3.4确定圆的条件·数学北师大版九下-特训班.pdf

世界会给那些有目标和远见的人让路. ４．确定圆的条件 　　１．能够认识只有不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆． ２．能够过不在同一条直线上的三个点作一个圆． ３．能够区分三角形的外接圆、三角形的外心． 　　 夯实基础,才能有所突破ƺƺ １．一定能在同一个圆上的是(　　)． A． 平行四边形的四个顶点 B． 梯形的四个顶点 C． 菱形的四个顶点 D． 矩形的四个顶点 ２．在下列三角形中,外心在它一条边上的三角形是(　　)． A． 三角形的边长分别为 ４cm,６cm,８cm B． 三角形的边长都等于 ５cm C． 三角形的边长分别为 ２cm,２cm,３cm D． 三角形的边长分别为 ６cm,８cm,１０cm ３．有下列四个命题:① 直径是弦;② 经过三个点一定可以作 圆;③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;④ 半 径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有(　　)． A．４ 个 B．３ 个 C．２ 个 D．１ 个 ４．经过一 个 点 可 以 作 　 　 　 　 　 个 圆;经 过 两 点 可 以 作 　　　　 个圆,这些圆心在 　　　　　　 上;经过 　的三点,可以作 　　　　 个圆,并且只能作 　 个圆． ５．锐角三角形的外心在 　 　 　 　;如 果 一 个 三 角 形 的 外 心 在它的一边的中点上,那么该三角形是 　　　　;如果一 个三角形的外心在它的外部,那么该三角形是 　　　　． ６．在 △ABC 中,AB＝５,BC＝１２,AC＝１３,则这个三角形的 外心在 　　　　 上,半径长为 　　　　． ７．已知等边三角形的边长为 ４cm,则这个等边三角形外接 圆的面积为 　　　　． ８．如图,☉O 是 △ABC 的 外 接 圆,AD 是 边BC 上 的 高,若 BD＝８,CD＝３,AD＝６,求 ☉O 的面积． (第 ８ 题) ９．在 △ABC 中,BC＝２４cm,外心O 到BC 的距离为 ６cm,求 △ABC 外接圆的半径． 　　 课内与课外的桥梁是这样架设的. １０．等边三角形的外接圆半径等于边长的(　　)． A． ３ ２ B． ３ ３ C． ３ D．１ ２ １１．下列命题中,假命题的个数是(　　)． ① 三角形只有一个外接圆; ② 等边三角形 的 外 心 也 是 它 的 三 条 中 线、高 线、角 平 分 线的交点; ③ 圆有且只有一个内接三角形; ④ 三角形的外心一定在三角形的内部． A．０ B．１ C．２ D．３ １２．在半径为 ５cm 的圆中内接一个等腰三角形,等腰三角形 的底边长为 ８cm,求等腰三角形的腰长． １３．如图,AB＝５cm,∠C＝３０°,求 △ABC 的外接圆的直径． (第 １３ 题) １４．如图,BD、CE 是 △ABC 的高,求证:B、C、D、E 四点在同 一个圆上． (第 １４ 题)广博的才智,丰富的想象力,活跃的心灵,这就是天才.———狄德罗 　　 对未知的探索,你准行! １５．如图,已知直线l和点A、B,求作 ☉O,使它经过 A、B 两 点,且圆心O 在直线l上,写出作法,并保留作图痕迹． (第 １５ 题) １６．在钝角三角 形 ABC 中,AD⊥BC,垂 足 为 D,且 AD 与 DC 的长度分别为 方 程x２ －７x＋１２＝０ 的 两 个 根,☉O 是 △ABC 的外接圆．如果BD 的长为a(a＞０),求 △ABC 的外接圆 ☉O 的面积． １７．如图,等边 △ABC 为一花坛,现要将其改为圆形花坛覆 盖在 △ABC 上,且使其占地面积最小． (１)请你帮忙设计方案,并画出该圆形花坛; (２)若等边三角形的边长为 ６,求(１)中圆的半径． (第 １７ 题) １８．如图,△ABC 内接于 ☉O,AB＝６,AC＝４,D 是边AB 上 一点,P 是优弧BAC 的中点,连接 PA、PB、PC、PD． (１)当BD 的长度为多少时,△PAD 是以AD 为底边的 等腰三角形? 