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专题限时集训(十一) 直线与圆
(对应学生用书第139页)
[建议A、B组各用时：45分钟]
[A组 高考达标]
一、选择题
1．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．2
C [圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为C(2,1)，半径为r＝2，因此2＋a×1－1＝0，所以a＝－1，从而A(－4，－1)，
|AB|＝＝＝6.]
2．已知圆x2＋y2＋mx－＝0与抛物线y＝x2的准线相切，则m＝( )
【导学号：68334121】
A．±2 B．±
C. D.
B [抛物线的准线为y＝－1，将圆化为标准方程得2＋y2＝，圆心到准线的距离为1＝⇒m＝±.]
3．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上运动，则AB的中点M到原点的距离最小值为( )
A. B．2
C．3 D．4
C [由题意知AB的中点M的集合为到直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0的距离相等的直线，则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在的直线方程为：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得，
＝，解得m＝－6，即l：x＋y－6＝0，再根据点到直线的距离公式得点M到原点的距离的最小值为＝3.]
4．已知圆心在原点，半径为R的圆与△ABC的边有公共点，其中A(4,0)，B(6,8)，C(2,4)，则R的取值范围是( ) 【导学号：68334122】
A. B．[4,10]
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C．[2，10] D.
A [由图形(图略)可得当圆与AC边相切时，R取得最小值，直线AC的方程为2x＋y－8＝0，则由点到直线的距离公式可得Rmin＝.当圆经过点B时，R取得最大值，则Rmax＝10，所以R的取值范围是，故选A.]
5．两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为( )
A．1 B．3
C. D.
A [x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0，即(x＋a)2＋y2＝4，x2＋y2－4by－1＋4b2＝0，即x2＋(y－2b)2＝1，依题意可得，两圆外切，则两圆心距离等于两圆的半径之和，则＝1＋2＝3，即a2＋4b2＝9，
所以＋＝
＝≥＝1，
当且仅当＝即a＝±b时取等号，故选A.]
二、填空题
6．已知⊙O：x2＋y2＝1，若直线y＝kx＋2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是________．
(－∞，－1]∪[1，＋∞) [因为圆心为O(0,0)，半径R＝1.
设两个切点分别为A，B，
则由题意可得四边形PAOB为正方形，
故有PO＝R＝，
由题意知圆心O到直线y＝kx＋2的距离小于或等于PO＝，即≤，即1＋k2≥2，解得k≥1或k≤－1.]
7．设点P在直线y＝2x＋1上运动，过点P作圆(x－2)2＋y2＝1的切线，切点为A，则切线长|PA|的最小值是________．
2 [圆心C(2,0)到直线2x－y＋1＝0的距离d＝，所以|PA|＝≥＝2.]
8．若直线l1：y＝x＋a和直线l2：y＝x＋b将圆(x－1)2＋(y－2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.
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18 [由题意得直线l1：y＝x＋a和直线l2：y＝x＋b截得圆的弦所对圆周角相等，皆为直角，因此圆心到两直线距离皆为r＝2，即＝＝2⇒a2＋b2＝(2＋1)2＋(－2＋1)2＝18.]
三、解答题
9．已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)．
(1)求过点A的圆的切线方程；
(2)O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S.
[解] (1)由圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，配方得(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆心C(2,3). 2分
当斜率存在时，
设过点A的圆的切线方程为y－5＝k(x－3)，
即kx－y＋5－3k＝0.
由d＝＝1，得k＝. 4分
又斜率不存在时直线x＝3也与圆相切， 5分
故所求切线方程为x＝3或3x－4y＋11＝0. 6分
(2)直线OA的方程为y＝x，即5x－3y＝0， 8分
点C到直线OA的距离为d＝＝. 12分
又|OA|＝＝，∴S＝|OA|d＝. 15分
10．已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；
(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．
[解] (1)如图所示，
|AB|＝4，将圆C方程化为标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝16， 2分
所以圆C的圆心坐标为(－2，6)，半径r＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，
所以|AD|＝2，|AC|＝4，C点坐标为(－2,6)．
在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.
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若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.
由点C到直线AB的距离公式：＝2，得k＝.
故直线l的方程为3x－4y＋20＝0. 4分
直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0. 6分
所以所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.10分
(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，
则CD⊥PD，即·＝0，
所以(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，12分
化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0. 15分
[B组 名校冲刺]
一、选择题
1．已知圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9，点P(2,2)是该圆内一点，过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是( )
【导学号：68334123】
A．3 B．4
C．5 D．6
D [依题意，圆的最长弦为直径，最短弦为过点P垂直于直径的弦，所以|AC|＝2×3＝6.因为圆心到BD的距离为＝，所以|BD|＝2＝2.则四边形ABCD的面积为S＝×|AC|×|BD|＝×6×2＝6.故选D.]
2．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为( )
A. B．5
C．2 D．10
B [由题意，知圆心M的坐标为(－2，－1)，所以－2a－b＋1＝0.
因为(a－2)2＋(b－2)2表示点(a，b)与(2,2)的距离的平方，
而的最小值为＝，所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5.故选B.]
