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五 解析几何(B)
1.(2018·上饶三模)已知椭圆C1:+y2=1(a>1)的离心率e=,左、右焦点分别为F1,F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直l1于点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M.
(1)求点M的轨迹C2的方程;
(2)当直线AB与椭圆C1相切,交C2于点A,B,当∠AOB=90°时,求AB的直线方程.
2.(2018·烟台模拟)已知动圆C与圆E:x2+(y-1)2=外切,并与直线y=-相切.
(1)求动圆圆心C的轨迹Γ;
(2)若从点P(m,-4)作曲线Γ的两条切线,切点分别为A,B,求证:直线AB恒过定点.
3.(2018·商丘二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点F的直线交C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,y1y2=-4.
(1)求抛物线方程;
(2)点B在准线l上的投影为E,D是C上一点,且AD⊥EF,求△ABD面积的最小值及此时直线AD的方程.
4.(2018·河南许昌质检)在平面直角坐标系xOy中,动点M到点(-1,0)与点(1,0)的距离和为4.
(1)求动点M的轨迹Γ的方程;
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(2)已知斜率为的直线l交Γ于不同的两点A,B,是否存在定点P,使得直线PA,PB的斜率的和恒等于0,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
1.解:(1)由e2===,得a=,c=1,
故F1(-1,0),F2(1,0),
依条件可知|MP|=|MF2|,
所以点M的轨迹是以l1为准线,F2为焦点的抛物线,
所以C2的方程为y2=4x.
(2)显然当AB斜率不存在时,不符合条件.
当AB斜率存在时,设AB:y=kx+m,
由消y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,
因为AB与C1相切,
所以Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0,
得m2=2k2+1>1,①
又由消y得k2x2+(2km-4)x+m2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,
且有得k≠0,km0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4b.①
由抛物线的方程可得y=x2,所以y′=x.
所以过A(x1,y1)的抛物线的切线方程为
y-y1=x1(x-x1),
又y1=,代入整理得y=x1x-.
因为切线过P(m,-4),代入整理得-2mx1-16=0,
同理可得-2mx2-16=0.
所以x1,x2为方程x2-2mx-16=0的两个根,所以x1+x2=2m,x1x2=-16.②
由①②可得x1x2=-4b=-16,x1+x2=4k=2m.
所以b=4,k=,AB的方程为y=x+4.
当x=0时,y=4,
所以直线AB恒过定点(0,4).
3.解:(1)依题意F(,0),
当直线AB的斜率不存在时,y1y2=-p2=-4,p=2,
当直线AB的斜率存在时,设AB:y=k(x-),
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由化简得y2-y-p2=0,
由y1y2=-4得p2=4,p=2,
所以抛物线方程为y2=4x.
(2)设D(x0,y0),B(,t),则E(-1,t),
又由y1y2=-4,可得A(,-),
因为kEF=-,AD⊥EF,所以kAD=,
故直线AD:y+=(x-),
即2x-ty-4-=0,
由化简得y2-2ty-8-=0,
所以y1+y0=2t,y1y0=-8-.
所以|AD|=|y1-y0|
==,
设点B到直线AD的距离为d,则
d==,
所以S△ABD=|AD|·d=≥16,
当且仅当t4=16,即t=±2时取等号,
当t=2时,AD:x-y-3=0,
当t=-2时,AD:x+y-3=0.
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4.解:(1)设动点M的坐标为(x,y),
因为动点M到点(-1,0)与点(1,0)的距离和为4,4>2,
根据椭圆的定义,知所求的动点M的轨迹Γ是以点(-1,0)与点(1,0)为焦点的 椭圆.
所以解得
所以轨迹Γ的方程为+=1.
(2)假设存在定点P(x0,y0),使得直线PA,PB的斜率的和为0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA,PB的斜率分别为k1,k2.
斜率为的直线l的方程为y=x+m(m∈R),
由
得x2+mx+m2-3=0,
所以Δ=m2-4(m2-3)=-3(m2-4)>0,
所以m2
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