一个不注意小事情的人,永远不会成功大事业.———卡耐基
２．圆的对称性
第１课时
轴
对
称
１．能够说出圆的轴对称性质、弧、弦、直径、半径的概念．
２．能够用垂径定理进行有关分析计算．
夯实基础,才能有所突破ƺƺ
１．下列四个命题中,叙述正确的是( )．
A．
平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．
平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦
C．
弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D．
平分一条弧的直线必经过这个圆的圆心
２．下列图形中对称轴最多的是( )．
A．
圆
B．
正方形
C．
等腰三角形
D．
线段
３．一根水平放置的圆柱形 输 水 管 道 横 截 面 如 图 所 示,其 中
有水部分水面宽
０．８
米,最深处水深
０．２
米,则此输水管
道的直径是( )．
(第
３
题)
A．０．４
米
B．０．５
米
C．０．８
米
D．１
米
４．在半径为
２
的圆中,有一条长为
２ ３
的弦,则这条弦与圆
心的距离为
．
５．半径为
５
的
☉O 内有一点P,且 OP＝４,则过点 P 的最短
的弦长是
,最长的弦长是
．
６．如图,D、E 分别是
☉O 的半径OA、OB 上的点,CD⊥OA,
CE⊥OB,且 CD ＝CE,则 弧 长AC︵ 与CB︵ 的 大 小 关 系 是
．
(第
６
题)７．如图,已知
☉O 的半径为
１２cm,弦 AB＝１６cm．
(１)求圆心到弦 AB 的距离;
(２)如果弦 AB 的两个端点在圆周上滑动,那么弦 AB 中
点形成什么样的图形?
(第
７
题)
８．如图,AB 是
☉O 的弦,半径 OC、OD 分别交AB 于点E、
F,且 AE＝BF,CE 与 DF 有 什 么 大 小 关 系? 请 说 明
理由．
(第
８
题)
课内与课外的桥梁是这样架设的.
９．如图,在 圆
☉O 内 有 折 线OABC,其 中 OA＝８,AB＝１２,
∠A＝∠B＝６０°,则BC 的长为( )．
A．１９ B．１６ C．１８ D．２０
(第
９
题)
(第
１０
题)
１０．如图,一圆弧过方格的格点 A、B、C,试在方格中建立平
面直角坐标系,使点 A 的坐标为(－２,４),则该圆弧所在
圆的圆心坐标是( )．
A．(－１,２) B．(１,－１)
C．(－１,１) D．(２,１)
１１．在半径为
２５cm
的
☉O 中,有两条平行的弦,长度分别是
４０cm
与
１４cm,则这两条平行弦之间的距离为
．
１２．如图,☉O 的两条弦AB、CD 互相垂直,垂足为 E,且 AB
＝CD,已知CE＝１,ED＝３,求
☉O 的半径．
(第
１２
题)
１３．如图,将一 个 两 边 都 带 有 刻 度 的 直 尺 放 在 半 圆 形 纸 片
上,使其一边经过圆心 O,另一边所在的直线与半圆相交
于点D、E,量出半径OC＝５cm,弦DE＝８cm．求直尺的宽．
(第
１３
题)少说些漂亮话,多做些日常平凡的事情.———列宁
对未知的探索,你准行!
１４．☉O 外一点 M,OM⊥AB 于点C,AB 是
☉O 的弦,OM 交
AB︵于点D,连接 OA、OB、AM、BM,根据以上条件,写出
三个正确结论．(OA＝OB 除外) ．
(第
１５
题)
１５．如图所示,已知在正方形ABCD 中,点
E 在边DC 上,DE＝２,EC＝１,把线段
AE 绕点A 旋转,使点E 落在直线BC
上的点F 处,则F、C 两点之间的距离
为
．
１６．如 图,在
☉O 中,AB 是 直 径,点 Q 为
AB 上的任意一点,过点 Q 作与AB 相交的弦PR,并且
∠RQB＝４５°,如果 AB＝２r,求 PQ２
＋QR２．
(第
１６
题)１７．如图,已知
☉O 的半径为
１,PQ 是
☉O 的直径,n 个相同
的正三角形沿PQ 排成一列,所有正三角形都关 于 PQ
对称,其中第一个
△A１B１C１
的顶点 A１
与点 P 重合,第
二个
△A２B２C２
的顶点 A２
是 B１C１
与 PQ 的交点,ƺ,最
后一个
△AnBnCn 的顶点Bn、Cn 在圆上．
(１)
(２)
(３)
(第
１７
题)
(１)如图(１),当n＝１
时,求正三角形的边长a１;
(２)如图(２),当n＝２
时,求正三角形的边长a２;
(３)如图(３),求 正 三 角 形 的 边 长an．(用 含n 的 代 数 式
表示)
解剖真题,体验情境.