并证明; (２)在(１)的条件下,若 cos∠PCB＝ ５ ５ ,求 PA 的长． (第 １８ 题) 　　 解剖真题,体验情境. １９．(２０１２Ű浙江杭州)如图,是数轴的 一 部 分,其 单 位 长 度 为 a,已知 △ABC 中,AB＝３a,BC＝４a,AC＝５a． (１)用直尺 和 圆 规 作 出 △ABC(要 求:使 点 A,C 在 数 轴 上,保留作图痕迹,不必写出作法); (２)记 △ABC 的外接圆的面积为S圆 ,△ABC 的面积 为 S△ ,试说明S圆 S△ ＞π． (第 １９ 题)４．确定圆的条件 １．D　２．D　３．B ４．无数 　 无数 　 这两点线段的垂直平分线 不在同一直线上 　１　１ ５．三角形内部 　 直角三角形 　 钝角三角形 ６．AC　６．５　７．１６ ３πcm２ ８．在 Rt△ADC 中,AC＝ ３２＋６２ ＝３ ５, 在 Rt△ADB 中,AB＝ ６２＋８２ ＝１０． 连接OA、OB,过点O 作OE⊥AB,垂足为E,则 AE＝ １ ２ AB＝５, ∠ACD＝ １ ２ ∠AOB＝∠AOE, ∴　△AEO∽△ADC． ∴　 AE AD＝ OA AC,即 ５ ６ ＝ OA ３ ５ , ∴　OA＝５ ５ ２ ． ∴　☉O 的面积S＝１２５ ４ π． ９．６ ５cm　１０．B　１１．C １２．如图,OB＝５,BC＝８, (第 １２ 题)连接 AO 并 延 长 交 BC 于 点 D,则 AD⊥ BC,BD＝ １ ２ BC＝４, ∴　OD＝３,AD＝８． 在 Rt△ADB 中, AB＝ ４２＋８２ ＝４ ５(cm)． １３．连接BO、AO, ∵　∠C＝３０°, ∴　∠AOB＝６０°． 又 　OA＝OB, ∴　△OAB 为等边三角形． ∴　OA＝AB＝５． ∴　△ABC 的外接圆的直径为 １０cm． １４．取BC 的中点O,分别连接OE、OD． 在 Rt△BEC 中,OE＝ １ ２ BC． 在 Rt△BDC 中,OD＝ １ ２ BC, 所以 　OB＝OE＝OD＝OE． 故B、C、D,E 四点在以点O 为圆心、OB 长 为半径的圆上． １５．作法:(１)作线段 AB 的中垂线交直线l 于 点O; (２)以 O 为 圆 心,OA 为 半 径 作 圆 即 为 所 求．(图略) １６．∵　AD、DC 的长分别是方程x２－７x＋１２ ＝０ 的两根, ∴　AD＝３,DC＝４ 或 AD＝４,DC＝３． 连接AO 并延长交 ☉O 于点E,连接BE,则 ∠ABE＝９０°． 又 　∠E＝∠C, ∴　△ABE∽△ADC． ∴　 AB AD＝ AE AC,即 AE＝ AB ADŰAC． (１)当 AD＝３,DC＝４ 时,AB＝ ９＋a２ ． 此时,AE＝ ５ ３ ９＋a２ ,S☉O＝２５ ３６(９＋a２)π． (２)当 AD＝４,DC＝３ 时,AB＝ １６＋a２ , 此时,AE＝ ５ ４ １６＋a２ ,S☉O ＝２５ ６４(１６＋ a２)π． １７．(１)作过 A、B 、C 三点的圆(图略) (２)２ ３ １８．(１)当BD＝AC＝４ 时,△PAD 是以AD 为 底边的等腰三角形．证明如下: ∵　P 是优弧BAC 的中点, ∴　PB︵＝PC︵． ∴　PB＝PC． ∵　BD＝AC＝４,∠PBD＝∠PCA, ∴　△PBD≌△PCA． ∴　PA＝PD,即 △PAD 是以AD 为底边 的等腰三角形． (２)由 (１)可 知,当 BD＝４ 时,PD＝PA, AD＝AB－BD＝６－４＝２．过 点 P 作PE ⊥AD,垂足为E,则 AE＝ １ ２ AD＝１． ∵　∠PCB＝∠PAD, ∴　cos∠PAD＝cos∠PCB＝ AE PA＝ ５ ５ ． ∴　PA＝ ５． １９．(１)如图所示． (第 １９ 题) (２)∵　△ABC 的外接圆的面积为S圆 , ∴　S圆 ＝π× AC ２ ( )２ ＝２５a２ ４ π． △ABC 的 面 积 S△ABC ＝ １ ２ ×３a×４a＝６a２, ∴　＝ S圆 S△ ＝ π２５ ４ a２ ６a２ ＝２５π ２４＞π．