爱是阳光,恨是阴影,人生是光影的交错.———朗费罗
第３课时
切线的证明与应用
１．能利用切线的性质进行有关计算推理．
２．能区分三角形的内心、外心的有关性质．
夯实基础,才能有所突破ƺƺ
１．如图,圆心O 在边长为
２
的正方形 ABCD 的对角线BD
上,☉O 过点B 且与AD、DC 边均相切,则
☉O 的半径是
( )．
A．２(２－１) B．２(２＋１)
C．２ ２－１ D．２ ２＋１
(第
１
题)
(第
２
题)
２．如图,☉O 的半径为
２,点 A 的坐标为(２,２ ３),直线 AB
为
☉O 的切线,B 为切点．则点B 的坐标为( )．
A． ３
２ ,８
５
æ
è
ç ö
ø
÷
B．(－ ３,１)
C． ４
５ ,９
５
( ) D．(－１,３)
３．I是
△ABC 内心,∠A＝５０°,则
∠BIC＝ ．
４．如图,A、B 是
☉O 上的两点,AC 是过点A 的一条直线,如
果
∠AOB＝１２０°,那么当
∠CAB 的度数等于
时,
AC 才能成为
☉O 的切线．
(第
４
题)
(第
５
题)５．在
Rt△ABC 中,∠C＝９０°,AC＝６,BC＝８,则
△ABC 的内
切圆半径r＝ ．
课内与课外的桥梁是这样架设的.
６．已 知
☉O 的 面 积 为
６４πcm
２,它 的 一 条 弦 AB 长 为
８ ３cm,则以
８cm
为直径的同心圆与 AB 的位置关系是
( )．
A．
相离
B．
相交
C．
相切
D．
无法确定
７．在
△ABC 中,∠A＝９０°,AC＝３,AB＝４,☉O 的 圆 心 在
BC 上,且 与 AB、AC 分 别 相 切 于 D、E,则
☉O 的 半 径 为
( )．
A．１２
７ B．７
１２
C．７
２ D．２ ３
８．如 图,在 边 长 为
２
的 正 方 形 ABCD 中,E、F、O 分 别 是
AB、CD、AD 的中点,以O 为圆心、OE 为半径画弧EF．P
是EF︵上的一个动点,连 接 OP,并 延 长 OP 交 线 段BC 于
点K,过点 P 作
☉O 的切线,分别 交 射 线 AB 于 点 M ,交
直线BC 于点G．若BG
BM ＝３,则BK＝ ．
(第
８
题)９．在
Rt△ABC 中,∠C＝９０°,AC＝４,BC＝３,求
△ABC 的外
接圆的半径R 和内切圆的半径r．
１０．如图,AB 是
☉O 的直径,点 C 在
☉O 上,过点 C 的直线
与AB 的延长线交于点P,AC＝PC,∠COB＝２∠PCB．
(１)求证:PC 是
☉O 的切线;
(２)求证:BC＝ １
２
AB;
(３)M 是弧AB 的中点,CM 交AB 于点N,若 AB＝４,求
MNŰMC 的值．
(第
１０
题)生活的道路一旦选定,就要勇敢地走到底,决不回头.———左拉
对未知的探索,你准行!
１１．下面的一道 题 目 出 自 一 本 数 学 复 习 资 料,“已 知
△ABC
的面积S＝１８,周长C＝１２,求
△ABC 的内切圆半径”．
(１)你会解这道题目吗? 写出解题过程．
(２)根据你所得 到 的 答 案,你 认 为 题 目 中 给 出 的 已 知 条
件是否合理? 为什么?
