3.7弧长及扇形的面积·数学北师大版九下-特训班.pdf

青春是不耐久藏的东西.———莎士比亚 ７．弧长及扇形的面积 　　１．能推导出扇形弧长、面积的公式． ２．能运用公式进行弧长、面积(阴影面积)的计算． 　　 夯实基础,才能有所突破ƺƺ １．如果一个扇形的弧长等于它的半径,那么此扇形称为“等 边扇形”．则半径为 ２ 的“等边扇形”的面积为(　　)． A．π B．１ C．２ D．１ ２π ２．半径为 １ 的圆的周长等于 ６０° 的圆心角所对的弧长,则该 弧所在圆的半径是 　　　　． ３．弧长为 ２４πcm,半径为 １８０cm 的弧所对的圆心角的度数 为 　　　　． ４．已知扇形的圆心角为 ６０°,扇形的面积为 ２４πcm ２,则这个 扇形的弧长为 　　　　． ５．如图,在 ４×４ 的方格纸中(共有 １６ 个小方格),每个小方 格都是边长为 １ 的正方形．O、A、B 分别是小正方形的顶 点,则扇 形 OAB 的 弧 长 等 于 　 　 　 　．(结 果 保 留 根 号 及 π)． (第 ５ 题) 　　 (第 ６ 题) ６．如图,△ABC 的 ３ 个顶点都在 ５×５ 的网格(每个小正方 形的边长均为 １ 个单位长度)的格点上,将 △ABC 绕点B 顺时 针 旋 转 到 △A′BC′的 位 置,且 点 A′、C′仍 落 在 格 点 上,则线段 AB 扫过的图形面积是 　　　　 平方单位．(结 果保留 π) ７．如图,AB 是 ☉O 的 直 径,点 D 在 ☉O 上,∠DAB＝４５°, BC∥AD,CD∥AB． (１)判断直线CD 与 ☉O 的位置关系,并说明理由; (２)若 ☉O 的半径为 １,求图中阴影部分的面积．(结果保 留 π) (第 ７ 题) 　　 课内与课外的桥梁是这样架设的. ８．AB⊥BC,AB＝BC＝２cm,OA︵与OC︵关于点O 中心对称, 则 AB,BC,OC︵,OA︵所围成的图形的面积是 　　　　cm ２． (第 ８ 题)９．已知扇形的弧长为 ３πcm,圆心角为 ３０°,则这个扇形的半 径为 　　　　cm． １０．如图,两个等圆 的 圆 心 分 别 为 O１、O２,☉O１ 过 点 O２,两 圆相交于 P、Q 两点,已知O１O２＝６cm,则图中阴影部分 的周长是 　　　　cm． (第 １０ 题) 　 (第 １１ 题) １１．如图,菱形 ABCD 中,AB＝２,∠C＝６０°,菱形 ABCD 在 直线l上向右作无滑动的翻滚,每绕着一个顶点旋转 ６０°叫一次操作,则经过 ３６ 次这样的操作菱形 中 心 O 所 经 过的路径总长为 　　　　．(结果保留 π) １２．如图,正三角形 ABC 的 中 心 恰 好 为 扇 形ODE 的 圆 心, 且点B 在扇形内,要使扇形ODE 绕点O 无论怎样转动, △ABC 与扇形重叠部分的面积总等于 △ABC 的面积的 １ ３ ,扇形的圆心角应为多少度? 说明你的理由． (第 １２ 题)青春时期的任何事情都是考验.———史蒂文森 　　 对未知的探索,你准行! １３． 如 图,六 边 形 ABCDEF 是 正 六 边 形,曲 线 FK１K２K３K４K５K６K７ƺƺ叫 做 “正 六 边 形 的 渐 开 线”, 其中FK１︵,K１K２ண ஥ઁઁ ,K２K３ண ஥ઁઁ ,K３K４ண ஥ઁઁ ,K４K５ண ஥ઁઁ ,K５K６ண ஥ઁઁ ƺƺ 的 圆 心依次按点 A、B、C、D、E、F 循环,其弧长分别记为l１, l２,l３,l４,l５,l６,ƺƺ．当 AB＝１ 时,l２０１３ 等于(　　)． (第 １３ 题) A．２０１３π ２ B．２０１３π ３ C．２０１１π ４ D．２０１３π ６ １４．如图,图(１)中圆与正方形各边都相切,设这个圆的周长 为C１;图(２)中的四个圆的半径相等,并依次外切,且与 正方形的边相切,设这四个圆的周长为C２;图(３)中的九 个圆的半径相等,并依次外切,且与正方形的边相切,设 这九个圆的周长为C３;ƺƺ,依次规律,当正方形边长为 ２ 时,则C１＋ C２＋ C３＋ƺC９９＋ C１００＝　　　　． (第 １４ 题)１５．在一次数学探究性学习活动中,某学习小组要制作一个 圆锥体模型,操作规则是:在一块边长为 １６cm 的正方形 纸片上剪出一个扇形和一个圆,使得扇形围成圆锥的侧 面时,圆恰好是 该 圆 锥 的 底 面．他 们 首 先 设 计 了 如 图 所 示的方案一,发 现 这 种 方 案 不 可 行,于 是 他 们 调 整 了 扇 形和圆的半径,设计了如图所示的方案二(两个方案中, 圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切,方案一中扇形 的弧与正方形的两边相切)． 方案一 　　 方案二 (第 １５ 题) (１)请说明方案一不可行的理由． (２)判断方案二是否可行,若可行,请确定圆锥的母线长 及其底面圆半径,若不可行,请说明理由． 　　 