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五 解析几何(A)
1.(2018·江西九江模拟)给定椭圆C:+=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F(,0),其短轴上的一个端点到F的距离为.
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程;
(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个公共点,且l1,l2分别交其“准圆”于点M,N.
①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时,求l1,l2的方程;
②求证:|MN|为定值.
2.(2018·武侯区校级模拟)已知椭圆C的左右顶点分别为A,B,A点坐标为(-,0),P为椭圆C上不同于A,B的任意一点,且满足kAP·kBP=-.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设F为椭圆C的右焦点,直线PF与椭圆C的另一交点为Q,PQ的中点为M,若|OM|=|QM|,求直线PF的斜率.
3.已知抛物线C顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;
(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.
4.(2018·红桥区一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆C与y轴交于A,B两点,且|AB|=2.
(1)求椭圆C的方程;
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(2)设点P是椭圆C上的一个动点,且点P在y轴的右侧.直线PA,PB与直线x=4分别交于M,N两点.若以MN为直径的圆与x轴交于两点E,F,求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值.
1.(1)解:由题意知c=,a=,所以b=1.
所以椭圆的方程为+y2=1,
“准圆”的方程为x2+y2=4.
(2)①解:因为“准圆”x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P(0,2),
设过点P(0,2),且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2,
联立方程组
消去y,
得到(1+3k2)x2+12kx+9=0,
因为椭圆与y=kx+2只有一个公共点,
所以Δ=144k2-4×9(1+3k2)=0,
解得k=±1.
所以l1,l2的方程分别为y=x+2,y=-x+2.
②证明:a.当l1,l2中有一条无斜率时,不妨设l1无斜率,因为l1与椭圆只有一个公共点,
则其方程为x=或x=-.
当l1的方程为x=时,此时l1与准圆交于点(,1),(,-1),
此时经过点(,1)(或(,-1))且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1(或y=-1),
即l2为y=1(或y=-1),显然直线l1,l2垂直;
同理可证l1方程为x=-时,直线l1,l2垂直.
b.当l1,l2都有斜率时,设点P(x0,y0),其中+=4,
设经过点P(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线为y=t(x-x0)+y0,
联立方程组
消去y得到x2+3[tx+(y0-tx0)]2-3=0,
即(1+3t2)x2+6t(y0-tx0)x+3(y0-tx0)2-3=0,
Δ=[6t(y0-tx0)]2-4·(1+3t2)[3(y0-tx0)2-3]=0,
经过化简得到(3-)t2+2x0y0t+1-=0,
因为+=4,
所以有(3-)t2+2x0y0t+(-3)=0,
设l1,l2的斜率分别为t1,t2,
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因为l1,l2与椭圆都只有一个公共点,
所以t1,t2满足上述方程(3-)t2+2x0y0t+(-3)=0,
所以t1·t2==-1,
即l1,l2垂直.
综合a和b知l1,l2垂直,
因为l1,l2经过点P(x0,y0),又分别交其“准圆”于点M,N,且l1,l2垂直,
所以线段MN为“准圆”x2+y2=4的直径,
所以|MN|=4.
2.解:(1)设P(x,y)(x≠±),
所以kAP·kBP=-,所以·=-,
整理得+y2=1(x≠±),
因为A,B两点在椭圆上,
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由题可知,斜率一定存在且k≠0,
设过焦点F的直线方程为x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),
联立则(m2+2)y2+2my-1=0,
所以所以
所以|OM|=,
而|QM|=|PQ|
=·
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=·
=·.
因为|OM|=|QM|,
所以=·,
所以m2=,所以k2=2,所以k=±.
因此,直线PF的斜率为±.
3.解:(1)因为抛物线C的焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,
所以=,
得c=1,
所以F(0,1),即抛物线C的方程为x2=4y.
(2)设切点A(x1,y1),B(x2,y2),
由x2=4y得y′=x,
所以切线PA:y-y1=x1(x-x1),
有y=x1x-+y1,
而=4y1,
即切线PA:y=x1x-y1,
同理可得切线PB:y=x2x-y2.
因为两切线均过定点P(x0,y0),
所以y0=x1x0-y1,y0=x2x0-y2,
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由此两式知点A,B均在直线y0=xx0-y上,
所以直线AB的方程为y0=xx0-y,
即y=x0x-y0.
(3)设点P的坐标为(x′,y′),
由x′-y′-2=0,
得x′=y′+2,
则|AF|·|BF|=·
=·
=·
=(y1+1)·(y2+1)
=y1y2+(y1+y2)+1.
由
得y2+(2y′-x′2)y+y′2=0,
有y1+y2=x′2-2y′,y1y2=y′2,
所以|AF|·|BF|=y′2+x′2-2y′+1
=y′2+(y′+2)2-2y′+1
=2(y′+)2+,
当y′=-,x′=时,
即P(,-)时,|AF|·|BF|取得最小值.
4.解:(1)由题意可得,2b=2,即b=1,
e==,得=,
解得a2=4,
椭圆C的标准方程为+y2=1.
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(2)法一 设P(x0,y0)(00,解得x0∈(,2].
则|x1-x2|=2(
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