１２．△ABC 中,BC＝a,AC＝b,AB＝c,∠BAC＝６０°,并且满
足a２
＝b２
＋c２
－２bcŰcosA,b,c是方程
３x２
－１２x＋７＝０的两根,求a和
△ABC 内切圆的半径．
１３．如图(１)(２)所示,图(１)是一个小朋友玩“滚铁 环”的 游
戏,铁环是圆形的,铁环向前滚动时,铁环钩保持与铁环
相切,将这个游戏抽象为数学问题,如图(２)．
已知铁环的半径为
５
个单位(每个单位为
５cm),设铁环
中心为O,铁环钩 与 铁 环 相 切 点 为 M,铁 环 与 地 面 接 触
点为 A,∠MOA＝α且
sinα＝ ３
５
．
(１)求点 M 离地面AC 的高度BM(单位:cm);
(２)设人站立点 C 与点A 的水平距离AC 等于
１１
个单
位,求铁环钩 MF 的长度(单位:cm)
(１)
(２)
(第
１３
题)
解剖真题,体验情境.
１４．(２０１２Ű湖北鄂州)如图,梯形ABCD 是等腰梯形,且AD∥
BC,O 是腰CD 的中点．以 CD 长为直径作圆,交 BC 于
点E,过E 作EH ⊥AB 于点 H ．
(１)求证:OE∥AB;
(２)若EH＝ １
２
CD,求证:AB 是
☉O 的切线;
(３)若BE＝４BH,求BH
CE 的值．
(第
１４
题)
１５．(２０１２Ű辽宁丹东)如图,在
△ABC 中,∠BAC＝３０°,以 AB
为直径的
☉O 经过点C．过点 C 作
☉O 的切线交AB 的
延长线于点P．点 D 为圆上一点,且BC︵＝CD︵,弦 AD 的
延长线交切线PC 于点E,连接BC．
(１)判断OB 和BP 的数量关系,并说明理由;
(２)若
☉O 的半径为
２,求 AE 的长．
(第
１５
题)第
３
课时
切线的证明与应用
１．A ２．D
３．１１５° ４．６０° ５．２
６．C ７．A
８．１
３
或 ５
３
９．∵ ∠ACB＝９０°,
∴ AB 是
△ABC 的外接圆的直径,
AB＝ AC２＋BC２ ＝５．
∴ R＝ ５
２
．
(第
９
题)
如图,设点I 为
△ABC 的内心,分别 过 点I
作ID⊥AC,IE⊥BC,IF⊥AB,垂足依次为
D、E、F,则ID＝IE＝IF．连接AI,则
△ADI
≌△AFI,
∴ AD＝AF．
同理可得CD＝CE,BF＝BE．
易知四边形 DCEI是正方形,若设
△ABC 的内切圆的半径为r,则
AF＝AD＝４－r,BF＝BE＝３－r,
∴ (４－r)＋(３－r)＝５．
∴ r＝１．
∴ △ABC 的内切圆的半径为
１．
１０．(１)∵ OA＝OC,
∴ ∠A＝∠ACO．
∵ ∠COB＝２∠A,∠COB＝２∠PCB,
∴ ∠A＝∠ACO＝∠PCB．
∵ AB 是
☉O 的直径,
∴ ∠ACO＋∠OCB＝９０°．
∴ ∠PCB＋∠OCB＝９０°,即OC⊥CP．
∵ OC 是
☉O 的半径,
∴ PC 是
☉O 的切线．
(２)∵ PC＝AC,
∴ ∠A＝∠P．
∴ ∠A＝∠ACO＝∠PCB＝∠P．
∵ ∠COB＝∠A＋∠ACO,
∠CBO＝∠P＋∠PCB．
∴ ∠CBO＝∠COB．
∴ BC＝OC．
∴ BC＝ １
２
AB．
(３)８．
１１．(１)如 图,连 接 OD、OE、OF、OA、OB、OC,则S△ABC ＝S△AOB ＋S△BOC ＋S△AOC,
即S＝ １
２
ar＋ １
２
br＋ １
２
cr＝ １
２ (a＋b＋c)
r＝ １
２
Cr．
∴ r＝２S
C ＝２×１８
１２ ＝３．
(第
１１
题)(２)题目所给的条件不合理．
∵
由r＝３
时,三 角 形 内 切 圆 的 面 积 为
πr２＝９π,而
