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七 极坐标与参数方程(A)
1.(2018·抚州质检)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=2sin θ.
(1)求圆C的圆心到直线l的距离;
(2)设圆C与直线l交于点A,B,若点P的坐标为(3,),求|PA|+|PB|.
2.(2018·乐山二模)已知圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ,直线l的参数方程为(t为参数),点A的极坐标为(,),设直线l与圆C交于点P,Q两点.
(1)写出圆C的直角坐标方程;
(2)求|AP|·|AQ|的值.
3.(2018·上饶三模)已知直线l过点P(1,0),且倾斜角为α,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ.
(1)求圆C的直角坐标方程及直线l的参数方程;
(2)若直线l与圆C交于A,B两点,求+的最大值和最小值.
4.(2018·洛阳一模)在极坐标系中,已知圆C的圆心C(,),半径r=.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)若α∈[0,),直线l的参数方程为(t为参数),直线l交圆C于A,B两点,求弦长|AB|的取值范围.
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1.解:(1)因为C:ρ=2sin θ,所以C:ρ2=2ρsin θ,
所以C:x2+y2-2y=0,
即圆C的标准方程为x2+(y-)2=5.
直线l的普通方程为x+y--3=0.
所以,圆C的圆心到直线l的距离为d==.
(2)联立
解得或
所以|PA|+|PB|
=+
=3.
2.解:(1)圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ即ρ2=2ρcos θ,即(x-1)2+y2=1,表示以C(1,0)为圆心、半径等于1的圆.
(2)因为点A的直角坐标为(,),所以点A在直线(t为参数)上.
把直线的参数方程代入曲线C的方程可得
t2+t-=0.
由韦达定理可得t1·t2=-0,
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,
则+====,
因为cos α∈[-1,1],
所以+的最大值为,最小值为.
4.解:(1)因为C(,)的直角坐标为(1,1),
所以圆C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=3.
化为极坐标方程是ρ2-2ρ(cos θ+sin θ)-1=0.
(2)将
代入圆C的直角坐标方程(x-1)2+(y-1)2=3,
得(1+tcos α)2+(1+tsin α)2=3,
即t2+2t(cos α+sin α)-1=0.
所以t1+t2=-2(cos α+sin α),t1·t2=-1.
所以|AB|=|t1-t2|==2.
因为α∈[0,),所以2α∈[0,),
所以2≤|AB|
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