2018年浙江高考数学二轮复习练习：专题限时集训12 圆锥曲线的定义、方程、几何性质 Word版含答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 专题限时集训(十二)　‎ 圆锥曲线的定义、方程、几何性质 ‎(对应学生用书第141页)‎ ‎ [建议A、B组各用时：45分钟]‎ ‎[A组　高考达标]‎ 一、选择题 ‎1．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　　)‎ ‎ A.　　　　 B．1　　　　‎ ‎ C.　　　　 D．2‎ ‎ D　[∵y2＝4x，∴F(1,0)．‎ ‎ 又∵曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，‎ ‎ ∴P(1,2)．‎ ‎ 将点P(1,2)的坐标代入y＝(k＞0)得k＝2.故选D.]‎ ‎2．过点A(0,1)作直线，与双曲线x2－＝1有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为(　　)‎ ‎ A．0　　　　 B．2 ‎ ‎ C．4　　　　 D．无数 ‎ C　[过点A(0,1)和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点，这样的直线有两条，过点A(0,1)和双曲线相切的直线只有一个公共点，这样的直线也有两条，故共四条直线与双曲线有且只有一个公共点．]‎ ‎3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为(　　)‎ ‎ A.－y2＝1 B．x2－＝1‎ ‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎ A　[由焦距为2得c＝.因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，所以＝.‎ ‎ 又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1，‎ ‎ 所以双曲线的方程为－y2＝1.]‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎4．设点P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点，F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，I为△PF‎1F2的内心，若S△IPF1＋S△IPF2＝2S△IF‎1F2，则该椭圆的离心率为 ‎(　　)‎ ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ A　[因为S△IPF1＋S△IPF2＋S△IF‎1F2＝S△PF‎1F2，所以3S△IF‎1F2＝S△PF‎1F2，设△PF‎1F2内切圆的半径为r，则有×‎2c×r＝×(|PF1|＋|PF2|＋‎2c)×r，整理得|PF1|＋|PF2|＝‎4c，即‎2a＝‎4c，所以e＝.]‎ ‎5．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为(　　) 【导学号：68334127】‎ ‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ ‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎ D　[椭圆的离心率e＝＝＝，‎ ‎ 所以a＝2b.‎ ‎ 所以椭圆方程为x2＋4y2＝4b2.‎ ‎ 因为双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，‎ ‎ 所以渐近线x±y＝0与椭圆x2＋4y2＝4b2在第一象限的交点为，‎ ‎ 所以由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为b×b＝4，‎ ‎ 所以b2＝5，所以a2＝4b2＝20.‎ ‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.故选D.]‎ 二、填空题 ‎6．双曲线M：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，记|F‎1F2|＝‎2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|＝c＋2，则P点的横坐标为________．‎ ‎ 　[根据双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|＝c＋2，所以|PF2|＝c 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，由勾股定理得(c＋2)2＋c2＝‎4c2，即c2－‎2c－2＝0，解得c＝＋1，根据△OPF2是等边三角形得P点的横坐标为.]‎ ‎7．已知F1，F2为＋＝1的左、右焦点，M为椭圆上一点，则△MF‎1F2内切圆的周长等于3π，若满足条件的点M恰好有2个，则a2＝________.‎ ‎ 【导学号：68334128】‎ ‎ 25　[由题意得内切圆的半径等于，因此△MF‎1F2的面积为××(‎2a＋‎2c)＝，即＝×|yM|×‎2c，因为满足条件的点M恰好有2个，所以M为椭圆短轴端点，即|yM|＝4，所以‎3a＝‎5c而a2－c2＝16，所以a2＝25.]‎ ‎8．(2017·绍兴一中高考考前适应性考试)设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为________．