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专题限时集训(七) 随机变量及其分布
(对应学生用书第125页)
[建议A、B组各用时：45分钟]
[A组 高考达标]
一、选择题
1．(2017·浙江省新高考仿真训练卷(一))设随机变量X的概率分布表如图，则P(|X－2|＝1)＝( )
X
1
2
3
4
P
m
A. B.
C. D.
C [由|X－2|＝1解得X＝3或X＝1，所以P(|X－2|＝1)＝P(X＝3)＋P(X＝1)＝m＋，又由分布列的性质知＋＋m＋＝1，所以m＋＝，所以P(|X－2|＝1)＝，故选C.]
2．某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )
【导学号：68334091】
A．100 B．200
C．300 D．400
B [将“没有发芽的种子数”记为ξ，则ξ＝1,2,3，…，1 000，由题意可知ξ～B(1 000,0.1)，所以E(ξ)＝1 000×0.1＝100，又因为X＝2ξ，所以E(X)＝2E(ξ)＝200，故选B.]
3．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为；向乙靶射击两次，每次命中的概率为.该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击，该射手恰好命中一次的概率为( )
A. B.
C. D.
C [××＋××＋××＝，故选C.]
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4．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于( )
A．0 B.
C. D.
C [由已知得X的所有可能取值为0,1，
且P(X＝1)＝2P(X＝0)，
由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得P(X＝0)＝.]
5．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现在4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )
A. B.
C. D.
B [若摸出的两球中含有4，必获奖，有5种情形；若摸出的两球是2,6，也能获奖．故获奖的情形共6种，获奖的概率为＝.现有4人参与摸奖，恰有3人获奖的概率是C3·＝.]
二、填空题
6．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.
【导学号：68334092】
[由题意设P(ξ＝1)＝p，
ξ的分布列如下：
ξ
0
1
2
P
p
－p
由E(ξ)＝1，可得p＝，
所以D(ξ)＝12×＋02×＋12×＝.]
7．(2017·绍兴一中高考考前适应性考试)高一(1)班的假期义工活动小组由10人组成，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4，现要从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会，则选出的2人参加义工活动次数之和为4的概率为________；若设X
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为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，则随机变量X的数学期望为________．
1 [根据等可能事件的概率，选出的2人参加义工活动次数之和为4的概率为P＝＝.由题可得X的所有可能取值是0,1,2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，则数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.]
8．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图72所示，假设现在青蛙在A叶上，则跳三次后仍停在A叶上的概率是________．
图72
[设顺时针跳的概率为p，则逆时针跳的概率为2p，则p＋2p＝1，即p＝，由题意可知，青蛙三次跳跃 的方向应相同，即要么全为顺时针方向，要么全为逆时针方向，故所求概率P＝3＋3＝＋＝.]
三、解答题
9．某单位实行休年假制度三年来，对50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示：
休假次数
0
1
2
3
人数
5
10
20
15
根据上表信息解答以下问题：
(1)从该单位任选两名职工，用η表示这两人休年假次数之和，记“函数f(x)＝x2－ηx－1在区间(4,6)上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；
(2)从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E(ξ)．
[解] (1)函数f(x)＝x2－ηx－1的图象过点(0，－1)，
在区间(4,6)上有且只有一个零点，则必有即解得，解得p>或p
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