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专题限时集训(十三)
圆锥曲线中的综合问题
(对应学生用书第143页)
[建议用时：45分钟]
1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右顶点A(2,0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点M的直线l交椭圆于B，D两点，设直线AB的斜率为k1，直线AD的斜率为k2，求证：k1k2为定值，并求此定值．
[解] (1)由题意得解得
所以C的方程为＋y2＝1. 4分
(2)证明：由题意知直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为x＝my＋，与＋y2＝1联立得(m2＋4)y2＋3my－＝0， 6分
由Δ＞0，设B(x1，y1)，D(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝， 8分
k1k2＝＝＝
＝＝－，
∴k1k2为定值，定值为－. 15分
2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋12＝0相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设A(－4,0)，过点R(3,0)作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x＝于M，N两点，若直线MR，NR的斜率分别为k1，k2，试问：k1k2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
[解] (1)由题意得
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∴故椭圆C的方程为＋＝1. 4分
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为x＝my＋3，由∴(3m2＋4)y2＋18my－21＝0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝. 6分
由A，P，M三点共线可知＝，∴yM＝. 8分
同理可得yN＝，∴k1k2＝×＝＝. 10分
∵(x1＋4)(x2＋4)＝(my1＋7)(my2＋7)＝m2y1y2＋7m(y1＋y2)＋49，∴k1k2＝＝－. 14分
∴k1k2为定值－. 15分
3．(2017·杭州高级中学高三最后一模)已知抛物线C1：x2＝2py(p＞0)与圆C2：x2＋y2＝8的两个交点之间的距离为4，A，B为抛物线C1上的两点．
(1)求p的值；
(2)若C1在点A，B处切线垂直相交于点P，且点P在圆C2内部，直线AB与C2相交于C，D两点，求|AB|·|CD|的最小值．
图136
[解] (1)由题易得抛物线与圆的两个交点坐标为(－2,2)，(2,2)，
则代入x2＝2py得p＝1. 5分
(2)设A，B，
又x＝2y1，则PA的斜率为y′1＝x1.
同理PB的斜率为y′2＝x2，所以x1·x2＝－1，
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两切线为y＝x1x－x，y＝x2x－x，
交点为P， 8分
点P在圆内得x＋x＜33，
直线AB为y＝x＋过抛物线的焦点，
|AB|＝＋＋p＝(x＋x＋2)， 10分
设d为圆心到直线AB的距离，
则|AB|·|CD|＝(x＋x＋2)·2，
d＝， 13分
t＝x＋x＋2∈[4,35)，
则|AB|·|CD|＝，
最小值为2. 15分
4．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点.
(1)求椭圆的方程；
图137
(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．
【导学号：68334134】
[解] (1)由题意可设椭圆方程为
＋＝1(a＞b＞0)，
则＝(其中c2＝a2－b2，c＞0)，且＋＝1，故a＝2，b＝1.
所以椭圆的方程为＋y2＝1. 4分
(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0.故可设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0， 5分
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则Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0，
且x1＋x2＝－，x1x2＝. 6分
故y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2， 7分
因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，
所以·＝＝k2，
即－＋m2＝0. 8分
又m≠0，所以k2＝，即k＝±. 9分
由于直线OP，OQ的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m2＜2，且m2≠1.
设d为点O到直线l的距离，则d＝， 10分
|PQ|＝＝， 11分
所以S＝|PQ|d＝＜＝1(m2≠1)，
故△OPQ面积的取值范围为(0,1). 15分
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