2018年浙江高考数学二轮复习练习：专题限时集训9 空间中的平行与垂直关系 Word版含答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 专题限时集训(九)　‎ 空间中的平行与垂直关系 ‎ (对应学生用书第133页)‎ ‎ [建议A、B组各用时：45分钟]‎ ‎[A组　高考达标]‎ 一、选择题 ‎1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)‎ ‎ A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α ‎ B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α ‎ C．若l∥α，m⊂α，则l∥m ‎ D．若l∥α，m∥α，则l∥m ‎ B　[A中，根据线面垂直的判定定理，只有垂直平面内两条相交直线才行，故A不正确；B中，由线面垂直的性质可知，平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直这个平面，故B正确；C中，l，m可能平行也可能异面，故C不正确；D中，平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，故D不正确，故选B.]‎ ‎2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎ ①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；‎ ‎ ②若m∥α，m∥β，则α∥β；‎ ‎ ③若m∥n，m∥β，则n∥β；‎ ‎ ④若m⊥α，m⊥β，则α⊥β.‎ ‎ 其中真命题的个数为(　　) 【导学号：68334110】‎ ‎ A．1　　　 B．2　　　‎ ‎ C．3　　　 D．4‎ ‎ A　[对于①，由直线与平面垂直的判定定理易知其正确；对于②，平面α与β可能平行或相交，故②错误；对于③，直线n可能平行于平面β，也可能在平面β内，故③错误；对于④，由两平面平行的判定定理易得平面α与β平行，故④错误．综上所述，正确命题的个数为1，故选A.]‎ ‎3．如图912所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是(　　)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 图912‎ ‎ A．①②　 B．①②③‎ C．① D．②③‎ ‎ B　[对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.‎ ‎ ∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC.又∵PA∩AC＝A，‎ ‎ ∴BC⊥平面PAC，‎ ‎ 又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC.‎ ‎ 对于②，∵点M为线段PB的中点，‎ ‎ ∴OM∥PA.∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，‎ ‎ ∴OM∥平面PAC.‎ ‎ 对于③，由①知BC⊥平面PAC，‎ ‎ ∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，‎ ‎ 故①②③都正确．]‎ ‎4．已知α，β是两个不同的平面，有下列三个条件：‎ ‎ ①存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β；‎ ‎ ②存在一条直线a，a⊂α，a⊥β；‎ ‎ ③存在两条垂直的直线a，b，a⊥β，b⊥α.‎ ‎ 其中，所有能成为“α⊥β”的充要条件的序号是(　　)‎ ‎ A．①　　　 B．②　　　‎ ‎ C．③　　　 D．①③‎ ‎ D　[对于①，存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β，则α⊥β，反之也成立，即“存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β”是“α⊥β”的充要条件，所以①对，可排除B，C.‎ ‎ 对于③，存在两条垂直的直线a，b，则直线a，b所成的角为90°，因为a⊥β，b⊥α，所以α，β所成的角为90°， 即α⊥β，反之也成立，即“存在两条垂直的直线a，b，a⊥β，b⊥α”是“α⊥β”的充要条件，所以③对，可排除A，选D.]‎ ‎5．在三棱锥PABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点，则下列说法错误的是(　　)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 图913‎ ‎ A．当AE⊥PB时，△AEF一定为直角三角形 ‎ B．当AF⊥PC时，△AEF一定为直角三角形 ‎ C．当EF∥平面ABC时，△AEF一定为直角三角形 ‎ D．