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一 三角函数与解三角形(B)
1.(2018·河北承德模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B.
(1)求B;
(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.
2.(2018·金华模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,已知 sin A=sin(B-C)+2sin 2B,B≠.
(1)求证:c=2b;
(2)若△ABC的面积S=5b2-a2,求tan A的值.
3.(2018·资阳模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(sin A-sin B)=c(sin C-sin B).
(1)求A;
(2)若a=4,求b2+c2的取值范围.
4.(2018·超级全能生全国联考)已知△ABC中,AC=4,BC=4,∠ABC =.
(1)求角A和△ABC的面积;
(2)若CD为AB上的中线,求CD2.
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1.解:(1)由已知及正弦定理得
sin A=sin Bcos C+sin Csin B.①
又A=π-(B+C),故
sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.②
由①②和C∈(0,π)得sin B=cos B,
又B∈(0,π),所以B=.
(2)△ABC的面积S=acsin B=ac.
由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos.
又a2+c2≥2ac,
故ac≤,当且仅当a=c时,等号成立.
因此△ABC面积的最大值为+1.
2.(1)证明:△ABC中,由sin A=sin(B-C)+2sin 2B,
得sin(B+C)=sin(B-C)+4sin Bcos B,
展开化简得,cos Bsin C=2sin Bcos B,
又因为B≠,所以cos B≠0,
所以sin C=2sin B,
由正弦定理得,c=2b.
(2)解:因为△ABC的面积为S=5b2-a2,
所以有bcsin A=5b2-a2,
由(1)知c=2b,
代入上式得b2sin A=5b2-a2,①
又由余弦定理有a2=b2+c2-2bccos A=5b2-4b2cos A,
代入①得b2sin A=4b2cos A,
所以tan A=4.
3.解:(1)根据正弦定理得(a+b)(a-b)=c(c-b),即a2-b2=c2-bc,
则=,即cos A=,
由于0
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