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七 极坐标与参数方程(B)
1.(2018·顺德区一模)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2.
(1)求C2的极坐标方程;
(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标中,射线θ=与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.
2.(2018·日照二模)在直角坐标系xOy中,直线l的方程为x-y-2=0.在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线Γ:ρcos2θ=ρ-2cos θ.
(1)求曲线Γ的直角坐标方程;
(2)若点P的坐标为(-2,-4),直线l和曲线Γ相交于M,N两点,证明:|MN|2=|PM|·|PN|.
3.(2018·六安高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1过点P(a,1),其参数方程为(t为参数,a∈R),以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcos 2θ+ 4cos θ-ρ=0.
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;
(2)若已知曲线C1和曲线C2交于A,B两点,且|PA|=2|PB|,求实数a 的值.
4.(2018·思明区校级模拟)在以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线C1的极坐标方程为ρ=2,正三角形ABC的顶点都在C1上,且A,B,C依逆时针次序排列,点A的坐标为(2,0).
(1)求点B,C的直角坐标;
(2)设P是圆C2:x2+(y+)2=1上的任意一点,求|PB|2+|PC|2的取值 范围.
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1.解:(1)曲线C1的参数方程为(α为参数),
转化为直角坐标方程为x2+y2=1,
曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2.
即+y′2=1,
故C2的直角坐标方程为+y2=1.
转化为极坐标方程为+ρ2sin2θ=1.
(2)曲线C1的参数方程为(α为参数),转化为极坐标方程为ρ1=1,
由题意得到A(1,),
将B(ρ2,)代入坐标方程+ρ2sin2θ=1.
得到ρ2=,
则|AB|=|ρ1-ρ2|=-1.
2.(1)解:因为Γ:ρcos2θ=ρ-2cos θ,
所以ρ-ρcos2θ=2cos θ,
所以ρsin2θ=2cos θ,
所以曲线Γ的直角坐标方程为y2=2x.
(2)证明:因为直线l的方程为x-y-2=0,
所以定点P(-2,-4)在直线l上,
所以直线l的参数方程为(t为参数).
将曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程联立,
得t2-10t+40=0(*)
因为Δ=(-10)2-4×1×40=40>0,
所以直线l和曲线Γ相交,设交点M,N所对应参数分别为t1,t2,
t1+t2=10,t1t2=40,
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则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|,
故|MN|2=|t1-t2|2=+-2t1t2
=(t1+t2)2-4t1t2
=(10)2-4×1×40=40,
又|PM|·|PN|=|t1|·|t2|=|t1t2|=40,
所以|MN|2=|PM|·|PN|.
3.解:(1)C1的参数方程(t为参数,a∈R)
消参得普通方程为x-y-a+1=0,
C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cos θ-ρ=0两边同乘ρ得ρ2cos2θ+4ρcos θ- ρ2=0
即y2=4x.
(2)将曲线C1的参数方程(t为参数,a∈R)代入曲线C2:y2=4x得t2-t+1-4a=0,
由Δ=(-)2-4××(1-4a)>0,得a>0,
设A,B对应的参数分别为t1,t2,由题意得|t1|=2|t2|,
即t1=2t2或t1=-2t2,
当t1=2t2时,解得a=,
当t1=-2t2时,解得a=,
综上,a=或.
4.解:(1)因为曲线C1的极坐标方程为ρ=2,所以曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=4,
因为正三角形ABC的顶点都在C1上,且A,B,C依逆时针次序排列,点A的坐标为(2,0),
所以B点的坐标为(2cos 120°,2sin 120°),即B(-1,),
C点的坐标为(2cos 240°,2sin 240°),即C(-1,-).
(2)因为圆C2:x2+(y+)2=1,
所以圆C2的参数方程0≤α
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