健康是人生的第一财富.———[美]爱默生
【例
１】(２０１２Ű 全 国 初 中 数 学 联 赛)如 图,PA 为
☉O 的 切
线,PBC 为
☉O 的割线,AD⊥OP 于点D,△ADC 的外接圆
与BC 的另一个交点为E．证明:∠BAE＝∠ACB．
【分析】首先里射影定理得出PA２
＝PDŰPO,AD２
＝PD
ŰOD,进而得出 PBŰPC＝PDŰPO,即 D、B、C、O 四 点 共
圆,再 利 用
△PBD∽ △COD 得 出 BD ŰCD＝PDŰOD＝
AD２,由
△BDA∽△ADC 得出AB 是
△ADC 的 外 接 圆 的 切
线,即可得出
∠BAE＝∠ACB．
【解答】
证明:连接OA、OB、OC、BD．
∵ OA⊥AP,AD⊥OP,
∴
由 射 影 定 理 可 得:PA２
＝PDŰPO,AD２
＝PDŰ
OD．
又由切割线定理可得 PA２
＝PBŰPC,
∴ PBŰPC＝PDŰPO．
∴ D、B、C、O 四点共圆．
∴ ∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC,
∠PBD＝∠COD．
∴ △PBD∽△COD．
∴
PD
CD ＝
BD
OD．
∴ BDŰCD＝PDŰOD＝AD２,
∴
BD
AD＝
AD
CD ．
又
∠BDA＝∠BDP＋９０°＝∠ODC＋９０°＝∠ADC,
∴ △BDA∽△ADC,
∴ ∠BAD＝∠ACD,
∴ AB 是
△ADC 的外接圆的切线,
∴ ∠BAE＝∠ACB．
【例
２】(２０１２Ű全国初中数学竞赛株洲卷)如图,☉O 的直径
为AB,☉O１
过点O,且与
☉O 内切于点B．C 为
☉O 上的点,
OC 与
☉O１
交于点 D,且 OD＞CD．点 E 在OD 上,且 DC＝
DE,BE 的 延 长 线 与
☉O１
交 于 点 F,求 证:△BOC ∽
△DO１F．
【分 析】首 先 连 接 DB,利 用 圆 周 角 定 理 得 出
∠ODB＝
９０°,进而得出BC＝EB,∠FBD＝∠CBD,进而得出
∠FO１D
＝∠FBC,再利用相似三角形的判定得出
△BOC∽△DO１F．
【解答】
连接 DB．
∵ ☉O１
过点O,且与
☉O 内切于点B、C,
∴ BO 为
☉O１
直径．
∴ ∠ODB＝９０°．
∵ DC＝DE,
∴ BD 垂直平分CE．
∴ BC＝EB,∠FBD＝∠CBD．
∴ ∠BCE＝∠BEC．
∵ BO＝CO,
∴ ∠OBC＝∠OCB．
∴ ∠OBC＝∠BCE＝∠BEC．
∴ ∠CBE＝∠COB(三角形内角和定理)．
∵ ∠FO１D＝２∠FBD,
∴ ∠FO１D＝∠FBC．
∵ CO＝BO,FO１＝DO１,
∴
CO
FO１ ＝
BO
DO１
．
∴ △BOC∽△DO１F．
初赛题
１．(２０１２Ű全国初中数学竞赛河南赛区)如图,在
☉O 中,已知CD︵
＝DA︵＝AB︵,给出下列 三 个 结 论:(１)DC＝AB;(２)AO⊥
BD;(３)当
∠BDC＝３０°
时,∠DAB＝８０°．其中正确的个数
是( )．
(第
１
题)
A．０ B．１
C．２ D．３
２．(２０１２Ű全国初 中 数 学 竞 赛 广 东 赛 区)如 图,AB 是
☉O 的 直
径,PA 切
☉O 于点A,OP 交
☉O 于点C,连接 BC．若
∠P
＝３０°,则
∠B 的度数为( )．
(第
２
题)运动是一切生命的源泉.———[意]达Ű芬奇
A．１０° B．２０°
C．３０° D．６０°
３．(２０１２Ű全国初中数学竞赛广东赛区)周长为定值a 的扇形,
这个扇形的半径R 的范围是( )．
A．
a
２ ,a( ) B．
a
２(１＋π),
a
２
( )
