2018年浙江高考数学二轮复习练习：专题限时集训8 空间几何体表面积或体积的求解 Word版含答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 专题限时集训(八)‎ 空间几何体表面积或体积的求解 ‎(对应学生用书第130页)‎ ‎ [建议A、B组各用时：45分钟]‎ ‎[A组　高考达标]‎ 一、选择题 ‎1．一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图816所示，则其俯视图为(　　)‎ 图816‎ ‎ C　[根据正视图和侧视图知，正方体截取的两个角是在同一个面上的两个相对的角，所以它的俯视图是一个正方形，正方形的右下角是以一个实线画出的三角形，左上角是一个以实线画出的三角形，依题意可知该几何体的直观图如图所示，故选C.]‎ ‎2．(2017·杭州学军中学高三模拟)已知某几何体的三视图如图817所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ 图817‎ ‎ A．16　 B．26‎ ‎ C．32 D．20＋ ‎ C 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　[由三视图可知该几何体的直观图如下，由图可知，该几何体的各个面都是直角三角形，故表面积为×(4×5＋3×4＋4×3＋4×5)＝32，故选C.‎ ‎]‎ ‎3．在三棱锥PABC中，AB＝BC＝，AC＝6，PC⊥平面ABC，PC＝2，则该三棱锥的外接球表面积为(　　) 【导学号：68334102】‎ ‎ A.π B.π ‎ C.π D.π ‎ D　[由题可知，△ABC中AC边上的高为＝，球心O在底面ABC的投影即为△ABC的外心D，设DA＝DB＝DC＝x，∴x2＝32＋(－x)2，解得x＝，∴R2＝x2＋2＝＋1＝(其中R为三棱锥外接球的半径)，∴外接球的表面积S＝4πR2＝π，故选D.]‎ ‎4．已知某几何体的三视图如图818所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为(　　)‎ 图818‎ ‎ A.　　　 B．2 ‎ ‎ C．3　　　 D．4 ‎ B　[分析题意可知，该几何体是由如图所示的三棱柱ABCA1B‎1C1截去四棱锥ABEDC得到的，故其体积V＝×22×3－××2×＝2，故选B.]‎ ‎5．如图819，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为(　　)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 图819‎ ‎ A．8＋8＋4 B．8＋8＋2 ‎ C．2＋2＋ D.＋＋ ‎ A　[在正方体中还原出该四面体CA1EC1如图所示，可求得该四面体的表面积为8＋8＋4.]‎ 二、填空题 ‎6．某几何体的三视图如图820所示(单位：cm)，则该几何体的体积为________cm3，表面积为________ cm2. 【导学号：68334103】‎ 图820‎ ‎ 　　[由三视图知该几何体为一个半球被割去后剩下的部分，其球半径为1，所以该几何体的体积为××π×13＝，表面积为××4π×12＋×π×12＋2××π×12＝.]‎ ‎7．三棱锥PABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥DABE的体积为V1，PABC的体积为V2，则＝________.‎ ‎ 　[如图，设S△ABD＝S1，S△PAB＝S2， E到平面ABD的距离为h1，C到平面PAB的距离为h2，则S2＝2S1，h2＝2h1，V1＝S1h1，V2＝S2h2，所以 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 eq \f(V1,V2)＝＝.]‎ ‎8．(2017·浙江省新高考仿真训练卷(一))某简单几何体的三视图如图821所示，则该几何体的体积是________，外接球的表面积是________．‎ 图821‎ ‎ 24　25π　[由三视图得该几何体是一个底面为对角线为4的正方形，高为3的直四棱柱，则其体积为4×4××3＝24.又直四棱柱的外接球的半径为R＝＝，所以四棱柱的外接球的表面积为4πR2＝25π.]‎ 三、解答题 ‎9. 如图822，P为正方形ABCD外一点，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2，E为PD的中点．‎ 图822‎ ‎ (1)求证：PA⊥CE；‎ ‎(2)求四棱锥PABCD的表面积．‎ ‎ [解]　(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF，则EF∥AD∥BC，即EF，BC共面．