3.8圆锥的侧面积·数学北师大版九下-特训班.pdf

试看将来的环球,必是赤旗的世界! ———李大钊 ８．圆锥的侧面积 　　１．能够推导出圆锥的侧面积计算公式． ２．能够应用圆锥的侧面积公式解决实际问题． 　　 夯实基础,才能有所突破ƺƺ １．小刚用一张半径为 ２４cm 的扇形纸板做一个如图所示的 圆锥形小丑帽子侧面(接 缝 忽 略 不 计),如 果 做 成 的 圆 锥 形小丑帽子的底面半径为 １０cm,那么这张扇形纸板的面 积是(　　)． A．１２０πcm ２ B．２４０πcm ２ C．２６０πcm ２ D．４８０πcm ２ (第 １ 题) 　　 (第 ２ 题) ２．如图,从一个直径为 ２ 的 圆 形 铁 皮 中 剪 下 一 个 圆 心 角 为 ６０° 的扇形 ABC,将剪下 来 的 扇 形 围 成 一 个 圆 锥,则 圆 锥 的底面圆半径为(　　)． A．１ ３ B． ３ ６ C． ３ ３ D． ３ ４ ３．如图,△ABC 是 一 个 圆 锥 的 左 视 图,其 中 AB＝AC＝５, BC＝８,则这个圆锥的侧面积是(　　)． (第 ３ 题) A．１２π B．１６π C．２０π D．３６π ４．若一个圆锥的母线长是 ５cm,底面半径是 ３cm,则它的侧 面展开图的面积是 　　　　cm ２． ５．已知圆锥的高是 ３０cm,母线长是 ５０cm,则圆锥的侧面积 是 　　　　． ６．已知一个扇形的半径为 ３０cm,圆心角为 １２０°,若用它做 一个圆锥侧面,则这个圆锥的底面半径是 　　　　cm． ７．已知一个圆锥的侧面展开图是半径为r的半圆,则这个圆 锥的全面积是 　　　　． ８．一个扇形如图所示,其半径为 ３０cm,圆心角为 １２０°,用它 做成圆锥的侧面．求: (１)圆锥的底面半径和锥角; (２)圆锥的体积和与圆锥同底等高的圆柱的体积; (３)圆锥与圆柱接在一起的全面积． (第 ８ 题) 　　 课内与课外的桥梁是这样架设的. ９．在 △ABC 中,∠A＝９０°,AB＝３,AC＝４,把 Rt△ABC 绕 直线 AC 旋 转 一 周 得 到 一 个 圆 锥,其 全 面 积 为 S１;把 Rt△ABC绕直线AB 旋 转 一 周 得 到 另 一 个 圆 锥,其 全 面 积为S２．则S１∶S２ 等于(　　)． A．２∶３ B．３∶４ C．４∶９ D．３９∶５６ １０．一个圆锥的零件,如果经过圆锥的轴的剖面是一个边长 为 ４cm 的等边三角形,那么圆锥的全面积是(　　)． A．８πcm ２ B．１０πcm ２ C．１２πcm ２ D．１πcm ２ １１．粮仓的顶部是圆锥形,这个圆锥底面周长为 ３２m,母线 长为 ７m,为防雨需要在粮仓顶部铺上油毡,则至少需油 毡 　　　　m ２． １２．如图,在 ☉O 中,AB＝２ ３,AC 是 ☉O 的直径,AC⊥BD 于点F,∠ABD＝６０°． (１)求图中阴影部分的面积; (２)若用阴影部分 围 成 一 个 圆 锥 侧 面,请 求 出 这 个 图 锥 的底面圆的半径． (第 １２ 题)知识是一种快乐,而好奇则是知识的萌芽.———培根 　　 对未知的探索,你准行! １３．将半径为 ４cm 的半圆围成一个圆锥,在圆锥内接一个圆 柱(如图),当圆 柱 的 侧 面 的 面 积 最 大 时,圆 柱 的 底 面 半 径是 　　　　cm． (第 １３ 题)１４．如图,圆锥底面半径为r,母线长为 ３r,底面圆周上有一 蚂蚁位于点 A,它从点 A 出发沿圆锥面爬行一周后又回 到原出发点,请 你 给 它 指 出 一 条 爬 行 最 短 的 路 径,并 求 出最短路径． (第 １４ 题) １５．在一次科学探究实验中,小明将半径为 ５cm 的圆形滤纸 片按图(１)所示的步骤进行折叠,并围成圆锥形． (１)取一漏斗,上部的圆锥 形 内 壁(忽 略 漏 斗 管 口 处)的 母线OB 长为 ６cm,开口圆的直径为 ６cm．当滤纸片 重叠部分为三层,且每层为 １ ４ 圆时,滤纸围成的圆锥 形放入该漏斗中,能否紧贴此漏斗的内壁(忽略漏斗 管口处),请你用所学的数学知识说明; (２)假设有一特殊规格的漏斗,其母线长为 ６cm,开口圆 直径为 ７．２cm,现将同样大小的 滤 纸 围 成 重 叠 部 分 为三层的 圆 锥 形,放 入 此 漏 斗 中,且 能 紧 贴 漏 斗 内 壁．问重叠部分每层的面积为多少? (１) (２) (第 １５ 题) 　　 解剖真题,体验情境. １６．(２０１２Ű贵州铜仁)小红要过生日 了,为 了 筹 备 生 日 聚 会, 准备自己动手用纸板制作一个底面半径为 ９cm,母线长 为 ３０cm 的圆锥形生日礼帽,则这个圆锥形礼帽的侧面 积为(　　)． A．２７０πcm ２ B．５４０πcm ２ C．１３５πcm ２ D．２１６πcm ２ １７．(２０１２Ű黑龙江齐齐哈尔)用半径为 ９,圆心角为 １２０° 的扇形 围成一个圆锥,则圆锥的高为 　　　　． １８．(２０１２Ű四川攀枝花)底面半径为 １,高为 ３ 的圆锥的侧面 积等于 　　　　． １９．(２０１２Ű四川成都)一个几何体由圆锥和圆柱组成,其尺寸 如图所示,求该 几 何 体 的 全 面 积．