解剖真题,体验情境. １６．(２０１２Ű福建莆田)若扇形的圆心角为 ６０°,弧长为 ２π,则扇 形的半径为 　　　　． １７．(２０１２Ű四川自贡)如图,△ABC 是正三角形,曲线 CDEF 叫做正三角形的渐开线,其中弧CD、弧 DE、弧 EF 的圆 心依次是A、B、C,如果 AB＝１,那么曲线 CDEF 的长是 　　　　． (第 １７ 题)１８．(２０１２Ű浙江金 华)如 图,已 知 AB 是 ☉O 的 直 径,点 C、D 在 ☉O 上,点E 在 ☉O 外,∠EAC＝∠D＝６０°． (１)求 ∠ABC 的度数; (２)求证:AE 是 ☉O 的切线; (３)当BC＝４ 时,求劣弧 AC 的长． (第 １８ 题)７．弧长及扇形的面积 １．C ２．６　３．２４°　４．４πcm　５． ２ ２π　６．１３π ４ ７．(１)直线CD 与 ☉O 相切．理由如下:连接OD． ∵　OA＝OD,∠DAB＝４５°, ∴　∠ODA＝４５°． ∴　∠AOD＝９０°． ∵　CD∥AB, ∴　∠ODC＝∠AOD＝９０°,即OD⊥CD． 又 　 点 D 在 ☉O 上, ∴　 直线CD 与 ☉O 相切． (２)∵　BC∥AD,CD∥AB, ∴　 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴　CD＝AB＝２． ∴　S梯形OBCD ＝(OB＋CD)ŰOD ２ ＝(１＋２)×１ ２ ＝ ３ ２ ． ∴　 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 S梯形OBCD － S扇形OBD ＝ ３ ２ － １ ４π×１２＝ ３ ２ － π ４ ． ８．２　９．１８　１０．１２π １１．(８ ３＋４)π １２．当扇形的圆心角为 １２０° 时,△ABC 与扇形 重叠部分的面积为 △ABC 面积的 １ ３ ,无论 绕点O 怎样旋转,重叠部分都等于 △OAB 的面积．理由如下:连接OB、OC． ∴　S△OBC ＝ １ ３ S△ABC ． ∵　∠BOC＝１２０°,∠OBC＝∠OCB＝３０°． 当 ∠DOE＝１２０° 时,若扇 形 ODE 的 两 条 半 径OD、OE 分 别 与 OB、OC 重 合,则 重 合 部 分 的 面 积 为 S△OBC ;若OD、OE 不 与 OB、OC 重 合,设 OD 交 AB 于点G,OE 交BC 于点 H ,则 ∠BOG＝ ∠COH,OB＝OC,∠OBG＝ ∠OCH＝３０°． ∴　△OBG≌△OCH． ∴　S△OBG ＋S△OBH ＝S△OCH ＋S△OBH , 即S四边形OGBH ＝S△OBC ＝ １ ３ S△ABC ． １３．B １４．１０１００π　 提示:解决此题关键求圆的半径,图 １ 中圆的半径为 １,这 个 圆 的 周 长 C１＝ ２π,图 ２ 中圆的半径为 ２ ４ ＝ １ ２ ,这四个圆 的周长C２＝４×２π× １ ２ ＝４π,图 ３ 中圆的 半径为 ２ ６ ＝ １ ３ ,这九个圆的周长 C３＝９× ２π× １ ３ ＝６π,ƺƺ,第 １００ 个 图 中 圆 的 半 径为 ２ ２００＝ １ １００,C１００ ＝１００２ ×２π× １ １００＝ ２００π,所以C１＋C２＋C３＋ƺC９９＋C１００＝２π ＋４π＋６π＋ƺ＋２００π＝１０１００π． １５．(１)理由如下:假设方案一可行, 扇形的弧长 ＝１６× π ２ ＝８π,圆锥底面周长 ＝２πr,则圆的半径为 ４cm．由于所给正方 形纸片的对角线长为 ＝１６ ２cm,而制作这 样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长 为 １６＋４＋４ ２＝２０＋４ ２(cm)＞１６ ２cm假设不成立,故方案一不可行． (２)方案二可行,求解过程如下:设圆锥底面圆的半径为rcm,圆锥的母线 长为Rcm,则(１＋ ２)r＋R＝１６ ２, ① ２πr＝２πR ４ ． ②由 ①②,可得R＝６４ ２ ５＋ ２ ＝３２０ ２－１２８ ２３ , r＝１６ ２ ５＋ ２ ＝８０ ２－３２ ２３ ． 故所求圆锥的母线长为３２０ ２－１２８ ２３ ,底面 圆的半径为８０ ２－３２ ２３ ． １６．６ １７．４π １８．(１)∵　∠ABC 与 ∠D 都是弧AC 所对的 圆周角, ∴　∠ABC＝∠D＝６０°． (２)∵　AB 是 ☉O 的直径, ∴　∠ACB＝９０°． ∴　∠BAC＝３０°． ∴　∠BAE＝∠BAC＋∠EAC＝３０°＋６０° ＝９０°． 即BA⊥AE． ∴　AE 是 ☉O 的切线． (３)如图,连接OC, ∵　OB＝OC,∠ABC＝６０°, ∴　△OBC 是等边三角形． ∴　OB＝BC＝４,∠BOC＝６０°． ∴　∠AOC＝１２０°． ∴　 劣弧 AC 的长为１２０ŰπŰ４ １８０ ＝ ８ ３π． (第 １８ 题)