C．(a,２a) D．(０,a)
４．(２０１２Ű 全国初中数学竞赛福建赛区)如 图,矩 形 ABCD 中,
AD＝２,AB＝３,AM＝１,弧 DE 是以点A 为圆心
２
为半
径的 １
４
圆弧,弧 NB 是以点 M 为 圆 心
２
为 半 径 的 １
４
圆
弧,则图中两段弧之间的阴影部分的面积为
．
(第
４
题)复赛题
５．(２０１２Ű全国初 中 数 学 竞 赛 福 建 赛 区)如 图．AD、AH 分 别 是
△ABC(其中 AB＞AC)的角平分线、高线,M 点是AD 的
中点,△MDH 的 外 接 圆 交 CM 于 点 E,求 证
∠AEB＝
９０°．
(第
５
题)
６．(２０１２Ű湖南省益阳市数学竞赛)如图,BD 为
☉O 的直径,AB
＝AC,AD 交BC 于点E,AE＝２,ED＝４．
(１)求证:△ABE∽△ADB;
(２)求 AB 的长;
(３)延长 DB 到F,使 得 BF＝BO,连 接 FA,试 判 断 直 线
FA 与
☉O 的位置关系,并说明理由．
(第
６
题)
７．(２０１２Ű全国初中数学竞赛天津赛区)如 图,分 别 以 边 长
１
为
的等边三角形 ABC 的顶点为圆心,以其边长为半径作三
个等圆,得交点 D、E,连接 C 交
☉C 于点G,以点 E 为圆
心,EG 长为半径画弧,交边 AB 于点 M ,求 AM 的长．
(第
７
题)∴ ∠MHD＝∠MDH．
∵ M、D、H、E 四点共圆,
∴ ∠HEC＝∠MDH．
∴ ∠MHD＝∠MDH＝∠HEC．
∴ ∠MHC ＝１８０°－ ∠MHD ＝１８０°－
∠HEC＝∠MEH．
∵ ∠CMH＝∠HME,
∴ △CMH∽△HME．
∴
MH
MC ＝
ME
MH ,即 MH２＝MEŰMC．
∴ MA２＝MEŰMC．
又
∠CMA＝∠AME,
∴ △CMA∽△AME．
∴ ∠MCA＝∠MAE．
∴ ∠BHE＋ ∠BAE＝ ∠DHE＋ ∠BAD
＋∠MAE＝ ∠DHE＋ ∠MAC＋ ∠MCA＝
∠DHE＋∠DME＝１８０°．
∴ A、B、H、E 四点共圆．
∴ ∠AEB＝∠AHB．
又
AH⊥BH,
∴ ∠AHB＝９０°．
∴ ∠AEB＝∠AHB＝９０°．
６．(１)∵ AB＝AC,
∴ ∠ABC＝∠C(等边对等角)．
∵ ∠C＝∠D(同弧所对的圆周角相等),
∴ ∠ABC＝∠D(等量代换)．
又
∠BAE＝∠DAB,
∴ △ABE∽△ADB．
(２)∵ △ABE∽△ADB,
∴
AB
AD＝
AE
AB．
∴ AB２＝ADŰAE＝(AE＋ED)ŰAE＝
(２＋４)×２＝１２,
AB＝２ ３．
(３)直线FA 与
☉O 相切,理由如下:连接OA,
(第
６
题)
∵ BD 为
☉O 的直径,
∴ ∠BAD＝９０°．
∴ BD ＝ AB２＋AD２ ＝
(２ ３)２＋(２＋４)２ ＝４ ３,
∴ BF＝BO＝ １
２
BD＝２ ３．
∵ AB＝２ ３,
∴ BF＝BO＝AB．
∴ ∠OAF＝９０°．
∴
直线FA 与
☉O 相切．
７．如图,过点 E 作EP⊥AB,连接 EA、EC,易
得
△EAC 为正三角形,故EC∥AB,
(第
７
题)
∵ CG⊥AB,
∴ EC⊥CG．
∴ EM＝EG＝ ２．
∵ ∠EAP＝６０°,
∴ EP ＝ ３
２ ,AP ＝ １
２ ,PM ＝
EM２－EP２ ＝ ５
２
．
∴ AM＝PM－AP＝ ５－１
２
．
奥 赛 园 地
１．D ２．C ３．B ４．２
５．如图,连接 MH、EH,
(第
５
题)
∵ M 是
Rt△AHD 斜边AD 的中点,
∴ MA＝MH＝MD．
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