(即 表 面 积)(结 果 保 留 π) (第 １９ 题)° ８．圆锥的侧面积 １．B　２．B　３．C ４．１５π　５．２０００πcm２　６．１０　７．３ ４πr２ ８．(１)如图,设扇形 ASB 的弧长为l, 则l＝１２０π×３０ １８０ ＝２０π(cm)． 设由扇形围 成 的 圆 锥 底 面 半 径 为r,则 ２πr ＝l,即 ２πr＝２０π,从而r＝１０． ∴　sin∠OSA＝ OA SA ≈０．３３３３． 由计算器,得 ∠OSA≈１９°２８′． ∴　 锥角α＝３８°５６′． (２)由勾股定理,得 OS ＝ SA２－OA２ ＝ ９００－１００ ＝２０ ２≈２８．２８． ∴　V圆锥 ＝ １ ３ Sh ＝ １ ３ Űπr２ŰOS ＝ １ ３π×１００×２８．２８ ≈２９６１．４７(cm３), V圆柱 ＝Sh＝π×１００×２８．８ ≈８８８４．４２(cm３)． (３)S表 ＝S锥侧 ＋S柱侧 ＋S底 ＝１２０π×３０２ ３６０ ＋２π×１０×２８．２８＋π× １０２ ＝９６５．６π≈３０３３．５２(cm２)． ９．A　１０．C　１１．１１２ １２．(１)过点O 作OE⊥AB,垂足为E,则EB＝ １ ２ AB＝ ３． ∵　∠ABD＝６０°,AC⊥BD, ∴　∠A＝３０°． 在 Rt△AEO 中,cos３０°＝ AE OA, ∴　OA＝ AE cos３０°＝ ３ ３ ２ ＝２． 又 　OA＝OB, ∴　∠ABO＝３０°． ∴　∠BOC＝６０°． ∵　AC⊥BD, ∴　BC︵＝CD︵． ∴　∠COD＝∠BOC＝６０°． ∴　∠BOD＝１２０°． ∴　S阴影 ＝１２０πŰOA２ ３６０ ＝１２０ ３６０π×２２ ＝ ４ ３π． (２)设圆锥的底面圆的半径为r,则周长为 ２πr． ∴　２πr＝１２０ １８０π×２． ∴　r＝ ２ ３ ． １３．１ １４．如图,将圆锥沿母线 OA 剪开,并 展 开,则线段 AA′即为所求的最短路径． (第 １４ 题) ∵　 圆锥未剪开前其底面周长为 ２πr,圆锥剪开后,其侧面为扇形,该扇形的弧长 为 n １８０πl,且l＝３r, ∴　２πr＝ n １８０π３r． ∴　n＝１２０°． 过点O 作OD⊥AA′,垂足为 D． ∴　△OAD 为直角三角形． ∵　OA＝OA′,∠AOA′＝１２０°, ∴　AD＝ １ ２ AA′,∠OAD＝３０°． ∴　OD＝ １ ２ OA＝ ３ ２ r． 又 　AD ＝ OA２－OD２ ＝ (３r)２－ ３ ２ r( )２ ＝ ３ ２ ３r． ∴　AA′＝２AD＝３ ３r． ∴　 最短路径为 ３ ３r． １５．(１)∵　 表面紧贴的两圆锥形的侧面展开 图为圆心角相同的两扇形, ∴　 表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心 角是否相等． (第 １５ 题)由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧 贴漏斗内壁,故只考虑该滤纸 圆 锥 最 外 层 的侧面和漏斗内壁圆锥侧面 的 关 系．将 圆 形滤纸片按题中图示的步骤折成四层且每 层为 １ ４ 圆,则 围 成 的 圆 锥 形 的 侧 面 积 ＝ １－２× １ ４ ( ) ŰS滤纸圆 ＝ １ ２ S滤纸圆． ∴　 它的侧面展开图是半 圆,其 圆 心 角 为 １８０°． 如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展 开,展开的扇形弧长为 π×６＝６π(cm)． 该侧面展开图的圆心角为 ６π÷６×１８０° π ＝ １８０°． 由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇 形,它们的圆心角相等． ∴　 该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内 壁． (２)如果抽象地将母线长为 ６cm,开口圆直 径为 ７．２cm 的 特 殊 规 格 的 漏 斗 内 壁 圆 锥 侧面展开,得到的扇形弧长为 ７．２πcm,圆 心角为 ７．２π÷６×１８０° π ＝２１６°． ∵　 若滤纸片紧贴漏斗壁,其 围 成 圆 锥 的 最外层侧面展开图的圆心角也应为 ２１６°,又重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积 减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积 的差的一半, ∴　 滤纸 重 叠 部 分 每 层 的 面 积 ＝ (２５π－ ２１６ ３６０×２５π)÷２＝５π(cm２)． １６．A　１７．６ ２　１８．２π １９．圆锥的母线长是 ３２＋４２ ＝５． 圆锥的侧面积是 １ ２ ×８π×５＝２０π, 圆柱的侧面积是 ８π×４＝３２π． 几何体的下底面面积是:π×４２＝１６π则该几何体的全面积(即表面积)为 ２０π＋ ３２π＋１６π＝６８π．