９π＞１８,这是不可能的,
∴
题目给的条件不合理．
１２．设O 为
△ABC 的内心,作 OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为 D、E,连接OA．
∵ b,c是方程
３x２－１２x＋７＝０
的两根,
∴ b＋c＝４,bc＝ ７
３
．
又
a２＝b２＋c２－２bcŰcos∠BAC,∠BAC
＝６０°,
∴ a２ ＝(b＋c)２－２bc－２bcŰcos６０°
＝４２－２× ７
３ －２× ７
３ × １
２
＝９．
而
a＞０,
∴ a＝３．
∵ O 是
△ABC 的内心,
∴ OD、OE 是
☉O 的半径．
又
∠ADO＝∠AEO＝９０°,OD＝OE,
OA＝OA,
∴ Rt△ADO≌Rt△AEO．
又
∠BAC＝６０°,
∴ ∠DAO＝３０°．
∴ OD＝ADŰtan３０°．
又
AD＝
b＋c－a
２ ＝ １
２ ,
∴ OD＝ １
２ × ３
３ ＝ ３
６
．
∴ a的值为
３,△ABC内切圆的半径为 ３
６
．
１３．过 M 作与AC 平行的直 线,与 OA,FC 分
别相交于 H ,N,
(１)在
Rt△OHM 中,∠OHM＝９０°,OM＝
５(单位),HM＝OM×sinα＝３(单位),
∴ OH＝４,
MB＝HA＝５－４＝１(单位)．
MB＝１×５＝５(cm)．
(第
１３
题)
(２)∵ ∠MOH ＋ ∠OMH ＝ ∠OMH ＋
∠FMN＝９０°,
∴ ∠FMN＝∠MOH＝α．
∴
FN
FM ＝sinα＝ ３
５
．
即得FN＝ ３
５
FM．
∴ Rt△FMN 中,∠FNM＝９０°MN＝BC＝AC－AB＝１１－３＝８(单位)．
由勾股定理FM２＝FN２＋MN２,即 FM２＝
３
５
FM( )２
＋８２．
解得FM＝１０(单位)．
∴ FM＝１０×５＝５０(cm)．
１４．(１)∵
等腰梯形 ABCD,
∴ AB＝CD,∠B＝∠C．
又
OE＝OC,
∴ ∠１＝∠C．
∴ ∠１＝∠B,
∴ OE∥AB．
(２)过点O 作OG⊥AB 于点G．
∵ EH⊥AB,
∴ OG∥EH．
又
OE∥AB,
∴
四边形OGHE 是平行四边形．
∴ EH＝OG．
又
EH＝ １
２
CD,
∴ OG＝ １
２
CD,CD 为直径．
∴ OG 是
☉O 为半径,又
OG⊥AB,
∴ AB 是
☉O 的切线．
(３)连接 DE,∵ DC 为直径,
∴ ∠DEC＝９０°．
设BH＝x, ∵ BE＝４BH,
∴ BE＝４x．
由勾股定理EH＝ (４x)２－x２ ＝ １５x,
又
EH＝ １
２
DC,
∴ DC＝２ １５x．
∵ ∠B＝∠C,
∴ Rt△BEH∽Rt△CDE．
∴
BH
CE ＝
BE
DC＝ ４x
２ １５x＝２ １５
１５
．
(第
１４
题)１５．(１)OB＝BP．
理由:连接OC,∵ PC 切
☉O 于点C,
(第
１５
题)
∴ ∠OCP＝９０°．
∵ OA＝OC,∠OAC＝３０°,
∴ ∠OAC＝∠OCA＝３０°．
∴ ∠COP＝６０°．
∴ ∠P＝３０°．
在
Rt△OCP 中,OC＝ １
２
OP＝OP＝BP．
(２)由(１),得OB＝ １
２
OP,
∵ ☉O 的半径是
２,
∴ AP＝３OB＝３×２＝６．
∵ BC︵＝CD︵,
∴ ∠CAD＝∠BAC＝３０°．
∴ ∠BAD＝６０°．
∵ ∠P＝３０°,
∴ ∠E＝９０°．
在
Rt△AEP 中,
AE＝ １
２
AP＝ １
２ ×６＝３．
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