‎ ‎ ∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BC，又BC⊥AB且PB∩AB＝B，‎ ‎ ∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA. 3分 ‎ ∵PB＝AB，∴BF⊥PA，又BC∩BF＝B，‎ ‎ ∴PA⊥平面EFBC，∴PA⊥CE. 6分 ‎ (2)设四棱锥PABCD的表面积为S，‎ ‎ ∵PB⊥平面ABCD，‎ ‎ ∴PB⊥CD，又CD⊥BC，PB∩BC＝B，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PC，即△PCD为直角三角形， 8分 ‎ 由(1)知BC⊥平面PAB，而AD∥BC，∴AD⊥平面PAB，‎ ‎ 故AD⊥PA，即△PAD也为直角三角形．‎ ‎ S▱ABCD＝2×2＝4，‎ ‎ S△PBC＝S△PAB＝S△PDA＝×2×2＝2，‎ ‎ S△PCD＝×2×＝2， 12分 ‎ ∴S表＝S▱ABCD＋S△PBC＋S△PDA＋S△PAB＋S△PCD ‎ ＝10＋2. 15分 ‎10．如图823，一个侧棱长为l的直三棱柱ABCA1B‎1C1容器中盛有液体(不计容器厚度)．若液面恰好分别过棱AC，BC，B‎1C1，A‎1C1的中点D，E，F，G.‎ 图823‎ ‎ (1)求证：平面DEFG∥平面ABB‎1A1；‎ ‎ (2)当底面ABC水平放置时，求液面的高．‎ ‎ 【导学号：68334104】‎ ‎ [解]　(1)证明：因为D，E分别为棱AC，BC的中点，所以DE是△ABC的中位线，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABB‎1A1，AB⊂平面ABB‎1A1，所以DE∥平面ABB‎1A1.同理DG∥平面ABB‎1A1，又DE∩DG＝D，所以平面DEFG∥平面ABB‎1A1. 6分 ‎ (2)当直三棱柱ABCA1B‎1C1容器的侧面AA1B1B水平放置时，由(1)可知，液体部分是直四棱柱，其高即为原直三棱柱ABCA1B‎1C1容器的高，即侧棱长l，当底面ABC水平放置时，设液面的高为h，△ABC的面积为S，则由已知条件可知，△CDE∽△ABC，且S△CDE＝S，所以S四边形ABED＝S. 11分 ‎ 由于两种状态下液体体积相等，所以V液体＝Sh＝S四边形ABEDl＝Sl，即h＝l.‎ ‎ 因此，当底面ABC水平放置时，液面的高为l. 15分 ‎[B组　名校冲刺]‎ 一、选择题 ‎1．(2017·杭州质量检测)如图824，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图(两个矩形，一个直角三角形)，则这个几何体可能为 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(　　)‎ 图824‎ ‎ A．三棱台 B．三棱柱 ‎ C．四棱柱 D．四棱锥 ‎ B　[根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等，可得几何体如图所示．这是一个三棱柱．]‎ ‎2．某几何体的三视图如图825所示，则该几何体的体积为(　　)‎ 图825‎ ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ B　[根据三视图可知，几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥所组成的，其中该直三棱柱的底面是一个直角三角形(直角边长分别为1,2，高为1)；该三棱锥的底面是一个直角三角形(腰长分别为1,2，高为1)，因此该几何体的体积为×2×1×1＋××2×1×1＝，选B.]‎ ‎3．某几何体的三视图如图826所示，则该几何体的体积为(　　)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 图826‎ ‎ A．6π＋4 B．π＋4‎ ‎ C. D．2π ‎ D　[由三视图知，该几何体为一个底面半径为1，高为1的圆柱体，与底面半径为1，高为2的半圆柱体构成，所以该三视图的体积为π×12×1＋π×12×2＝2π，故选D.]‎ ‎4．从点P出发的三条射线PA，PB，PC两两成60°角，且分别与球O相切于A，B，C三点，若OP＝，则球的体积为(　　)‎ ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ C　[设OP交平面ABC于O′，‎ ‎ 由题得△ABC和△PAB为正三角形，‎ ‎ 所以O′A＝AB＝AP.‎ ‎ 因为AO′⊥PO，OA⊥PA，‎ ‎ 所以＝，＝，＝，‎ ‎ 所以OA＝＝×＝1，‎ ‎ 即球的半径为1，‎ ‎ 所以其体积为π×13＝π.‎ ‎ 选C.]‎ 二、填空题 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎5．一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点在同一个球面上，则该球的体积为________. 