当PC⊥平面AEF时，△AEF一定为直角三角形 ‎ B　[因为AP⊥平面ABC，所以AP⊥BC，又AB⊥BC，且PA和AB是平面PAB上两条相交直线，则BC⊥平面PAB，BC⊥AE.当AE⊥PB时，AE⊥平面PBC，则AE⊥EF，△AEF一定是直角三角形，A正确；当EF∥平面ABC时，EF在平面PBC上，平面PBC与平面ABC相交于BC，则EF∥BC，则EF⊥AE，△AEF一定是直角三角形，C正确；当PC⊥平面AEF时，AE⊥PC，又AE⊥BC，则AE⊥平面PBC，AE⊥EF，△AEF一定是直角三角形，D正确；B中结论无法证明，故选B.]‎ 二、填空题 ‎6．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题：‎ ‎ ①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.‎ ‎ 其中正确命题的个数是________. 【导学号：68334111】‎ ‎ 3　[如图所示，∵PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P，‎ ‎ ∴PA⊥平面PBC.‎ ‎ 又∵BC⊂平面PBC，‎ ‎ ∴PA⊥BC.‎ ‎ 同理PB⊥AC，PC⊥AB，但AB不一定垂直于BC.]‎ ‎7．在三棱锥CABD中(如图914)，△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O是斜边BD的中点，AB＝4，二面角ABDC的大小为60°，并给出下面结论：①AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC为正三角形；④cos ∠ADC＝；⑤四面体ABCD的外接球表面积为32π.其中真命题是________(填序号)．‎ 图914‎ ‎ ①③⑤　[由题意知BD⊥CO，BD⊥AO，则BD⊥平面AOC，从而BD⊥AC，故①正确；根据二面角ABDC的大小为60°，可得∠AOC＝60°，又直线AD在平面AOC的射影为AO，从而AD与 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 CO不垂直，故②错误；根据∠AOC＝60°，AO＝CO可得△AOC为正三角形，故③正确；在△ADC中 ，AD＝CD＝4，AC＝CO＝2，由余弦定理得cos ∠ADC＝＝，故④错误；由题意知，四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为2，则外接球的表面积为S＝4π×(2)2＝32π，故⑤正确．]‎ ‎8．正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是________．(填序号)‎ ‎ ①AC⊥BE；‎ ‎ ②B1E∥平面ABCD；‎ ‎ ③三棱锥EABC的体积为定值；‎ ‎ ④直线B1E⊥直线BC1.‎ ‎ ①②③　[因为AC⊥平面BDD1B1，故①，②正确；记正方体的体积为V，则VEABC＝V为定值，故③正确；B1E与BC1不垂直，故④错误．]‎ 三、解答题 ‎9．如图915，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.‎ 图915‎ ‎ (1)求证：DC⊥平面PAC.‎ ‎ (2)求证：平面PAB⊥平面PAC.‎ ‎ (3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．‎ ‎ [解]　(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，‎ ‎ 所以PC⊥DC. 2分 又因为DC⊥AC，且PC∩AC＝C，‎ 所以DC⊥平面PAC. 4分 ‎(2)证明：因为AB∥DC，DC⊥AC，‎ 所以AB⊥AC.‎ 因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.‎ 又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC. 8分 又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC. 9分 ‎(3)棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF. 12分 理由如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又因为E为AB的中点，所以EF∥PA.‎ 又因为PA⊄平面CEF，且EF⊂平面CEF，‎ 所以PA∥平面CEF. 15分 ‎10．(2017·绍兴稽阳联谊学校高三4月联考)如图916，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，∠C＝60°，点E在CD上，AB＝CE，BF＝BD＝，BD⊥BC.现将△ADE沿AE折成如图2△APE位置，使得二面角PAEC的大小为.