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六 导数(B)
1.(2018·广西二模)已知函数f(x)=ln (x+a)-x(a∈R),直线l:y=-x+ln 3-是曲线y=f(x)的一条切线.
(1)求a的值;
(2)设函数g(x)=xex-2x-f(x-a)-a+2,证明:函数g(x)无零点.
2.已知函数f(x)=x3-2ax2-3x.
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;
(2)对一切x∈(0,+∞),af′(x)+4a2x≥ln x-3a-1恒成立,求实数a的取值范围.
3.(2018·宝鸡一模)已知函数f(x)=a(x2-x+1)(ex-a)(a∈R且a≠0).
(1)若a=1,求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线的方程;
(2)若对任意x∈[1,+∞),都有f(x)≥x3-x2+x,求a的取值范围.
4.(2018·济宁一模)已知函数f(x)=ex-x2-ax有两个极值点x1,x2(e为自然对数的底数).
(1)求实数a的取值范围;
(2)求证:f(x1)+f(x2)>2.
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1.(1)解:函数f(x)=ln (x+a)-x(a∈R)的导数为
f′(x)=-1,
设切点为(m,n),
直线l:y=-x+ln 3-是曲线y=f(x)的一条切线,
可得-1=-,ln (m+a)-m=-m+ln 3-,
解得m=2,a=1,
因此a的值为1.
(2)证明:函数g(x)=xex-2x-f(x-a)-a+2
=xex-2x-f(x-1)-1+2
=xex-x-ln x,x>0,
g′(x)=(x+1)ex-1-
=(x+1)(ex-),
可设ex-=0的根为m,
即有em=,即有m=-ln m,
当x>m时,g(x)递增,0