3．命题p：4＜r＜7，命题q：圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2(r＞0)上恰好有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1，则p是q的( )
A．充分不必要条件
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B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [因为圆心(3，－5)到直线4x－3y＝2的距离等于5，所以圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上恰好有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1时，4＜r＜6，所以p是q的必要不充分条件．]
4．已知直线x＋y－k＝0(k＞0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O为坐标原点，且有|＋|≥||，则k的取值范围是( )
A．(，＋∞) B．[，2)
C．[，＋∞) D．[，2)
B [由已知得圆心到直线的距离小于半径，即＜2，
由k＞0，得0＜k＜2. ①
如图，又由|＋|≥
||，得|OM|≥|BM|⇒∠MBO≥，因|OB|＝2，所以|OM|≥1，
故≥1⇒k≥. ②
综①②得≤k＜2.]
二、填空题
5．已知直线x＋y－a＝0与圆x2＋y2＝2交于A，B两点，O是坐标原点，向量，满足|2－3|＝|2＋3|，则实数a的值为________.
【导学号：68334124】
± [由|2－3|＝|2＋3|得
·＝0，即OA⊥OB，则直线x＋y－a＝0过圆x2＋y2＝2与x轴，y轴正半轴或负半轴的交点，故a＝±.]
6．(2017·浙江省五校高三联考)已知圆C：x2＋(y＋1)2＝3，设EF为直线l：y＝2x＋4上的一条线段，若对于圆C上的任意一点Q，∠EQF≥，则|EF|的最小值是________．
2(＋) [欲求|EF|的最小值，由于直线l固定，故只需求∠EQF＝时的|EF
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|的最小值．设圆C上的任意一点Q到直线的距离为t，|EF|＝＋＝ttan∠QEF＋≥2t(当且仅当∠QEF＝时，取等号)，所以只需求t的最大值，由于tmax为圆心C(0，－1)到直线l：y＝2x＋4的距离d加上圆的半径，如图所示．因为圆C(0，－1)到直线l：y＝2x＋4的距离为d＝＝，所以tmax＝＋，所以|EF|的最小值是(2＋)．
]
三、解答题
7．已知半径为2，圆心在直线y＝－x＋2上的圆C.
(1)当圆C经过点A(2,2)，且与y轴相切时，求圆C的方程；
(2)已知E(1,1)，F(1，－3)，若圆C上存在点Q，使|QF|2－|QE|2＝32，求圆心的横坐标a的取值范围．
[解] (1)∵圆心在直线y＝－x＋2上，半径为2，
∴可设圆的方程为(x－a)2＋[y－(－a＋2)]2＝4， 2分
其圆心坐标为(a，－a＋2)．
∵圆C经过点A(2,2)，且与y轴相切，
∴有
解得a＝2， 4分
∴圆C的方程是(x－2)2＋y2＝4. 5分
(2)设Q(x，y)，由|QF|2－|QE|2＝32，
得(x－1)2＋(y＋3)2－[(x－1)2＋(y－1)2]＝32，
解得y＝3，∴点Q在直线y＝3上. 7分
又∵点Q在圆C：(x－a)2＋[y－(－a＋2)]2＝4上，
∴圆C与直线y＝3必须有公共点．
∵圆C圆心的纵坐标为－a＋2，半径为2，
∴圆C与直线y＝3有公共点的充要条件是
1≤－a＋2≤5，即－3≤a≤1. 12分
∴圆心的横坐标a的取值范围是[－3,1]. 15分
8．已知△ABC的三个顶点A(－1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圆为⊙H.
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(1)若直线l过点C，且被⊙H截得的弦长为2，求直线l的方程；
(2)对于线段BH上的任意一点P，若在以点C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求⊙C的半径r的取值范围．
[解] (1)线段AB的垂直平分线方程为x＝0，线段BC的垂直平分线方程为x＋y－3＝0，所以外接圆圆心为H(0,3)，半径为＝，
⊙H的方程为x2＋(y－3)2＝10.
设圆心H到直线l的距离为d，因为直线l被⊙H截得的弦长为2，所以d＝＝3. 3分
当直线l垂直于x轴时，显然符合题意，即x＝3为所求； 4分
当直线l不垂直于x轴时，设直线方程为y－2＝k(x－3)，则＝3，解得k＝，直线方程为4x－3y－6＝0.
综上，直线l的方程为x＝3或4x－3y－6＝0. 5分
(2)直线BH的方程为3x＋y－3＝0，
设P(m，n)(0≤m≤1)，N(x，y)，
因为点M是线段PN的中点，
所以M，
又M，N都在半径为r的⊙C上，
所以
即 7分
因为该关于x，y的方程组有解，
即以(3,2)为圆心，r为半径的圆与以(6－m,4－n)为圆心，
2r为半径的圆有公共点，
所以(2r－r)2≤(3－6＋m)2＋(2－4＋n)2≤(r＋2r)2， 8分
又3m＋n－3＝0，
所以r2≤10m2－12m＋10≤9r2对∀m∈[0,1]成立．
而f(m)＝10m2－12m＋10在[0,1]上的值域为，故r2≤且10≤9r2.
12分
又线段BH与圆C无公共点，
所以(m－3)2＋(3－3m－2)2＞r2对∀m∈[0,1]成立，
即r2＜.
故⊙C的半径r的取值范围为. 15分
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