‎ ‎ 　[由抛物线y2＝2px可得F，则|CF|＝－＝3p，又|CF|＝2|AF|，则|AF|＝，由抛物线的定义得|AB|＝|AF|＝，所以xA＝p，则|yA|＝p.由CF∥AB得△ABE∽△FCE，从而得＝＝＝2，所以S△CEF＝2S△CEA＝6，S△ACF＝S△AEC＋S△CFE＝9，所以×3p×p＝9，解得p＝.‎ ‎]‎ 三、解答题 ‎9．(2017·温州市普通高中高考模拟考试)已知A，B，C是抛物线y2＝2px(p＞0)上三个不同的点，且AB⊥AC.‎ ‎ (1)若A(1,2)，B(4，－4)，求点C的坐标；‎ ‎ (2)若抛物线上存在点D，使得线段AD总被直线BC平分，求点A的坐标．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 图125‎ ‎ [解]　(1)∵A(1,2)在抛物线上，‎ ‎∴p＝2. 2分 设C，则由kABkAC＝－1，得t＝6，‎ 即C(9,6). 4分 ‎(2)设A(x0，y0)，B，C，‎ 则直线BC的方程为(y1＋y2)y＝2px＋y1y2， 6分 由kABkAC＝·＝－1，‎ 得y0(y1＋y2)＋y1y2＋y＝－4p2， 8分 代入直线BC的方程，得(y1＋y2)(y＋y0)＝2p(x－2p－x0)，‎ ‎ 故直线BC恒过点E(x0＋2p，－y0)，‎ ‎ 因此直线AE的方程为y＝－(x－x0)＋y0， 10分 代入抛物线的方程y2＝2px(p＞0)，‎ 得点D的坐标为.‎ 因为线段AD总被直线BC平分，‎ 所以 13分 解得x0＝，y0＝±p 即点A的坐标为. 15分 ‎10．已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.‎ ‎(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；‎ ‎(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．‎ ‎[解]　设M(x1，y1)，则由题意知y1>0.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(1)当t＝4时，E的方程为＋＝1，A(－2,0). 2分 由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.‎ 因此直线AM的方程为y＝x＋2.‎ 将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0.‎ 解得y＝0或y＝，所以y1＝. 4分 因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝. 5分 ‎(2)由题意t＞3，k＞0，A(－，0)．‎ 将直线AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1得 ‎(3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0.‎ 由x1·(－)＝得x1＝，‎ 故|AM|＝|x1＋|＝. 7分 由题设，直线AN的方程为y＝－(x＋)，‎ 故同理可得|AN|＝.‎ 由2|AM|＝|AN|得＝，‎ 即(k3－2)t＝3k(2k－1)．‎ 当k＝时上式不成立，因此t＝. 9分 t＞3等价于＝＜0，‎ 即＜0. 11分 由此得或 解得＜k＜2.‎ 因此k的取值范围是(，2). 15分 ‎[B组　名校冲刺]‎ 一、选择题 ‎1．(2017·湖州调测)已知点A是抛物线C：x2＝2py(p＞0)上一点，O为坐标原点，若以点M(0,8)为圆心，|OA|的长为半径的圆交抛物线C于A，B两点，且△ABO为等边三角形，则p 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的值是(　　)‎ ‎ A.　　　　 B．2 ‎ ‎ C．6　　　　 D. ‎ D　[由题意知|MA|＝|OA|，所以点A的纵坐标为4，又△ABO为等边三角形，所以点A的横坐标为，又点A是抛物线C上一点，所以＝2p×4，解得p＝.]‎ ‎2．已知焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1，随着a的增大该椭圆的形状 ‎(　　)‎ ‎ A．越接近于圆 B．越扁 ‎ C．先接近于圆后越扁 D．先越扁后接近于圆 ‎ D　[由题意知‎4a＞a2＋1且a＞0，解得2－＜a＜2＋，又e2＝1－＝1－＝1－.因此当a∈(2－，1)时，e越来越大，当a∈(1,2＋)时，e越来越小，故选D.]‎ ‎3．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，对于左支上任意一点P都有|PF2|2＝‎8a|PF1|(a为实半轴)，则此双曲线的离心率e的取值范围是(　　) 【导学号：68334129】‎ ‎ A．(1，＋∞) B．(2,3]‎ ‎ C．(1,3] D．(1,2]‎ ‎ C　[由P是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，得|PF2|＝‎2a＋|PF1|，所以＝|PF1|＋＋‎4a＝‎8a，所以|PF1|＝‎2a，|PF2|＝‎4a，在△PF‎1F2中，|PF1|＋|PF2|≥|F‎1F2|，即‎2a＋‎4a≥‎2a，所以e＝≤3.又e＞1，所以1＜e≤3.故选C.]‎ ‎4．(2017·嘉兴调测)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为(　　)‎ ‎ A.　　　　 B．1 ‎ ‎ C.　　　　 D．