的y与x的函数解析式；
(2)如果某学校目前的绿化面积是1 200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．
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解：(1)设y＝kx＋b，则有
解得
∴y＝5x＋400.
(2)当绿化面积是1 200平方米时，甲公司的费用为6 400元，乙公司的费用为5 500＋4×200＝6 300(元)，
∵6 300＜6 400，
∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．
3． 某蔬菜加工公司先后两批次收购蒜薹共100吨．第一批蒜薹价格为4 000元/吨；因蒜薹大量上市，第二批价格跌至1 000元/吨．这两批蒜薹共用去16万元．
(1)求两批次购进蒜薹各多少吨？
(2)公司收购后对蒜薹进行加工，分为粗加工和精加工两种：粗加工每吨利润400元，精加工每吨利润1 000元．要求精加工数量不多于粗加工数量的三倍．为获得最大利润，精加工数量应为多少吨？最大利润是多少？
解：(1)设第一批购进蒜薹x吨，第二批购进蒜薹y吨．由题意，得
解得
答：第一批购进蒜薹20吨，第二批购进蒜薹80吨．
(2)设精加工m吨，总利润为w元，则粗加工(100－m)吨．
由m≤3(100－m)，解得m≤75，
利润w＝1 000m＋400(100－m)＝600m＋40 000，
∵600>0，∴w随m的增大而增大．
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∴m＝75时，w有最大值为85 000元．
4．某工厂生产一种产品，当产量至少为10吨，但不超过55吨时，每吨的成本y(万元/吨)与产量x(吨)之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x(吨)
10
20
30
y(万元/吨)
45
40
35
(1)求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)市场调查发现，这种产品每月销售量m(吨)与销售单价n(万元/吨)之间满足如图所示的函数关系．该厂第一个月按同一销售单价卖出这种产品25吨，请求出该厂第一个月销售这种产品获得的利润．(注：利润＝售价—成本)
解：(1)设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b，
将(10，45)，(20，40)代入解析式，得
解得
∴y＝－0.5x＋50(10≤x≤55)．
(2)设每月销售量m(吨)与销售单价n(万元/吨)之间的函数解析式为m＝k1n＋b1，
把(40，30)，(55，15)代入解析式得
解得
∴m＝－n＋70，当m＝25时，n＝45，
在y＝－0.5x＋50(10≤x≤55)中，当x＝25时，y＝37.5，
∴利润为25×(45－37.5)＝187.5(万元)．
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5．(2018·铜仁)学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张，并且每买1张办公桌必须买2把椅子，椅子每把100元，若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费24 000元；购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费2 000元．
(1)求甲、乙两种办公桌每张各多少元？
(2)若学校购买甲、乙两种办公桌共40张，且甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．
解：(1)设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元．
根据题意，得
解得
答：甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元．
(2)设甲种办公桌购买a张，则乙种办公桌购买(40－a)张，购买的总费用为y元，
则y＝400a＋600(40－a)＋2×40×100＝－200a＋32 000，
∵a≤3(40－a)，∴a≤30.
∵－200＜0，∴y随a的增大而减小．
∴当a＝30时，y取得最小值，最小值为26 000元．
答：购买甲、乙两种办公桌分别为30张、10张时，费用最少，为26 000元．
6．(教材P100习题T15变式)江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾．“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y甲，y乙(单位：元)与原价x(单位：元)之间的函数关系如图所示．
(1)直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式；
(2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？
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解：(1)y甲＝0.8x.
y乙＝
(2)当0
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