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专题限时集训(四) 等差数列、等比数列
(对应学生用书第120页)
[建议A、B组各用时：45分钟]
[A组 高考达标]
一、选择题
1．(2017·嘉兴教学测试)已知等比数列{an}的公比为－，则的值是( )
A．－2 B．－
C. D．2
A [由题意可知＝＝－2.]
2．已知数列{an}是等差数列，且a7－2a4＝6，a3＝2，则公差d＝( )
【导学号：68334065】
A．2 B．4
C．8 D．16
B [法一：由题意得a3＝2，a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝6，解得d＝4，故选B.
法二：在公差为d的等差数列{an}中，am＝an＋(m－n)d(m，n∈N*)．
由题意得解得]
3．已知等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，则q3等于( ) 【导学号：68334066】
A．－ B．1
C．－或1 D．－1或
A [若q＝1，则3a1＋6a1＝2×9a1，
得a1＝0，矛盾，故q≠1.
所以＋
＝2，
解得q3＝－或1(舍)，故选A.]
4．已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝3，an＋1－an＝＝3，n∈N*.若数列{cn}满足cn＝ban，则c2 018＝( )
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A．92 017 B．272 017
C．92 018 D．272 018
D [由已知条件知{an}是首项为3，公差为3的等差数列．数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，∴an＝3n，bn＝3n.又cn＝ban＝33n，∴c2 018＝33×2 018＝272 018，故选D.]
5．设Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，若＝(n∈N*)，则＝
( )
A. B.
C. D.
D [根据等差数列的前n项和公式及＝(n∈N*)，可设Sn＝kn2，Tn＝kn(2n＋1)，又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝k(2n－1)，bn＝Tn－Tn－1＝k(4n－1)，所以＝，故选D.]
二、填空题
6．(2016·温州适应性检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2a3，S5＝15，则a2 018＝__________.
2 018 [在等差数列{an}中，由S3＝2a3知，3a2＝2a3，而S5＝15，则a3＝3，于是a2＝2，从而其公差为1，首项为1，因此an＝n，故a2 018＝2 018.]
7．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是________．
20 [由等差数列的性质可得a3＝35，a4＝33，故d＝－2，an＝35＋(n－3)×(－2)＝41－2n，易知数列前20项大于0，从第21项起为负项，故使得Sn达到最大值的n是20.]
8. 设等比数列{an}中，Sn是前n项和，若27a3－a6＝0，则＝__________.
28 [由题意可知，公比q3＝＝27，∴＝＝1＋q3＝1＋27＝28.]
三、解答题
9．设数列{an}的前n项和为Sn，满足(1－q)Sn＋qan＝1，且q(q－1)≠0.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列．
[解] (1)当n＝1时，由(1－q)S1＋qa1＝1，得a1＝1.1分
当n≥2时，由(1－q)Sn＋qan＝1，得(1－q)Sn－1＋qan－1＝1，两式相减得an＝
qan－1. 5分
又q(q－1)≠0，所以{an}是以1为首项，q为公比的等比数列，故an＝qn－1.
6分
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(2)证明：由(1)可知Sn＝， 7分
又S3＋S6＝2S9，得＋＝， 9分
化简得a3＋a6＝2a9，两边同除以q得a2＋a5＝2a8. 13分
故a2，a8，a5成等差数列. 15分
10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a6＝4，S5＝－5.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|，求T5的值和Tn的表达式.
【导学号：68334067】
[解] (1)由题知解得故an ＝2n－7(n∈N*). 5分
(2)由an＝2n－72)，两式相减，得4d＝4，即d＝1.由Sk＝ka1＋＝0，得a1＝－，将a1＝－代入ak－1＋ak＝4，得－(k－1)＋(2k－3)＝k－2＝4，解得k＝6.]
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6．数列{logkan}是首项为4，公差为2的等差数列，其中k>0，且k≠1.设cn＝anlg an，若{cn}中的每一项恒小于它后面的项，则实数k的取值范围为__________. 【导学号：68334069】
∪(1，＋∞) [由题意得logkan＝2n＋2，则an＝k2n＋2，∴＝＝k2，即数列{an}是以k4为首项，k2为公比的等比数列，cn＝anlg an＝
(2n＋2)·k2n＋2lg k，要使cn0，n＋1
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