2‎ ‎ A　[设AF＝a，BF＝b，由余弦定理得|AB|2＝a2＋b2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ab≥(a＋b)2－2＝(a＋b)2.∵a＋b＝AF＋BF＝2MN，‎ ‎ ∴|AB|2≥|2MN|2，∴≤.]‎ 二、填空题 ‎5．设F1，F2是椭圆x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|AF1|＝3|F1B|，且AF2⊥x轴，则b2＝________.‎ ‎ 　[由题意F1(－c,0)，F2(c,0)，AF2⊥x轴，∴|AF2|＝b2，∴A点坐标为(c，b2)，设B(x，y)，‎ ‎ 则|AF1|＝3|F1B|，∴(－c－c，－b2)＝3(x＋c，y)，∴B，代入椭圆方程可得2＋＝1.∵1＝b2＋c2，∴b2＝.]‎ ‎6．(2017·杭州学军中学高三模拟)已知抛物线y＝x2和直线l：y＝kx＋m(m＞0)交于两点A，B，当·＝2时，直线l过定点________；当m＝________时，以AB为直径的圆与直线y＝－相切．‎ ‎ (0,2)　　[设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立方程y＝x2与y＝kx＋m，消去y得x2－kx－m＝0，则x1＋x2＝k，x1x2＝－m　①‎ ‎ 所以y1y2＝m2，y1＋y2＝k2＋‎2m　②‎ ‎ 又·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝2，所以m2－m－2＝0，又m＞0，所以m＝2，则直线的方程为y＝kx＋2，故过定点(0,2)．以AB为直径的圆与直线y＝－相切，故满足方程2＝＝，将①②代入，得‎4m2‎－‎2m＋＝0，解得m＝.]‎ 三、解答题 ‎7．如图126，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A，B，且|AB|＝|BF|.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 图126‎ ‎ (1)求椭圆C的离心率；‎ ‎ (2)若点M在椭圆C内部，过点M的直线l交椭圆C于P，Q两点，M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ.求直线l的方程及椭圆C的方程．‎ ‎ 【导学号：68334130】‎ ‎ [解]　(1)由已知|AB|＝|BF|，即＝a， 2分 ‎ ‎4a2＋4b2＝‎5a2,‎4a2＋4(a2－c2)＝‎5a2，‎ ‎ ∴e＝＝. 4分 ‎ (2)由(1)知a2＝4b2，∴椭圆C：＋＝1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由＋＝1，＋＝1，‎ ‎ 可得＋＝0，‎ ‎ 即＋＝0，‎ ‎ 即＋(y1－y2)＝0，从而kPQ＝＝2， 6分 ‎ ∴直线l的方程为y－＝2，即2x－y＋2＝0. 8分 ‎ 由⇒x2＋4(2x＋2)2－4b2＝0，即17x2＋32x＋16－4b2＝0，‎ ‎9分 ‎ Δ＝322＋16×17(b2－4)＞0⇔b＞，x1＋x2＝－，x1x2＝. 11分 ‎ ∵OP⊥OQ，∴·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，‎ ‎ x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0,5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0， 13分 ‎ 从而－＋4＝0，解得b＝1，椭圆C的方程为＋y2＝1. 15分 ‎8．已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ (1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；‎ ‎ (2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．‎ ‎ [解]　由题意知F.设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且A，B，P，Q，R.‎ ‎ 记过A，B两点的直线为l，‎ ‎ 则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0. 2分 ‎(1)由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.‎ 记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则 k1＝＝＝＝＝－b＝k2.‎ 所以AR∥FQ. 4分 ‎(2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，‎ 则S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|，‎ S△PQF＝. 6分 由题设可得2×|b－a|＝， 8分 所以x1＝0(舍去)或x1＝1.‎ 设满足条件的AB的中点为E(x，y)．‎ 当AB与x轴不垂直时， 9分 由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．‎ 而＝y，所以y2＝x－1(x≠1). 11分 当AB与x轴垂直时，E与D(1,0)重合．‎ 所以，所求轨迹方程为y2＝x－1. 15分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费