‎ 图916‎ ‎ (1)求PB的长度；‎ ‎ (2)求证：PB⊥平面ABCE；‎ ‎ (3)求直线CE与平面APE所成角的正弦值．‎ ‎ 【导学号：68334112】‎ ‎ [解]　(1)因为AB平行且等于EC，‎ 所以四边形ABCE是平行四边形，‎ 所以BC∥AE，又因为BD⊥BC，所以BD⊥AE，‎ 所以AE⊥FB，AE⊥FP，‎ 即∠PFB为二面角PAEC的平面角. 3分 又BF＝，PF＝2，‎ 由余弦定理得BP2＝BF2＋PF2－2BF·PFcos∠BFP＝9，‎ 所以BP＝3. 5分 ‎(2)证明：BF＝，PF＝2，BP＝3，满足勾股定理，‎ 所以BF⊥PB.‎ 又因为BF⊥AE，PF⊥AE，BF∩PF＝F，‎ 所以AE⊥平面PFB，所以AE⊥PB. 7分 又BF∩AE＝F，则PB⊥平面ABCE. 9分 ‎(3)法一：作BN⊥PF于点N，连接AN，‎ 由(2)可知，AE⊥平面BFP，所以平面BFP⊥平面APE，‎ 又平面BFP∩平面APE＝PF，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以BN⊥平面APE， 12分 所以∠BAN是直线AB与平面APE所成的角．‎ 在Rt△FBP中，BN＝BFsin＝，‎ sin∠NAB＝＝＝. 13分 所以直线AB与平面APE所成角的正弦值为，‎ 即直线CE与平面APE所成角的正弦值为. 15分 法二：由于BF，BP，BC两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系，‎ 则B(0,0,0)，C(3,0,0)，A(－1，，0)，E(2，，0)，P(0,0,3)，则＝(3,0,0)，‎ ＝(1，－，3)， 12分 设平面APE的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则即 取z＝1，则n＝(0，，1)， 13分 设直线CE与平面APE所成的角为θ，‎ ＝(1，－，0)，‎ 则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝，‎ 即直线EC与平面APE所成角的正弦值为. 15分 ‎ [B组　名校冲刺]‎ 一、选择题 ‎1．已知三棱柱ABCA1B‎1C1的所有棱长相等，若∠AA1B1＝∠AA‎1C1＝60°，则异面直线A‎1C与AB1所成角的余弦值是(　　) 【导学号：68334113】‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 图917‎ ‎ A.　　　　 B. ‎ C. D. ‎ A　[将三棱柱补上一个相同的三棱柱构成一个四棱柱，如图所示，易知图中∠A1CD1为所求角．因为三棱柱的所有棱长均相等，不妨设为1，则根据此三棱柱的性质有A1D1＝A‎1C＝，CD1＝1，则由余弦定理得cos∠A1CD1＝＝，故选A.]‎ ‎2．如图918，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥ABCD.则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是(　　)‎ 图918‎ ‎ A．平面ABD⊥平面ABC ‎ B．平面ADC⊥平面BDC ‎ C．平面ABC⊥平面BDC ‎ D．平面ADC⊥平面ABC ‎ D　[∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC，故选D.]‎ ‎3．如图919，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是(　　)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 图919‎ ‎ A．O是△AEF的垂心 B．O是△AEF的内心 ‎ C．O是△AEF的外心 D．O是△AEF的重心 ‎ A　[由题意可知PA，PE，PF两两垂直，∴PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，‎ ‎ 则PO⊥EF.‎ ‎ ∵PO∩PA＝P，∴EF⊥平面PAO，∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，∴O为△AEF的垂心．故选A.]‎ ‎4．如图920，小于90°的二面角αlβ中，O∈l，A，B∈α，且∠AOB为钝角，∠A′OB′是∠AOB在β内的射影，则下列结论错误的是(　　)‎ 图920‎ ‎ A．∠A′OB′为钝角 ‎ B．∠A′OB′>∠AOB ‎ C．∠AOB＋∠AOA′π ‎ D　[考虑将图形特殊化，即可将此图形置于正方体中，正方体的一个对角面与底面分别为条件中的平面α，β，如图所示，O为所在棱的中点，A，B为所在面对角线上的一个三等分点，A′，B′分别为A，B在平面β上的射影．设正方体棱长为3，则OA＝OB＝，OA′＝OB′＝，AA′＝BB′＝1，则由余弦定理得cos∠AOB＝－，cos∠A′OB′＝－∠AOB>，所以A，B正确；又cos∠AOA′＝cos∠BOB′＝>，所以∠AOA′＝∠BOB′－知∠AOB