【导学号：68334105】‎ ‎ 　[由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r＝1, 其高h＝1，∴球半径为R＝＝＝，∴该球的体积V＝πR3＝×3π＝.]‎ ‎6．如图827，在三棱锥ABCD中，△ACD与△BCD都是边长为4的正三角形，且平面ACD⊥平面BCD，则该三棱锥外接球的表面积为________．‎ 图827‎ ‎ π　[取AB，CD的中点分别为E，F，连接EF，AF，BF，由题意知AF⊥BF，AF＝BF＝2，EF＝＝，易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，‎ ‎ 所以OE＋OF＝.‎ ‎ 设外接球的半径为R，连接OA，OC，则有R2＝AE2＋OE2，R2＝CF2＋OF2，所以AE2＋OE2＝CF2＋OF2，()2＋OE2＝22＋OF2，‎ ‎ 所以OF2－OE2＝2，‎ ‎ 又OE＋OF＝，则OF2＝，R2＝，所以该三棱锥外接球的表面积为4πR2＝π.]‎ 三、解答题 ‎7．如图828，矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD，BE⊥DF.‎ 图828‎ ‎ (1)若M为EA中点，求证：AC∥平面MDF；‎ ‎ (2)若AB＝2，求四棱锥EABCD的体积．‎ ‎ [解]　(1)证明：设EC与DF交于点N，连接MN，‎ ‎ 在矩形CDEF中，点N为EC中点，‎ ‎ 因为M为EA中点，所以MN∥AC. 2分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 又因为AC⊄平面MDF，MN⊂平面MDF，‎ ‎ 所以AC∥平面MDF. 4分 ‎ (2)取CD中点为G，连接BG，EG，‎ ‎ 平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝CD，‎ ‎ AD⊂平面ABCD，AD⊥CD，‎ ‎ 所以AD⊥平面CDEF，同理ED⊥平面ABCD， 7分 ‎ 所以ED的长即为四棱锥EABCD的高. 8分 ‎ 在梯形ABCD中，AB＝CD＝DG，AB∥DG，‎ ‎ 所以四边形ABGD是平行四边形，BG∥AD，所以BG⊥平面CDEF.‎ ‎ 又DF⊂平面CDEF，所以BG⊥DF，又BE⊥DF，BE∩BG＝B，‎ ‎ 所以DF⊥平面BEG，DF⊥EG. 11分 ‎ 注意到Rt△DEG∽Rt△EFD，所以DE2＝DG·EF＝8，DE＝2，‎ ‎ 所以VEABCD＝S梯形ABCD·ED＝4. 15分 ‎8．如图829，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD＝90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，点O为CD的中点，连接OM.‎ 图829‎ ‎ (1)求证：OM∥平面ABD；‎ ‎ (2)若AB＝BC＝2，求三棱锥ABDM的体积．‎ ‎ [解]　(1)证明：∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD＝90°，点O为CD的中点，∴OM⊥CD. 1分 ‎ ∵平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD＝CD，OM⊂平面CMD，‎ ‎ ∴OM⊥平面BCD. 2分 ‎ ∵AB⊥平面BCD，∴OM∥AB. 3分 ‎ ∵AB⊂平面ABD，OM⊄平面ABD，‎ ‎ ∴OM∥平面ABD. 4分 ‎ (2)法一：由(1)知OM∥平面ABD，‎ ‎ ∴点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离. 5分 ‎ 过点O作OH⊥BD，垂足为点H.‎ ‎ ∵AB⊥平面BCD，OH⊂平面BCD，∴OH⊥AB.6分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ∵AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，AB∩BD＝B，∴OH⊥平面ABD.7分 ‎ ∵AB＝BC＝2，△BCD是等边三角形，∴BD＝2，OD＝1，OH＝OD·sin 60°＝. 9分 ‎ ∴V三棱锥ABDM＝V三棱锥MABD ‎ ＝××AB·BD·OH ‎ ＝××2×2×＝. 11分 ‎ ∴三棱锥ABDM的体积为. 12分 ‎ 法二：由(1)知OM∥平面ABD，∴点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离. 5分 ‎ ∵AB＝BC＝2，△BCD是等边三角形，∴BD＝2，OD＝1. 6分 ‎ 连接OB，则OB⊥CD，OB＝BD·sin 60°＝.7分 ‎ ∴V三棱锥ABDM＝V三棱锥MABD＝V三棱锥OABD＝V三棱锥ABDO ‎ ＝××OD·OB·AB ‎ ＝××1××2＝. 12分 ‎ ∴三棱锥ABDM的体积为. 15分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费