１８．(２０１２Ű黑龙江哈尔滨)如图,☉O 是
△ABC 的外接圆,∠B
＝６０°,OP⊥AC 于 点 P,OP＝２ ３,则
☉O 的 半 径 为
( )．
A．４ ３ B．６ ３
C．８ D．１２
(第
１８
题)
(第
１９
题)
１９．(２０１２Ű山东淄博)如图,☉O 半径为
２,弦 AB＝２ ３,点 C
在弦AB 上,AC＝ １
４
AB,则OC 的长为( )．
A． ２ B． ３
C．２ ３
３ D． ７
２
２０．(２０１２Ű广 西 河 池)如 图,AB、AC 是
☉O 的 弦,OE⊥AB、
OF⊥AC,垂足 分 别 为 E、F．如 果 EF＝３．５,那 么 BC＝
．
(第
２０
题)２１．(２０１２Ű上海)如图,在半径为
２
的扇形 AOB 中,∠AOB＝
９０°,C 是弧AB 上的一个动点(不与点 A、B 重合)OD⊥
BC,OE⊥AC,垂足分别为 D、E．
(１)当BC＝１
时,求线段OD 的长;
(２)在
△DOE 中是 否 存 在 长 度 保 持 不 变 的 边? 如 果 存
在,请指出并求其长度,如果不存在,请说明理由;
(３)设BD＝x,△DOE 的面积为y,求y 关于x 的函数关
系式,并写出它的定义域．
(第
２１
题)２．圆的对称性
第
１
课时
轴
对
称
１．B ２．A ３．D
４．１ ５．６ １０ ６．相等
７．(１)４ ５cm (２)以 O 为圆心,４ ５cm
为半
径的圆．
８．连接OA、OB．
(第
８
题)则OA＝OB．
∴ ∠OAE＝∠OBF．
∵ AE＝BF,
∴ △OAE≌△OBF．
∴ OE＝OF．
∴ CE＝DF．
９．D １０．C
１１．９cm
或
３９cm
１２．过点O 作OF⊥CD,OG⊥AB,F、G 分别为垂足,连接OD,因为 AB＝CD,所以 OF＝OG,所以四边形OFBG 是正方形,因为CE
＝１,ED＝３,所以CD＝４,FD＝２,OF＝１,
所以OD＝ OF２＋DF２ ＝ １２＋２２ ＝ ５,
即
☉O 的半径是
５．
１３．如图,过点 O 作OM ⊥DE 于点 M ,OM 就
是直尺的宽．连接OD．
∴ DM＝ １
２
DE．
∵ DE＝８,
∴ DM＝４．
在
Rt△ODM 中,
∵ OD＝OC＝５,
∴ OM＝ OD２－DM２ ＝ ５２－４２ ＝３．
∴
直尺的宽度为
３cm．
(第
１３
题)
１４．AC ＝BC,∠AOM ＝ ∠BOM,∠AMO ＝
∠BMO 等．
１５．CF＝１
或
５．
１６．过点O 作OD⊥PR 于点D,连接OP、OR．
(第
１６
题)设OQ＝a,在
Rt△ODQ 中,∠DQO＝４５°,则DQ＝OD
＝ ２
２
a．
在
Rt△ODP 中,有 (PQ＋DQ)２ ＋OD２ ＝OP２．
在
Rt△ODR 中,有 (RQ－DQ)２ ＋OD２ ＝OR２．
则 PQ＋ ２
２
a( )２
＋ ２
２
a( )２
＝r２,
RQ－ ２
２
a( )２
＋ ２
２
a( )２
＝r２．
∴ PQ２＋QR２＝２r２．
７．(１)设 PQ 与B１C１
交于点 D,连接OB１．
则OD＝A１D－OA１＝ ３
２
a１－１．
在
Rt△OB１D 中,OB２１＝B１D２＋OD２,
即
１２＝ １
２
a１( )２
＋ ３
２
a１－１( )２
．
解得a１＝ ３．
(２)设 PQ 与B２C２
交于点E,连接OB２．
则OE＝２A１A２－OA１＝ ３a２－１．
在
Rt△OB２E 中,OB２２＝B２E２＋OE２,
即
１２＝ １
２
a２( )２
＋(３a２－１)２．
解得a２＝８ ３
１３
．
(３)设 PQ 与BnCn 交于点F,连接OBn．
则OF＝ ３
２
nan－１．
在
Rt△OBnF 中,OB２２＝BnF２＋OF２,
即
１２＝ １
２
an( )２
＋ ３
２
nan－１( )２
．
解得an＝ ４ ３n
３n２＋１
．
１８．A １９．D ２０．７
２１．(１)如图(１),∵ OD⊥BC,
(第
２１
题(１))
∴ BD＝ １
２
BC＝ １
２
．
∴ OD＝ OB２－BD２ ＝ １５
２
．
(２)如图(２),存在,DE 是不变的．
(第
２１
题(２))连接 AB,则 AB＝ OB２＋OA２ ＝２ ２,
∵ D 和E 是中点,
∴ DE＝ １
２
AB＝ ２;
(３)如图(３),(第
２１
题(３))
∵ BD＝x,
∴ OD＝ ４－x２ ．
∵ ∠１＝∠２,∠３＝∠４,
∴ ∠２＋∠３＝４５°．
过点 D 作DF⊥OE．
∴ DF＝ ４－x２
２
,EF＝ ２
２
x．
∴ y＝ １
２
DFŰOE＝４－x２＋x ４－x２
４
(０＜x＜ ２)．
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