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专题限时集训(三) 平面向量
(对应学生用书第117页)
[建议A、B组各用时：45分钟]
[A组 高考达标]
一、选择题
1．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则＝( )
A．(2,4) B．(3,5)
C．(1,1) D．(－1，－1)
C [＝＝－＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．]
2．已知单位向量a和b满足|a＋b|＝|a－b|，则a与b的夹角的余弦值为( )
【导学号：68334052】
A．－ B．－
C. D.
C [由|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝|a－b|，得2＋2a·b＝2(1－2a·b＋1)，即a·b＝，cos〈a，b〉＝＝，故选C.]
3．已知向量＝，＝，则∠ABC＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
A [因为＝，＝，所以·＝＋＝.又因为·＝||||cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A.]
4．将＝(1,1)绕原点O逆时针方向旋转60°得到，则＝( )
A.
B.
C.
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D.
A [由题意可得的横坐标x＝cos(60°＋45°)＝＝，纵坐标y＝sin(60°＋45°)＝＝，则＝，故选A.]
5．△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足＝(＋)，||＝||，则向量在方向上的投影等于( ) 【导学号：68334053】
A．－ B.
C. D．3
C [由＝(＋)可知O是BC的中点，即BC为外接圆的直径，所以||＝||＝||.又因为||＝||＝1，故△OAC为等边三角形，即∠AOC＝60°，由圆周角定理可知∠ABC＝30°，且||＝，所以在方向上的投影为||·cos∠ABC＝×cos 30°＝，故选C.]
二、填空题
6．在如图31所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，则的值为________．
图31
[设e1，e2为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ(x a＋y b)，∴e1－2e2＝2λ(x－y)e1＋λ(x－2y)e2，∴∴
则的值为.]
7．(2017·杭州市高三年级第二学期教学质量检测)设P为△ABC所在平面内一点，且满足3＋4
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＝m(m＞0)．若△ABP的面积为8，则△ABC的面积为________．
14 [以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设A(－a,0)，B(a,0)，a＞0，由△ABP的面积是8，设P，C(x，y)，则由3＋4＝m得3×＋4×＝m(2a,0)，则－＋4×＝0，y＝，所以△ABC的面积是×2a×＝14.]
8．已知点O是边长为1的正三角形ABC的中心，则·＝__________.
【导学号：68334054】
－ [∵△ABC是正三角形，O是其中心，其边长AB＝BC＝AC＝1，∴AO是∠BAC的平分线，且AO＝，∴·＝(－)·(－)＝·－·－·＋2＝1×1×cos 60°－×1×cos 30°－×1×cos 30°＋2＝－.]
三、解答题
9．设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
[解] (1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2 x，
|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，
及|a|＝|b|，得4sin2x＝1. 4分
又x∈，从而sin x＝，
所以x＝. 6分
(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2 x
＝sin 2x－cos 2x＋
＝sin＋， 12分
当x＝∈时，sin取最大值1.
所以f(x)的最大值为. 15分
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10．(2017·绍兴一中高考考前适应性考试)已知m＝(sin ωx，cos ωx)，n＝(cos ωx，－cos ωx)(ω＞0，x∈R)，f(x)＝m·n－且f(x)的图象上相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c且b＝，f(B)＝0，sin A＝3sin C，求a，c的值及△ABC的面积. 【导学号：68334055】
[解] (1)f(x)＝m·n－
＝sin ωxcos ωx－cos2ωx－
＝sin 2ωx－cos 2ωx－1
＝sin－1. 3分
∵相邻两对称轴之间的距离为，
∴T＝＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝sin－1，
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z. 7分
(2)由(1)知，f(B)＝sin－1＝0，
∵0＜B＜π，∴－＜2B－＜，
∴2B－＝，∴B＝. 13分
由sin A＝3sin C及正弦定理得a＝3c，
在△ABC中，由余弦定理可得
cos B＝＝＝＝，
∴c＝1，a＝3，
∴S△ABC＝acsin B＝×3×1×＝. 15分
[B组 名校冲刺]
一、选择题
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1．已知A，B，C是圆O上的不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若＝λ＋μ(λ∈R，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(1，] D．(－1,0)
B [由题意可得＝k ＝kλ＋kμ(00)，函数f(x)＝a·b的图象与直线y＝－2＋的相邻两个交点之间的距离为π.
(1)求ω的值；
(2)求函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间．
【导学号：68334058】
[解] (1)因为向量a＝，b＝(2cos ωx，3)(ω>0)，所以函数f(x)＝a·b＝4sincos ωx＝4cos ωx＝2·cos2ωx－2sin ωxcos ωx＝(1＋cos 2ωx)－sin 2ωx＝2cos＋， 4分
由题意可知f(x)的最小正周期为T＝π，
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所以＝π，即ω＝1. 6分
(2)易知f(x)＝2cos＋，当x∈[0,2π]时，2x＋∈，
8分
故2x＋∈[π，2π]或2x＋∈[3π，4π]时，函数f(x)单调递增， 12分
所以函数f(x)的单调递增区间为和. 15分
8．已知△ABC的周长为6，||，||，||成等比数列，求：
(1)△ABC面积S的最大值；
(2)·的取值范围．
[解] 设||，||，||依次为a，b，c，则a＋b＋c＝6，b2＝ac.2分
在△ABC中，cos B＝＝≥＝，故有0＜B≤，
4分
又b＝≤＝，从而0＜b≤2. 6分
(1)S＝acsin B＝b2sin B≤·22·sin ＝，当且仅当a＝c，且B＝，即△ABC为等边三角形时面积最大，即Smax＝. 8分
(2)·＝accos B＝＝＝＝－(b＋3)2＋27. 12分
∵0＜b≤2，∴2≤·＜18，
即·的取值范围是[2,18). 15分
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