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二 数列(B)
1.(2018·醴陵模拟)已知正项等比数列{an}中,a1+a2=6,a3+a4=24.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{bn}满足bn=log2an,求数列{an+bn}的前n项和Tn.
2.(2018·银川模拟)设{an}是公比不为1的等比数列,其前n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列.
(1)求数列{an}的公比;
(2)证明:对任意k∈N*,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.
3.(2018·益阳模拟)已知{an}是各项均为正数的等差数列,且数列{}的前n项和为,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}的前n项和为Sn,数列{}的前n项和Tn,求证Tn2n-3.
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1.解:(1)设数列{an}的首项为a1,公比为q(q>0).
则
解得
所以an=2×2n-1=2n.
(2)由(1)得bn=log22n=n,
设{an+bn}的前n项和为Sn,
则Sn=(a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn)
=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)
=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)
=+
=2n+1-2+n2+n.
2.(1)解:设数列{an}的公比为q(q≠0,q≠1),
由a5,a3,a4成等差数列,得2a3=a5+a4,
即2a1q2=a1q4+a1q3,
由a1≠0,q≠0,得q2+q-2=0,
解得q1=-2,q2=1(舍去),所以q=-2.
(2)证明:法一 对任意k∈N*,
Sk+2+Sk+1-2Sk=(Sk+2-Sk)+(Sk+1-Sk)
=ak+1+ak+2+ak+1
=2ak+1+ak+1·(-2)
=0,
所以,对任意k∈N*,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.
法二 对任意k∈N*,
2Sk=,
Sk+2+Sk+1=+
=,
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2Sk-(Sk+2+Sk+1)=-
=[2(1-qk)-(2-qk+2-qk+1)]
=(q2+q-2)
=0,
因此,对任意k∈N*,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.
3.(1)解:由{an}是各项均为正数的等差数列,且数列{}的前n项和为,n∈N*,
当n=1时,可得==, ①
当n=2时,可得+==, ②
②-①得=,
所以a1·(a1+d)=6, ③
(a1+d)(a1+2d)=12. ④
由③④解得
所以数列{an}的通项公式为an=n+1.
(2)证明:由(1)可得Sn=,
那么==(-).
所以数列{}的前n项和Tn=(1-+-+-+-+…+-)
=(1++---)
=(---)
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=-(++),n∈N*,
所以Tn2n-3,
所以>2n-3.
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